「高中数学」易错点以及不自然处整理

汉字与数学语言的转化，盒式清？

§解决不了的魔怔问题

• 圆锥曲线检验

• 立体几何检验

• 画图分段函数检验

• 求导检验

• 等价转化的时候考虑是不是充要的，比如把分母乘上去，会让域放大（有可能分母 = 0 也能满足了）

总结是好事。

左视图是从左向右看，，

缝缝补补的面积

没有计算能力。

可能有帮助的近似

1. \(\ln2 = 0.69\)
2. \(\ln 3 = 1.09\)
3. 数值 \(1\) （弧度制）约等于 57 °。

怎么检查？

核心逻辑：尽可能减少错误。
用多种方法检验：（用不同方式做一道题、带入检验）尽可能避免错误（sb错误：列完竖式合并错、抄错数、一开始就看错题[少]）。（对于一开始离题目很远的，更要对着题意检查。
不是充要求出来的答案记得（过程要表现出来）检验。

下面一般都是泛化后结果，没有 sb 无根据错误。

• 函数值算错：将函数等价变换后带入再试试。
• 如何看待圆方程式捣错：把搞出来的圆随便带几个点试试。
• 如何看待不等号挪一下就挪反了：构想极限情况；带特殊值；不要算的时候乱换，不要有把那个放未知数左边的习惯好吗。、
• 求范围题，把边界画出来对着看。
• 一定要注意有没有取等，开闭区间。
• 看清楚是抛物线还是它的准线，双曲线还是它的渐近线，mdzz，等腰三角形垂线不是中点，说锤子呢。
• 非常敏感于题目已经给的条件，以及上一问自己的条件不能代入下一问，独立！！！！！！
• 弧度转化角度，怎么保证不错？？？或者三角函数极值，几何代数，单位元和函数都走一遍，角度和弧度都走！！！！！！！！
• 量，比大小，极限，用尺子。
• 与 x 轴对称（y相反，与 y 轴对称搞不清楚，还能要吗》》？？？
• 关注所有限制带入检验（鬣狗多余限制要你命）

散兵分段函数分讨提

• 对于自己的答案 check：一定要看清谁在左，谁在右！！！对着题目条件 check 重新读题！！！！！
• 按一个一定的不重不漏的顺序

陋习

频率组距图算中位数，即使 “样本同组数据用区间中点值替代”，也是均匀分布。

斜二，\(\frac{\sqrt2}{4}\)

翻 n 番 \(2^n\)

翻 \(n\) 倍 \(n+1\)

估算 / 叠加 意识

比如让你算 n 片对应数据，给你一些小数据，你要卡 1 片的范围，可以算出最终的。

sb 充要条件

哪边不行，举出 这边 √ 那边不行的反例awawawa

把反例写下来。

经典：$a = k\pi+(-1)^k b \leftrightarrow \sin a = \sin b $

易错点

• 递增不能平的连续!
• 注意周期、函数奇偶性带来的对称点。
• 有时候 \(1:\sqrt{3}:2\) 都能捣错，真有你的，正这反着算一遍。
• \(a, b, c\) 成等比，已经有顺序了。
• 条件 \(p\) 推结果 \(q\)，顺着是充分，反着是必要。X 的充要条件是 Y 这种表述一定不要搞错了。为了保证获得的条件处在合适的环境，可以带入边界情况直接对照。
• 对称中心写点。
• 对称轴写直线
• 关注边界带入验证，尤其是单线程的题，真是太容易错了。
• 有多种决策，当你已经确定选了一个，检验不妨算算另一个的边界，保证自己不对应错。、
• 漏掉符号，经典，\(-c(a-b)\) 拆出来 b 是负的。看到负号圈出来。
• 平行：敏感：线面，不在面里；不重合
• XX 函数 \(f(x) = 带 a 的参数\)，注意 XX 对 a 的限制
• 极小值点，极大值点。和极小值，极大值。
• 在 “四边形面内”，可以在边上
• 在 XX 面内，和在 XXX 所在平面内，不一样！！！！！！！一定要非常敏感，否则寄
• 怎么办，把区间看成集合，我还能要吗
• 有没有负数，确定边界为什么可以，问自己？？
• 大题检查过程的笔误
• 到直线距离为定值的点时两条线，不要忘了正负两面，和向量正负反向的两面。
• ln 常数送进去，变成根号，就看不清了，或者很难看到，注意一条线比对。
• 解三角形，每一步泛化，变大。
• 求 \(a\) 的值 / 求 \(a\) 的取值范围 / 求整数 \(a\) 的最大值。
• R 对应零点 / 周期与对称四倍 /
• 步步代入
• 累乘一步一步写。。

