学术相关 - 随笔分类 - do_while_true

摘要：抄论文抄 JCY 耳分解对于图

G = (V, E)

$G=(V,E)$ 的子图

G^{'} = (V^{'}, E^{'})

$G'=(V',E')$ ，若一条简单路径或者简单环

x_{1}, x_{2}, \dots x_{k}

$x_1,x_2,\cdots x_k$ 满足

x_{1}, x_{k} \in V^{'}, x_{2}, \dots, x_{k - 1} \notin V^{'}

$x_1,x_k\in V',x_2,\cdots,x_{k-1}\notin V'$ ，那么称之为一个耳，如果是简单路径阅读全文

posted @ 2024-04-27 16:06 do_while_true 阅读(147) 评论(0) 推荐(0) 编辑

集合幂级数 ln exp

摘要：写的时候有个地方忘取模调了半天【流汗】先和子集卷积一样处理出 size 那一维，先对集合幂级数那一维 fmt，然后在形式幂级数那一维作

O (n^{2})

$\mathcal{O}(n^2)$ 的暴力 ln, exp。写的时候遇到的坑点是集合幂级数那一维的范围其实是

[0, n]

$[0,n]$ 而不是 \([0,n-1 阅读全文

posted @ 2024-04-17 14:56 do_while_true 阅读(80) 评论(0) 推荐(0) 编辑

置换杨表

摘要：置换基础双射将置换

p

$p$ 唯一分解为若干循环（轮换分解），对于每个循环以其最大值作为开头，再将所有循环按照字典序升序排序，构成一个新的置换。这是

n

$n$ 阶排列到

n

$n$ 阶排列的双射。右推左即为按照前缀最大值划分段从而得到这些循环。例：

n

$n$ 阶随机排列中

1

$1$ 所阅读全文

posted @ 2024-04-12 17:57 do_while_true 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

万能欧几里得

摘要：感谢可爱 cftm

y = \frac{a x + b}{c}

$y=\frac{ax+b}{c}$ 在

x \in (0, n]

$x\in (0,n]$ 中，如果遇到一条

x = k

$x=k$ 的竖线执行

R

$R$ ，否则执行

U

$U$ ，如果遇到整点先

U

$U$ 在

R

$R$ （可以将

U, R

$U,R$ 视作具有结合律的信息），问最后得到的信息是啥。记作 \ 阅读全文

posted @ 2023-11-13 21:12 do_while_true 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Primal-Dual 原始对偶算法

摘要：想把 spfa 换成 dij，用 Johnson 里面的技巧，给予每个点一个势能

h_{u}

$h_u$ ，边

(u, v, w)

$(u,v,w)$ 的新边权为

w + h_{u} - h_{v}

$w+h_u-h_v$ ，为了保证其

\geq 0

$\geq 0$ 以源点为最短路跑最短路后赋值

h_{u} \leftarrow d_{u}

$h_u\gets d_u$ 即可。增广之后会加入反向边，考虑怎阅读全文

posted @ 2023-11-09 19:53 do_while_true 阅读(267) 评论(0) 推荐(0) 编辑

dfa 最小化的一个丐版实现

摘要：https://shanlunjiajian.github.io/2023/05/21/dfa-tech/ 好像是叫 moore 算法，一个 vector 代表一个等价类，col 是所属等价类，这个是初始的时候 accept 状态放在一个等价类里，reject 状态放在一个等价类里，其余状态放在一个阅读全文

posted @ 2023-10-09 20:43 do_while_true 阅读(95) 评论(0) 推荐(0) 编辑

容斥原理再再探

摘要：前传。一年之期已到！尝试总结总结用 gf 凑容斥系数的思路，但是感觉有点脑子能理解但嘴说不出来什么道理。经典例题：20210620省队互测-qwaszx T2，jiangly 的排列数数题，P7275 计树一个组合对象由若干元素组成，但是元素直接可能可以合并，不能任意拼接。先假设可以任意拼接，阅读全文

posted @ 2023-09-17 19:09 do_while_true 阅读(214) 评论(0) 推荐(1) 编辑

线性递推

摘要：bostan-mori 假设答案的 ogf 是

F (x)

$F(x)$ ，若

F (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，对

Q (x) F (x) = P (x)

$Q(x)F(x)=P(x)$ 两边提取

[x^{n}]

$[x^n]$ 发现是个线性递推。现在来直接计算

[x^{n}] \frac{P (x)}{Q (x)}

$[x^n]\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，上下同乘 \(Q 阅读全文

posted @ 2023-09-10 11:46 do_while_true 阅读(44) 评论(0) 推荐(1) 编辑

2023.9.4 开摆：二项式反演的gf推法

摘要：今天学习具体数学 P225 时，用二项式反演推了 (6.40) ，进而发现了 (6.39) 和 (6.40) 这两个式子可以二项式反演互推，而书中是用生成函数推的，想了一下发现这种形式的二项式反演是可以生成函数推出来的。 $$ \begin{aligned} f(m)&=\sum_{k\geq m} 阅读全文

posted @ 2023-09-06 16:06 do_while_true 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一个筛法问题

摘要：来自 qwaszx。如果

f (i)

$f(i)$ 是积性函数，想要求解

\sum_{i = 1}^{n} f (i x)

