「高中数学」易错点以及不自然处整理
汉字与数学语言的转化,盒式清?
§解决不了的魔怔问题
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圆锥曲线检验
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立体几何检验
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画图分段函数检验
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求导检验
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等价转化的时候考虑是不是充要的,比如把分母乘上去,会让域放大(有可能分母 = 0 也能满足了)
总结是好事。
左视图是从左向右看,,
缝缝补补的面积
没有计算能力。
可能有帮助的近似
- \(\ln2 = 0.69\)
- \(\ln 3 = 1.09\)
- 数值 \(1\) (弧度制)约等于 57 °。
怎么检查?
核心逻辑:尽可能减少错误。
用多种方法检验:(用不同方式做一道题、带入检验)尽可能避免错误(sb错误:列完竖式合并错、抄错数、一开始就看错题[少])。(对于一开始离题目很远的,更要对着题意检查。
不是充要求出来的答案记得(过程要表现出来)检验。
下面一般都是泛化后结果,没有 sb 无根据错误。
- 函数值算错:将函数等价变换后带入再试试。
- 如何看待圆方程式捣错:把搞出来的圆随便带几个点试试。
- 如何看待不等号挪一下就挪反了:构想极限情况;带特殊值;不要算的时候乱换,不要有把那个放未知数左边的习惯好吗。、
- 求范围题,把边界画出来对着看。
- 一定要注意有没有取等,开闭区间。
- 看清楚是抛物线还是它的准线,双曲线还是它的渐近线,mdzz,等腰三角形垂线不是中点,说锤子呢。
- 非常敏感于题目已经给的条件,以及上一问自己的条件不能代入下一问,独立!!!!!!
- 弧度转化角度,怎么保证不错???或者三角函数极值,几何代数,单位元和函数都走一遍,角度和弧度都走!!!!!!!!
- 量,比大小,极限,用尺子。
- 与 x 轴对称(y相反,与 y 轴对称搞不清楚,还能要吗》》???
- 关注所有限制带入检验(鬣狗多余限制要你命)
散兵分段函数分讨提
- 对于自己的答案 check:一定要看清谁在左,谁在右!!!对着题目条件 check 重新读题!!!!!
- 按一个一定的不重不漏的顺序
陋习
频率组距图算中位数,即使 “样本同组数据用区间中点值替代”,也是均匀分布。
斜二,\(\frac{\sqrt2}{4}\)
翻 n 番 \(2^n\)
翻 \(n\) 倍 \(n+1\)
估算 / 叠加 意识
比如让你算 n 片对应数据,给你一些小数据,你要卡 1 片的范围,可以算出最终的。
sb 充要条件
哪边不行,举出 这边 √ 那边不行的反例awawawa
把反例写下来。
经典:$a = k\pi+(-1)^k b \leftrightarrow \sin a = \sin b $
易错点
- 递增不能平的连续!
- 注意周期、函数奇偶性带来的对称点。
- 有时候 \(1:\sqrt{3}:2\) 都能捣错,真有你的,正这反着算一遍。
- \(a, b, c\) 成等比,已经有顺序了。
- 条件 \(p\) 推结果 \(q\),顺着是充分,反着是必要。X 的充要条件是 Y 这种表述一定不要搞错了。为了保证获得的条件处在合适的环境,可以带入边界情况直接对照。
- 对称中心写点。
- 对称轴写直线
- 关注边界带入验证,尤其是单线程的题,真是太容易错了。
- 有多种决策,当你已经确定选了一个,检验不妨算算另一个的边界,保证自己不对应错。、
- 漏掉符号,经典,\(-c(a-b)\) 拆出来 b 是负的。看到负号圈出来。
- 平行:敏感:线面,不在面里;不重合
- XX 函数 \(f(x) = 带 a 的参数\),注意 XX 对 a 的限制
- 极小值点,极大值点。和极小值,极大值。
- 在 “四边形面内”,可以在边上
- 在 XX 面内,和在 XXX 所在平面内,不一样!!!!!!!一定要非常敏感,否则寄
- 怎么办,把区间看成集合,我还能要吗
- 有没有负数,确定边界为什么可以,问自己??
- 大题检查过程的笔误
- 到直线距离为定值的点时两条线,不要忘了正负两面,和向量正负反向的两面。
- ln 常数送进去,变成根号,就看不清了,或者很难看到,注意一条线比对。
- 解三角形,每一步泛化,变大。
- 求 \(a\) 的值 / 求 \(a\) 的取值范围 / 求整数 \(a\) 的最大值。
- R 对应零点 / 周期与对称四倍 /
- 步步代入
- 累乘一步一步写。。
数列
证明等差还可以 \(a_n - a_{n-1} = a_{n-1} - a_{n-2}\)
函数
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均值不等式,当且仅当
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最好画图,有些直观的不一定是对的,比如 \(3^x=2^y\),\(x, y\) 关系不定,事实上有 0 的分界点。
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\(y = \sqrt{2x - x^2}\) 长成这样的方程注意,是一个半圆。
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和坐标轴围成的三角形:只要不是横平竖直的线,都会恰好和 x、y 轴一个交点。
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倾斜角的范围:\([0, \pi)\)!!!