数列

证明等差还可以 \(a_n - a_{n-1} = a_{n-1} - a_{n-2}\)

函数

• 均值不等式，当且仅当

• 最好画图，有些直观的不一定是对的，比如 \(3^x=2^y\)，\(x, y\) 关系不定，事实上有 0 的分界点。

• \(y = \sqrt{2x - x^2}\) 长成这样的方程注意，是一个半圆。

• 和坐标轴围成的三角形：只要不是横平竖直的线，都会恰好和 x、y 轴一个交点。

• 倾斜角的范围：\([0, \pi)\)！！！

• 注意向左平移 \(n\) 都是将 \(x\) 替换成 \(x+n\) ，这样的话他附带的系数也会附加到 \(n\) 上，切记！

• 在任意有斜率 \(k\) 的环境，都要注意不存在带来的缺口。

• 均值适用范围是正的还是一切。

• 注意空心点。典型的如分母

• 分段函数再叠加的操作比较难处理，一般还是用分段函数图像和移项处理的对比，不然很复杂

表述

1. \(f(a) = 0\)，\(a\) 是函数的零点
2. 范围，用集合，或者区间加并。
3. 单调区间，多个用逗号。
4. 求单调区间，极值（还要说一下单调区间），都要列表
5. 取等条件 [ex：对勾函数]，括号先写原始的，然后算一下最终的

几何

1. 重合不属于平行。问平行范围要把重合的抠掉。
2. 注意重合的字眼，比如共相交点
3. 线在面内和平行事互斥的
4. 还是建系和直观互证
5. 空间上将军饮马：绕着轴转

虚数

1. \(a+bi\) 虚部是 \(b\) 不是 \(bi\)，一个感性理解虚部就是复平面是 \(y\) 坐标，你附加一个 \(i\) 其实相对不那么自然。
2. \(a+bi\) 实部虚部要分开，\(\frac{2+i}{2}\) 这样的不够规范。（反正我们老师说算错！！！
3. 取分母的时候记得平方，或者多谢一步 \(-i^2 = 1\)，很容易噶。

概统

倾向超几何，jsidjaidj资质不放回

垃圾读题。毒死你毒死你。其他？注意计算会很小，如果走错了注意remake

1. 互斥与对立事件。互斥，仅仅是有矛盾。而对立是子集卷积！势不两立啊，想想这种事，学概率也是对立事件，是说完全相反的。
2. 第 \(p\) 倍百分数，[严格向上取整]，\(n\) 个数据，$n \times p $，如果是小数，就是下一个数，否则是这个和下一 / 2 [对应普适中位数的权衡平均值设定]。对于频率图，可以看成切一刀面积恰好是那个。
3. 大题先搞清楚是超几何还是重复。“读题“
4. 方差，p 越接近 0.5 越大。
5. 方差本身就是平方量级
6. 写 \(E(x) = 0 \times 1/2 + 1 \times 1/3\) 这样，注意 0 必须写，直接写数！！
7. 写 \(P(X=T)\)
8. 独立事件，必须 \(P(A)\times P(B) = P(AB)\)，瞪眼不准，怎么办mdzz。

三角函数

1. 三角函数时刻关注正负号、角的正负性！！！啥时候对丢，啥时候搞错，咱也不知道，咱也不敢问
2. 余弦定理可能求出来错的解。就是 SSA 的情况，这时候可以考虑画个图感性理解一下，大概是比如这个已知角 \(A\) 对的边是 \(a\)，旁边已知边是 \(b\)，求 \(c\)，防止增根。
3. 解三角形，有时候多选择，有这样的描述：选 xxx 使得什么三角形唯一，这时候一定要关注三角函数的多解性、正负号和范围！！不然全寄了。
4. 余弦定理是神
5. 二倍角
6. ① 和差化积 ② 积化和差。像是类 FWT 的构造：
   • ① 尝试用 \(\frac{A+B}{2}, \frac{A-B}{2}\) 表示前面俩然后加起来就行啦！
   • ② 用 \(A+B, A-B\)，找到有公共积项的俩式子加起来就行啦！