$\sum_{i=1}^nf(ix)$ 的值。之前遇到过这个问题，是

f = φ

$f=\varphi$ 且

μ^{2} (x) = 1

$\mu^2(x)=1$ 的情况，现在来看一下通解应该怎么处理，先看看

μ

$\mu$ 咋做。假设 \(\mu^2(x) 阅读全文

posted @ 2023-08-24 19:02 do_while_true 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

周期引理的代数证明

摘要：翻译自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/85169630 字符串是 0-index．周期引理：对于长为

n

$n$ 的字符串

s

$s$ ，如果

p, q

$p,q$ 均为

s

$s$ 的周期，并且

p + q - gcd (p, q) \leq n

$p+q-\gcd(p,q)\leq n$ ，那么

gcd (p, q)

$\gcd(p,q)$ 也是

s

$s$ 的周期。阅读全文

posted @ 2023-08-03 20:49 do_while_true 阅读(120) 评论(0) 推荐(0) 编辑

循环矩阵行列式

摘要：令

f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1}

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$ ． $$ \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_0 & \cdots & a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots 阅读全文

posted @ 2023-07-07 22:04 do_while_true 阅读(230) 评论(1) 推荐(0) 编辑

拉格朗日反演

摘要：懒得每次再查了直接扔博客里

F (G (x)) = x (\Leftrightarrow G (F (x)) = x)

$F(G(x))=x (\Leftrightarrow G(F(x))=x)$ ．存在复合逆的条件：

[x^{0}] F (x) = 0, [x^{1}] F (x) \neq 0

$[x^0]F(x)=0,[x^1]F(x)\ne 0$ ．

n [z^{n}] F = [z^{- 1}] G^{- n}

$n[z^n]F=[z^{-1}]G^{-n}$ 扩展： $$ [z^n]H(F)=\frac{1}{n 阅读全文

posted @ 2023-06-21 16:00 do_while_true 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

概率

摘要：条件概率在事件

A

$A$ 发生的条件下，事件

B

$B$ 发生的概率，记作

P (B | A)

$P(B|A)$ ．条件概率公式：

P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 概率乘法公式：

P (A B) = P (A) P (B | A)

$P(AB)=P(A)P(B|A)$ 若

A_{1}, \dots, A_{n}

$A_1,\cdots,A_n$ 不交且并为样本空间 \( 阅读全文

posted @ 2023-06-14 11:05 do_while_true 阅读(88) 评论(1) 推荐(0) 编辑

线性规划转对偶

摘要：丁晓漫，再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用

max c^{T} x A x \leq b x \geq 0

$\max \mathbf{c}^T\mathbf{x} \\ \mathbf{Ax}\leq \mathbf{b} \\ \mathbf{x}\geq \mathbf{0}$ 等于 \[\min \mathbf{b}^T\mathbf{y} \\ 阅读全文

posted @ 2023-06-13 17:37 do_while_true 阅读(67) 评论(2) 推荐(0) 编辑

拟阵

摘要：拟阵：

(E, L)

$(E,L)$ ，

E

$E$ 是集合，

L

$L$ 是包含若干

E

$E$ 的子集的集合。称

L

$L$ 中的集合是独立集，其要满足：空集是独立集。遗传性：独立集的子集是独立集。扩张性：如果独立集

A, B

$A,B$ 其中

| A | < | B |

$|A|<|B|$ ，那么

B

$B$ 一定存在 \(x\in 阅读全文

posted @ 2023-06-09 16:52 do_while_true 阅读(120) 评论(1) 推荐(0) 编辑

AtCoder [2000, 3199] 水

摘要：abc292g | A 没一眼看出来还是拉了。考虑区间 dp，

f_{i, l, r}

$f_{i,l,r}$ 表示

[l, r]

$[l,r]$ 前

(i - 1)

$(i-1)$ 位都相同，看后面

[i, n]

$[i,n]$ 位填数使得递增的方案数是多少。这样已经可以做了，但是还不够，要追求一下最简单的写法。想想，发现每次 dp 是要分为多个阅读全文

posted @ 2023-05-31 12:13 do_while_true 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二次剩余

摘要：解

x^{q} \equiv p (\mod p)

$x^q\equiv p\pmod p$ 其中

q ⊥ p

$q\bot p$ ．如果知道了

a^{t} \equiv a (\mod p)

$a^t\equiv a\pmod p$ ，那么

x = a^{t / q}

$x=a^{t/q}$ ，想要让

t

$t$ 是

q

$q$ 的倍数，现在已经有了

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ ，那么就有 $a^{(p-1)t+1}\equ 阅读全文

posted @ 2023-05-25 21:26 do_while_true 阅读(35) 评论(1) 推荐(0) 编辑

数论

摘要：莫反，欧拉反演常用结论：

μ * 1 = ϵ, φ * 1 = i d

$\mu*1=\epsilon,\varphi*1=id$ ．

μ^{2} (n) = \sum_{d^{2} | n} μ (d)

$\mu^2(n)=\sum_{d^2|n}\mu(d)$ ．

d (i j) = \sum_{x | i} \sum_{y | j} [g c d (x, y) = 1]

$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$ ． \(\varphi(xy)=\frac{\varph 阅读全文

posted @ 2023-04-29 17:16 do_while_true 阅读(69) 评论(1) 推荐(0) 编辑

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