学术相关 - 随笔分类(第2页) - do_while_true

摘要：

= \frac{1}{1 + x}

$=\frac{1}{1+x}$

\sum_{i = 0} (\binom{n + i - 1}{i}) x^{i} = \frac{1}{(1 - x)^{n}}

$\sum_{i=0}\binom{n+i-1}{i}x^i=\frac{1}{(1-x)^n}$ 第一个的记忆：$$ 是

1 - x

$1-x$ ，然后奇偶位置分别作前缀和，那就是

\frac{1 - x}{1 - x^{2}} = \frac{1}{1 + x}

$\frac{1-x}{1-x^2}=\frac{1}{1+x}$ ．第二个的记阅读全文

posted @ 2023-04-29 11:33 do_while_true 阅读(52) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Burnside

摘要：定义群：

(S, \circ)

$(S,\circ)$ ，集合

S

$S$ 和二元运算

\circ

$\circ$ ，其中

\cdot

$\cdot$ 满足：封闭性；结合律；存在单位元

e

$e$ ；任意元素

a

$a$ 存在逆元

a^{- 1}

$a^{-1}$ ．若仅满足存在左单位元和左逆元，可证左右单位元/逆元唯一且相等。交换群 / 阿贝尔群：满足交换律的群。半群：运阅读全文

posted @ 2023-04-09 17:45 do_while_true 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

tricks

摘要：对序列(或者其他对象)的操作，可以考虑将序列进行一些变换使得操作的形式很好看 / 易于计算答案。https://www.luogu.com.cn/problem/CF1615F 阅读全文

posted @ 2023-03-27 20:35 do_while_true 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder [2000, 3199] 不水

摘要：https://kenkoooo.com/atcoder/#/list/do_while_true?fromDiff=2200&toDiff=3199 abc294h | C 这位真是重量级！感谢 ZCPB 老师教导！可以用“广义串并联图方法”，即不断删一度点和二度点，来对图进行简化。删完之后一条阅读全文

posted @ 2023-03-23 22:01 do_while_true 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

xor shift

摘要：64 位。整数到整数的随机映射。 x^=x<<13,x^=x>>7,x^=x<<17 为了防止被对着卡，可以在前面和后面各让 x 异或一个随机的常数。拿来树哈希，

h (x) = h a s h (h_{v})

$h(x)=hash({h_v})$ dls 说自然溢出下的期望冲突数不超过

O (n^{2} / 2^{w})

$O(n^2/2^w)$ 阅读全文

posted @ 2023-03-23 21:45 do_while_true 阅读(195) 评论(0) 推荐(1) 编辑

几道数据结构杂题

摘要：`> 查询 Ynoi 含量中......` 根号含量为 0，精神状态良好！ ### CF1793F / CF765F / P5926 D 区间一维最近点对。

O (n \log n \log \log n + q \log \log n)

$\mathcal{O}(n\log n\log\log n+q\log\log n)$ ．首先一个问题就是把有用的点对找出来，使得答案一定出现阅读全文

posted @ 2023-03-21 08:01 do_while_true 编辑

点覆盖边覆盖独立集最大匹配链划分对应及构造

摘要：发现不是很熟，所以整理一下。无向图在任意无向图中，最大独立集和最小点覆盖互补。（指其中一个取反得到另一个）二分图 König 定理：二分图最小点覆盖大小等于最大匹配大小。构造：从每个失配点走增广路，走到的点打标记（走出来的叫交错路）。左侧的未标记点和右侧的标记点组成了最小点覆盖。二分图最小阅读全文

posted @ 2023-03-09 09:40 do_while_true 阅读(102) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一小类矩阵乘法相关归约

摘要：看看 Futari 的归约矩乘！~~双向链表连起来了~~ 今天上午（2023.3.7）大聪明 LgxTpre 问我区间 reverse 全局 kth 怎么做，我以为他问的是区间 reverse 区间 kth，确认了一下问题才发现他降智了区间 reverse 根本不会改全局 kth，然后现在出现了新阅读全文

posted @ 2023-03-08 09:10 do_while_true 阅读(570) 评论(0) 推荐(2) 编辑

Codeforces 杂题 II [2700, 3500]

摘要：1408G | 2700 | D 边权从小到大插入，在某一时刻形成了一个团，那么这个连通块就可以划分成一组。没想到的：合法的组和组之间一定是包含或者相离的关系，所以在 Kruskul 重构树上树形 dp

O (n^{2})

$\mathcal{O}(n^2)$ 树形 dp 即可。 1383E | 2800 | D 阅读全文

posted @ 2023-02-23 16:55 do_while_true 编辑

Codeforces 杂题 I [2000, 2900]

摘要：1322B | 2100 | C 看上去异或里面套了层加法不好拆位，但是依然可以对每个二进制位处理。现在考虑第

k

$k$ 位，那么产生贡献的数字对一定满足以下条件之一：第

k

$k$ 位相同且前

(k - 1)

$(k-1)$ 位进位；第

k

$k$ 位不同且前

(k - 1)