导数

1. 收敛：不要看到递增到无穷远处就无敌了！看看正负性，说不定一直是负的！
2. 单调的条件，可以出现导数 \(=0\)，但不能出现有长度的 \(0\) ！可以先 \(\ge0\) 然后 check
3. 同理，极值，是导函数为 \(0\) 且两边异号，算完一定要检验是不是异号！
4. 大题记得写单调区间（求极值的时候
5. \((a^x)' = a^x \ln a\)，\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)
6. 如果底数和幂都带 x，可以 ln 降幂：\(x^{\frac{1}{x}}\) 求导，可以先取 \(\ln\) 得到 \(\frac{1}{x} \ln x\)，就能做了。
7. 有极值点偏移的意识
8. 代数意义拆绝对值。
9. “有些就是你求不出来解，所以让你求 整数 m 的最小值之类的，纯恶人。”
10. 讨论有几个零点，看看对不对泛化出

圆锥曲线

哥，能不能别把椭圆和双曲线搞反了

圆系方程是离心率，渐近线一样，不是焦点一样， nmd 别再干这个了。

光学性质：抛物线交点出发光线平行线；双曲线一个焦点出发反射光线反向延长过另一个焦点。

抛物线四圆：焦点弦直径圆且准线；FA [在双曲线上] 直径圆切 y 轴；焦点弦在准线投影直径圆且这个焦点弦。

抛物线：\(\frac{1}{4a}\)？让平方项系数是 1。感觉不好。

参数方程：感觉可以隐式规避，或者注意一下只有算距离极值辅助角起到作用，剩下没啥优越性

注意 x 轴还是 y 轴，双重 sb 标准！！！！

阿氏圆，可以算一条直线上的俩点，然后构建出这个圆。

对于直线和椭圆，什么切线极值，用参数方程（或者模拟辅助角的过程，很方便）

焦点弦：长成 \(\pm ex \pm a\)。自然选择把 \(ex\) 换成 \(c\) 对着瞪。椭圆 a 一直是正的，注意。

椭圆中点弦：点差，\(k_{OM} \times k_{AB} = -\frac{b^2}{a^2}\),，双曲线没负号。

焦点三角形 \(b^2\) 乘或者除 \(\tan \frac{\theta}{2}\)

\(e\) 从 \(0\) 到 \(\infin\) 的过程，从圆逐渐变瘪，纵向越来越像直线。

长轴、短轴、焦距都 \(2a,2b,2c\)

题目说椭圆，不能是圆 \(a = b\)。

\(e^2\) 和 \(\frac{b^2}{a^2}\) 互换不要跳步

记得扣掉的点？斜率不存在？

算角度，其实你 tan - 也就是 k - 比叉积好，我瞎说的。

小技巧

• 有时候 「极少数」不用代 k，直接 \(x_1,x_2,y_1,y_2\) 干，还是先转化好？
• 过定点直线。在 y 轴写成 y = kx + 常数，x 轴写成 x = my + 常数。如果都不是，不如直接 y = kx+b，这样相当于是分步了，不然你几乎必定得处理拆三项的平方，难算。同时有根号也可以考虑直接 b 很好使。
• 能设直线就不要设点，经典是一个椭圆上的点做直线，先直线求出来坐标，再用那个表示分步。①
• 不要急着把 x, y 互换，再拆开再写
• 一定要单独表示：\(y_1,y_2, y_1+y_2!!!!\)
• 黄金代换：对称韦达不了，可以考虑用 \(y_1+y_2\) 与 \(y_1y_2\) 互相表达
• 向量！！直径圆垂直点积
• 为什么有时候不对称伟达，需要通过操作椭圆上的点，变成对称的，我不明白为啥啊，就是 \(3x^2+4y^2=12 \rightarrow 4y^2 = 3(4-x^2) \rightarrow \frac{y}{2-x} = \frac{2+x}{4y}\),这未免太恐怖了。
• 尽量设直线，别忘了咋用点在椭圆上！！点在圆上用直线体现的好，为啥啊！？？？？？？
• 及时止损，换方法，有时候并不是只有设直线才行？但是北京卷是这样？对称韦达不会就 quit。②

