随笔分类 - 学术相关
一些模板等介绍或详细揭秘；OI/数学相关内容；学习笔记。
摘要：抄论文 抄 JCY 耳分解 对于图 \(G=(V,E)\) 的子图 \(G'=(V',E')\)，若一条简单路径或者简单环 \(x_1,x_2,\cdots x_k\) 满足 \(x_1,x_k\in V',x_2,\cdots,x_{k-1}\notin V'\)，那么称之为一个耳，如果是简单路径
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摘要：写的时候有个地方忘取模调了半天【流汗】 先和子集卷积一样处理出 size 那一维，先对集合幂级数那一维 fmt，然后在形式幂级数那一维作 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的暴力 ln, exp。 写的时候遇到的坑点是集合幂级数那一维的范围其实是 \([0,n]\) 而不是 \([0,n-1
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摘要：置换 基础双射 将置换 \(p\) 唯一分解为若干循环（轮换分解），对于每个循环以其最大值作为开头，再将所有循环按照字典序升序排序，构成一个新的置换。 这是 \(n\) 阶排列到 \(n\) 阶排列的双射。右推左即为按照前缀最大值划分段从而得到这些循环。 例：\(n\) 阶随机排列中 \(1\) 所
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摘要：感谢可爱 cftm \(y=\frac{ax+b}{c}\) 在 \(x\in (0,n]\) 中，如果遇到一条 \(x=k\) 的竖线执行 \(R\)，否则执行 \(U\)，如果遇到整点先 \(U\) 在 \(R\)（可以将 \(U,R\) 视作具有结合律的信息），问最后得到的信息是啥。 记作 \
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摘要：想把 spfa 换成 dij，用 Johnson 里面的技巧，给予每个点一个势能 \(h_u\)，边 \((u,v,w)\) 的新边权为 \(w+h_u-h_v\)，为了保证其 \(\geq 0\) 以源点为最短路跑最短路后赋值 \(h_u\gets d_u\) 即可。 增广之后会加入反向边，考虑怎
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摘要：https://shanlunjiajian.github.io/2023/05/21/dfa-tech/ 好像是叫 moore 算法，一个 vector 代表一个等价类，col 是所属等价类，这个是初始的时候 accept 状态放在一个等价类里，reject 状态放在一个等价类里，其余状态放在一个
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摘要：前传。 一年之期已到！尝试总结总结用 gf 凑容斥系数的思路，但是感觉有点脑子能理解但嘴说不出来什么道理。 经典例题：20210620省队互测-qwaszx T2，jiangly 的排列数数题，P7275 计树 一个组合对象由若干元素组成，但是元素直接可能可以合并，不能任意拼接。先假设可以任意拼接，
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摘要：bostan-mori 假设答案的 ogf 是 \(F(x)\)，若 \(F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)，对 \(Q(x)F(x)=P(x)\) 两边提取 \([x^n]\) 发现是个线性递推。 现在来直接计算 \([x^n]\frac{P(x)}{Q(x)}\)，上下同乘 \(Q
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摘要：今天学习具体数学 P225 时，用二项式反演推了 (6.40) ，进而发现了 (6.39) 和 (6.40) 这两个式子可以二项式反演互推，而书中是用生成函数推的，想了一下发现这种形式的二项式反演是可以生成函数推出来的。 $$ \begin{aligned} f(m)&=\sum_{k\geq m}
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摘要：来自 qwaszx。 如果 \(f(i)\) 是积性函数，想要求解 \(\sum_{i=1}^nf(ix)\) 的值。之前遇到过这个问题，是 \(f=\varphi\) 且 \(\mu^2(x)=1\) 的情况，现在来看一下通解应该怎么处理，先看看 \(\mu\) 咋做。 假设 \(\mu^2(x)
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摘要：翻译自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/85169630 字符串是 0-index． 周期引理：对于长为 $n$ 的字符串 $s$，如果 $p,q$ 均为 $s$ 的周期，并且 $p+q-\gcd(p,q)\leq n$，那么 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。
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摘要：令 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$． $$ \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_0 & \cdots & a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots
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摘要：懒得每次再查了直接扔博客里 $F(G(x))=x (\Leftrightarrow G(F(x))=x)$． 存在复合逆的条件：$[x^0]F(x)=0,[x^1]F(x)\ne 0$． $$ n[z^n]F=[z^{-1}]G^{-n} $$ 扩展： $$ [z^n]H(F)=\frac{1}{n
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摘要：条件概率 在事件 \(A\) 发生的条件下，事件 \(B\) 发生的概率，记作 \(P(B|A)\)． 条件概率公式：\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\) 概率乘法公式：\(P(AB)=P(A)P(B|A)\) 若 \(A_1,\cdots,A_n\) 不交且并为样本空间 \(
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摘要：丁晓漫，再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用 \[\max \mathbf{c}^T\mathbf{x} \\ \mathbf{Ax}\leq \mathbf{b} \\ \mathbf{x}\geq \mathbf{0} \]等于 \[\min \mathbf{b}^T\mathbf{y} \\
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摘要：拟阵：\((E,L)\)，\(E\) 是集合，\(L\) 是包含若干 \(E\) 的子集的集合。 称 \(L\) 中的集合是独立集，其要满足： 空集是独立集。 遗传性：独立集的子集是独立集。 扩张性：如果独立集 \(A,B\) 其中 \(|A|<|B|\)，那么 \(B\) 一定存在 \(x\in
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摘要：abc292g | A 没一眼看出来还是拉了。 考虑区间 dp，\(f_{i,l,r}\) 表示 \([l,r]\) 前 \((i-1)\) 位都相同，看后面 \([i,n]\) 位填数使得递增的方案数是多少。 这样已经可以做了，但是还不够，要追求一下最简单的写法。想想，发现每次 dp 是要分为多个
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摘要：解 $x^q\equiv p\pmod p$ 其中 $q\bot p$．如果知道了 $a^t\equiv a\pmod p$，那么 $x=a^{t/q}$，想要让 $t$ 是 $q$ 的倍数，现在已经有了 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$，那么就有 $a^{(p-1)t+1}\equ
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摘要：莫反，欧拉反演 常用结论： \(\mu*1=\epsilon,\varphi*1=id\)． \(\mu^2(n)=\sum_{d^2|n}\mu(d)\)． \(d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\)． \(\varphi(xy)=\frac{\varph
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