Mathematics for Engineers
线代
scalars 标量
高斯消元 Gaussian elimination
Row-echelon form of A 梯形矩阵 最一开始的非 0 位是 1（全 0 矩阵放在底下。（从上到下非 0 第一位以此递增）
reduced row-echelon form. 简化行阶梯形式 有前1的列其余都是0（约旦）
\(\mathbb{R}^n\) 行向量集合：\(1 \times n\)
\(\mathbb{R}_n\) 列向量集合：\(n \times 1\)
main diagonal：左上到右下（
Upper Triangular Matrix：上三角矩阵（对角线上面有数
Lower Triangular Matrix:
Diagonal Matrix： 对角矩阵（只有对角线上有值
Identity Matrix 单位矩阵
Scalar Multiplication 标量乘法
symmetric 对称
nonsingular matrix 非奇异矩阵 = 满秩 det != 0
determinant 行列式
dof （degree of freedom）= un - eq
未知量 < 等式 无数个解
\([A|b]\)
System of Homogeneous Equations：右边都是 0
Gauss-Jordan Method：约旦消元法
Use Gauss-Jordon Method to Find Inverse
逆的性质
为啥来着
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
和幂和转置可以替换
可以替换、
Minor of entry 余子式：删掉这行这列剩下的行列式
cofactor of the entry 代数余子式：再乘一个系数（+-+-矩阵）
交换两列 * -1, 可以乘每行每列常数
行列式也可以拆开乘
Linear Dependence 线性有关
一个向量现行有关 可以互相表示（非全 0 点积）/
linear combination 线性组合 拼起来
Eigenvalue and Eigenvector
特征值特征向量
\(A v - \lambda I v = 0\) 特征方程
\((B = A - \lambda I)v = 0\) （齐次系统）
\(Bv = 0\)
相当于给对角线减一个 \(\lambda\)
Characteristic Polynomial 特征多项式 \(f(\lambda) = |B|\)
是一个 n 阶多项式，最高项 \((-1)^n\)
所以复数域总有解，找到特征值以后反解特征向量（无数个，但是有限制）
最多 \(n\) 个特征值
找到线性无关的特征向量就可以的了。（就高斯消元的一般解）（同一个特征值的向量才能合并）
对角化 Diagonalization 左右搞一个 P，变成对角化
one
\(AP=PD\)
\(Av = \lambda v\)
当且仅当有 \(n\) 个线性无关的特征向量 （对应 \(\lambda_i\)）
不用找矩阵的逆
实对称矩阵一定能对角化？并且是正交矩阵
对角化完了以后还能对回来，反向构造
向量正交：内积 = 0
正交集合向量
正交矩阵：逆 = 转置，每列看成向量，还是正交向量
（转置 * 自己是 单位矩阵
Gram-Schmidt Process 正交化
找到电击三角形减掉勾股定理的东西就可以正交了，所以可以应用正交化中
\(A^m = PD^mP^{-1}\)
quadratic form
实对称矩阵
二次型：这个多元函数一直是正/负的
Positive Definite:
- 等价于所有特征值都是正的
- 每个左上角矩阵行列式都是正的
必须是对称矩阵才行。。。
Negative Definite:
- 等价于所有特征值都是负的
- 每个左上角矩阵行列式是+-+-
必须是对称矩阵才行。。。
题型：
找特征值和特征向量：
- 减 \(\lambda\) 单位矩阵行列式 = 0 然后消元
矩阵对角化
- D 对角线是特征向量
- P 每列是特征多项式-
对角矩阵的逆直接凑就可以
微积分
偏导 Partial Derivative \(∂\)
物质导数 Material Derivative：就是四个追踪顺序都算的链式法则 要用大的 \(D\)
\(\frac{D f}{D t} = \frac{∂ f}{∂ t}+v \dot [\frac{∂ f}{∂ x},\frac{∂ f}{∂ y} ,\frac{∂ f}{∂ z}]\)
\(C^k\) class k 阶阶导在，k 阶导可以换顺序，是对的。