看清是准线还是 y 轴

• 代入很容易错，还是列开式子！\(y=k(x-a)+b\)
• \(\Delta\) 要出来验证！！！！记得 delta，记得范围带来的作用！！
• 不要彻底不喜欢设点，联系一个过椭圆顶点的直线，求过另外一个点坐标！！！！！！！！！！1试用情况？无法对称伟大？限制独立：ex：一条直线交俩点，然后分别过俩点做直线，这时候，你设两条直线，那个限制长得不好，只能设四个点然后分别联立直线，这样还好，因为是对称的，相当于是一次，而且不用那啥，就是直接有坐标对应

抛物线，任意一种，一个直线过焦点，到原点俩斜率乘积都是4 。

check：

• 带入 k = 0 or inf check
• 最后求出来值 画图瞪一下

向量

夹角为锐角：点积 \(>0\) 且不共线

看清是点积还是长度乘积。

坐标和向量搞清楚，不要倒错。

不会做

把不自然的点总结下来。

三角函数

1. 写过程记得写角的范围

二项式定理

记得还有组合数。

二项式系数就是组合数，系数是附带的所有。

\((a+b)^n\) [a 从大到小，b 从小到大，我觉得很反直觉] 的第 \(i\) 项是 \(C_n^ia^{n-i+1}b^{i-1}\)。

填空最后一题

1. wdnmd 刚知道一般 4 个 3 个都是对的，confirm。
2. 很多时候硬导很有用，不要不敢。
3. 迭代式函数，\(a_n = f(a_{n-1})\)，可以考虑画 \(y=x\) 和 \(f(x)\) 图像，然后迭代过程相当于走折现：每次纵向走到 f 然后横着走到 y = x .....

导数大题

注意带入函数值的时候不要错了owowowoow，多个函数的时候提醒自己注意

思路

1. 自由换元：最后一问有时候你要解决一个带参（设为 \(a\)）的函数满足一些性质，然后得 \(a\) 的范围，通常来说会变成 一个关于极值点 \(x_0\) 的和 \(a\) 的不等式方程，然后你有 \(a\) 与 \(x_0\) 的关系（极值点），一般是用把 \(x_0\) 消掉，但是有时候就是这个是超越方程，比如 \(ax_0 = x_0^2-1\) ，这个解出来有点没法要，但是用 \(x_0\) 表示 \(a\) 就轻松多了！more extd：$a,x_1,x_2 \rightarrow $ 单一变量，ex：\(x_1\)。
2. 复杂方程说不定求导一下都消掉了，求导就完了。
3. 三次方程有时候真不是解不出来，需要找根。
4. 关键 / 不动点
5. 一定要关注好不动点！！！！很多解题关键是这个，sb 好多次了。
6. 必要性检验 ① 一遍单调放缩证 ② 一遍找一阶导和 0 不同的，然后零点存在定理
7. 找点的时候，因为不能说极限，但形如 x 在分母，可以通分舍去分母的方式用单调性找零点。
8. 通分是神（比如无零点，通分只考虑分子，分母限制定义域）
9. 有时候别硬导，比如对数和三角复合，导估计就寄了，不如直接看原函数，可能有性质。
10. 参变分离是神，优先考虑
11. 比值代换。

追求他的满分过程

陋习

• 通常认为，直接导，或者是去掉分母，能解决 (这里定义为，过程可以得满分) 的题集合是比 参变分离要多的，但劣势是通常要找点，还有可能找不到“我几乎找不到”。

• 例 \(x\ln x\)，需要说明 \(x\) 趋近于 \(0\) 是 \(0\)。若说不了就 -2，感觉这个优先级可以放在最后。

立体几何

1. 直线夹角只能 \([0, 90°]\)！！要取小的角
2. 检验。先向量后尽量几何
3. 注意让你求得是啥，角度，还是正弦值，还是余弦值。

双线程

有些体型基本没有双线程，怎么保证算对？立体几何、概率、圆锥曲线 ...

独立性检验

两个交叉的相减平方乘总数，除以四个二元的积。越强相关性越强

好像没考过北京。

线性回归

保证那个线在均值上

以平均值为原点建系， k 是 xy 和 / x^2 和

b 用均值在点上求。

好像没考过北京。