$(k-1)$ 位不进位。那就按照阅读全文

posted @ 2023-02-23 16:52 do_while_true 编辑

「学习笔记」字符串 II

摘要：前传后缀结构全都扔到一块儿 Suffix Array (SA) 对一个字符串的所有后缀进行排序，最终得到所有后缀的排名。采用基数排序，对于

k = 1, 2, . . ., \log n

$k=1,2,...,\log n$ ，每次排序只看后缀的前

2^{k}

$2^k$ 位来给后缀排序（对于一个起点如果后面不够了，补一堆最小的字符），由于上一步阅读全文

posted @ 2023-02-21 16:34 do_while_true 阅读(60) 评论(0) 推荐(1) 编辑

几个图论 trick

摘要：[歪歪球/se](https://www.cnblogs.com/LFCode/p/graph-theory-algorithms.html) 总结几个遇到过的图论 trick． # 模拟图论算法面对图论中的问题（又或是其他方向的问题），在我们手中有的工具是 Kruskal, Borůvka, T 阅读全文

posted @ 2022-11-14 18:47 do_while_true 阅读(191) 评论(0) 推荐(1) 编辑

finger-search 以及平衡树启发式合并

摘要：https://www.luogu.com.cn/blog/ICANTAKIOI/finger-search-qi-fa-shi-ge-bing 先挖个坑，有空填起来。阅读全文

posted @ 2022-11-11 09:23 do_while_true 阅读(99) 评论(1) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演的一个代数证明

摘要：

f (n) = \sum_{d | n} g (d) ⟺ g (n) = \sum_{d | n} μ (d) g (\frac{n}{d})

$f(n)=\sum_{d|n}g(d)\Longleftrightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})$ 考虑令

n

$n$ 的标准分解为

\prod p_{i}^{a_{i}}

$\prod p_i^{a_i}$ ，

d

$d$ 的标准分解为

\prod p_{i}^{b_{i}}

$\prod p_i^{b_i}$ ，那么左式即为：阅读全文

posted @ 2022-11-10 18:45 do_while_true 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「学习笔记」字符串 I

摘要：约定 1-index．

| s |

$|s|$ 为字符串

s

$s$ 的长度，如果讨论中仅有一个字符串也称之为

n

$n$ ．

s [l, r]

$s[l,r]$ 表示字符串

s

$s$ 的

[l, r]

$[l,r]$ 子串。

p r e (s, r) = s [: r] = s [1, r]

$pre(s,r)=s[:r]=s[1,r]$ ，前缀．

s u f (s, l) = s [l :] = s [l, | s |]

$suf(s,l)=s[l:]=s[l,|s|]$ ，后缀．

a_{i}

$a_i$ 阅读全文

posted @ 2022-10-07 11:08 do_while_true 阅读(273) 评论(3) 推荐(8) 编辑

组合意义

摘要：记录一些组合意义。 ARC096E：

\sum_{i} (\binom{x}{i}) {\binom{i}{y}} = (y + 1) {\binom{x}{y + 1}} + {\binom{x}{y}}

$\sum_i \binom{x}{i}{i \brace y}=(y+1){x\brace y+1}+{x\brace y}$ ．阅读全文

posted @ 2022-09-17 15:13 do_while_true 阅读(46) 评论(0) 推荐(0) 编辑

容斥原理再探

摘要：前传全集

U

$U$ 种有若干元素，每个元素

x_{i}

$x_i$ 都有若干个不同的属性

p_{j}

$p_j$ ．令

A_{i}

$A_i$ 为满足第

i

$i$ 个属性的集合。现有

n = | U |

$n=|U|$ 个元素，

m

$m$ 个属性，欲求

| ⋂_{j}^{m} A_{j} |

$|\bigcap_j^m A_j|$ ，记 \(\hat{A}_j=\comp 阅读全文

posted @ 2022-09-14 16:43 do_while_true 阅读(374) 评论(5) 推荐(2) 编辑

一次对计数问题将常用套路形式化剖析的尝试

摘要：例题：对于所有

i, j \leq n

$i,j\leq n$ ，求出

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示有多少长度为

i

$i$ 的排列

a

$a$ ，前

j

$j$ 个位置要满足

a_{j} \neq j

$a_j\neq j$ ．回顾一下错排数的递推式是如何求得的？单独拎出最后一个位置

n

$n$ 及其代表的数

n

$n$ ，先考虑长度

(n - 1)

$(n-1)$ 的错排，讨论将位置 $n 阅读全文

posted @ 2022-08-31 22:00 do_while_true 阅读(71) 评论(0) 推荐(2) 编辑

行列式求值

摘要：当模数不为质数的时候，可以用辗转相减来消元。每个数的大小在消元的过程都会变小，以这个作为势能，不难分析出复杂度为

O (n^{2} (\log p + n))

$\mathcal{O}(n^2(\log p+n))$ ．代码实现参考 qyc 的板子，常数小而且好写，qyc nb！ #include<cstdio> #include<vecto 阅读全文

posted @ 2022-07-28 09:28 do_while_true 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Matrix-Tree

摘要：~~太难了，证明都略去了。~~ ynynb!!! 来点组合意义的证明！！ #### 无向图生成树个数定义一个无向图

G = (V, E)

$G=(V,E)$ 的度数矩阵为

D

$D$ 为

D_{i, i} = \deg (i), D_{i, j} = 0, i \neq j

$D_{i,i}=\deg(i),D_{i,j}=0,i\neq j$ ．记

G

$G$ 的邻接矩阵为

A

$A$ ，也就是 $A_{i,j}=[ 阅读全文

posted @ 2022-07-27 20:07 do_while_true 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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