Taylor's Formula 泰勒展开：
一维：\(f(x) = \sum f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}\)
2D：\(f(x) = \sum \binom{n}{k} f_{x(k)y(n-k)}(x_0)\frac{(x-x_0)^k(y-y_0)^{n-k}}{n!}\)
2nd Order Derivative Test
泰勒级数：每个导 n 次，n 个 () 乘起来再除掉 n 的阶乘求和（写成 \(\Delta\) 的形式也挺好
positive definite 极小值
negative definite 极大值
行列式 < 0 saddle point. 没结论
stationary point：xy 都是 0
2nd Order Derivative Test：
3D 三阶行列式 pos 极小值，indefinite：saddle point
Multiple Integrals
自然叠起来即可
先解决最里面的，把外面的看成常数积分
要么扫描线 x，看 y 区间最好是一条线（否则反过来比较好
quadrant 象限
极坐标系
注意到用圆盘且蛋糕划分圆环，每个圆环是 \(dr * (d \theta * r)\)，所以要再乘一个这个东西，意思是等比例圆环扩散放大（r：Jacobian）
Triple Integrals:
找到上下平面。
也可以认为是扫描线
Cylindrical And Spherical Coordinates
圆柱和球
Spherical Coordinates 球体坐标系
\((\rho, \phi, \theta)\)
旋转扫描球体半径，z轴坐标系，x, y 平面扩展
投影 xy 平面是 \(\rho \sin \phi\)
z 是 \(\rho \cos \phi\)
系数 \(\rho^2 \sin \phi\)
\(x = r\cos\theta\)
\(y = r\sin\theta\)
\(r = z\sin\phi\)
\(\rho = z\cos\phi\)
重心：x 积分 / 体积（寄平均值
Moment of inertia
L6 Vector Calculas
Scalar Field：输出是值
Vector Field：输出是个列表，或者写成 ijk
梯度 \(\nabla\) del operator
球体正交三角形
Normal Vector 法线
Divergence 散度。每一维的值偏导那一位置
Curl = 叉姬 \(\nabla \times v\)（v是函数
\(div(Curl()) = 0 = Curl(\nabla))\)
Curve 参数方程: length 一样的用 \(1 d \Gamma\)
曲线长度
Line Integral of A Scalar Field
\(τ, n\) 切 / 法二维参数方程
\(dΓ = dt\sqrt{\sum 多维一阶导}\)（类似线
切记，\(d\Gamma\) 是以每个单位线长度
\(dr\)事实上是 \([导数向量] dt\)
从小到大很对（
§3 Line Integral of A Vector Field
\(v \dot \tau d\Gamma = v · dr = v · [x', y' , z'] dt\) 相当于每一维加起来拆开
= 力做的功
沿着做工更多方向
Simply-connected Region 单联通（柔和凸
格林公式：类似叉姬 & 旋度
积分 向量函数点击 dr （逆时针）（逆时针做的功），= 封闭区域的 二维矩阵，填偏导和每个函数
\(v · dr = \nabla \times v dxdy\) 然后转成区域
v 是 vector field
∮ 闭曲线 ***
Surface Integral
\(dS = 叉姬长度/根号(平方和的乘积 - 点击平方)dudv\)
\(dS = r^2 sin \phi\)
\(ndS = \nabla dudv\)
Gauss Divergence Theorem
z注意必去outward（不然取-
注意方向！！！
闭合面等于三维积分的偏导
二维 \(v · n dS = \nabla · v dxdydz\)
相当于闭合面的穿透对应到三维的传统
Stokes’ Theorem 斯托克斯公式
哦哦所以所有斯托克都可以变成div curl()=0-一个平面的积分
\(v · dr = \nabla \times v · n dS\)
相当于对于一个面的旋转量对称到包围线的点击
右手定则