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注意向左平移 \(n\) 都是将 \(x\) 替换成 \(x+n\) ,这样的话他附带的系数也会附加到 \(n\) 上,切记!
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在任意有斜率 \(k\) 的环境,都要注意不存在带来的缺口。
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均值适用范围是正的还是一切。
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注意空心点。典型的如分母
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分段函数再叠加的操作比较难处理,一般还是用分段函数图像和移项处理的对比,不然很复杂
表述
- \(f(a) = 0\),\(a\) 是函数的零点
- 范围,用集合,或者区间加并。
- 单调区间,多个用逗号。
- 求单调区间,极值(还要说一下单调区间),都要列表
- 取等条件 [ex:对勾函数],括号先写原始的,然后算一下最终的
几何
- 重合不属于平行。问平行范围要把重合的抠掉。
- 注意重合的字眼,比如共相交点
- 线在面内和平行事互斥的
- 还是建系和直观互证
- 空间上将军饮马:绕着轴转
虚数
- \(a+bi\) 虚部是 \(b\) 不是 \(bi\),一个感性理解虚部就是复平面是 \(y\) 坐标,你附加一个 \(i\) 其实相对不那么自然。
- \(a+bi\) 实部虚部要分开,\(\frac{2+i}{2}\) 这样的不够规范。(反正我们老师说算错!!!
- 取分母的时候记得平方,或者多谢一步 \(-i^2 = 1\),很容易噶。
概统
倾向超几何,jsidjaidj资质不放回
垃圾读题。毒死你毒死你。其他?注意计算会很小,如果走错了注意remake
- 互斥与对立事件。互斥,仅仅是有矛盾。而对立是
子集卷积!势不两立啊,想想这种事,学概率也是对立事件,是说完全相反的。 - 第 \(p\) 倍百分数,[严格向上取整],\(n\) 个数据,$n \times p $,如果是小数,就是下一个数,否则是这个和下一 / 2 [对应普适中位数的权衡平均值设定]。对于频率图,可以看成切一刀面积恰好是那个。
- 大题先搞清楚是超几何还是重复。“读题“
- 方差,p 越接近 0.5 越大。
- 方差本身就是平方量级
- 写 \(E(x) = 0 \times 1/2 + 1 \times 1/3\) 这样,注意 0 必须写,直接写数!!
- 写 \(P(X=T)\)
- 独立事件,必须 \(P(A)\times P(B) = P(AB)\),瞪眼不准,怎么办mdzz。
三角函数
- 三角函数时刻关注正负号、角的正负性!!!啥时候对丢,啥时候搞错,咱也不知道,咱也不敢问
- 余弦定理可能求出来错的解。就是 SSA 的情况,这时候可以考虑画个图感性理解一下,大概是比如这个已知角 \(A\) 对的边是 \(a\),旁边已知边是 \(b\),求 \(c\),防止增根。
- 解三角形,有时候多选择,有这样的描述:选 xxx 使得什么三角形唯一,这时候一定要关注三角函数的多解性、正负号和范围!!不然全寄了。
- 余弦定理是神
- 二倍角
- ① 和差化积 ② 积化和差。像是类 FWT 的构造:
- ① 尝试用 \(\frac{A+B}{2}, \frac{A-B}{2}\) 表示前面俩然后加起来就行啦!
- ② 用 \(A+B, A-B\),找到有公共积项的俩式子加起来就行啦!
导数
- 收敛:不要看到递增到无穷远处就无敌了!看看正负性,说不定一直是负的!
- 单调的条件,可以出现导数 \(=0\),但不能出现有长度的 \(0\) !可以先 \(\ge0\) 然后 check
- 同理,极值,是导函数为 \(0\) 且两边异号,算完一定要检验是不是异号!
- 大题记得写单调区间(求极值的时候
- \((a^x)' = a^x \ln a\),\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)
- 如果底数和幂都带 x,可以 ln 降幂:\(x^{\frac{1}{x}}\) 求导,可以先取 \(\ln\) 得到 \(\frac{1}{x} \ln x\),就能做了。
- 有极值点偏移的意识
- 代数意义拆绝对值。
- “有些就是你求不出来解,所以让你求 整数 m 的最小值之类的,纯恶人。”
- 讨论有几个零点,看看对不对泛化出
圆锥曲线
哥,能不能别把椭圆和双曲线搞反了
圆系方程是离心率,渐近线一样,不是焦点一样, nmd 别再干这个了。
光学性质:抛物线交点出发光线平行线;双曲线一个焦点出发反射光线反向延长过另一个焦点。
抛物线四圆:焦点弦直径圆且准线;FA [在双曲线上] 直径圆切 y 轴;焦点弦在准线投影直径圆且这个焦点弦。
抛物线:\(\frac{1}{4a}\)?让平方项系数是 1。感觉不好。
参数方程:感觉可以隐式规避,或者注意一下只有算距离极值辅助角起到作用,剩下没啥优越性
注意 x 轴还是 y 轴,双重 sb 标准!!!!
阿氏圆,可以算一条直线上的俩点,然后构建出这个圆。
对于直线和椭圆,什么切线极值,用参数方程(或者模拟辅助角的过程,很方便)
焦点弦:长成 \(\pm ex \pm a\)。自然选择把 \(ex\) 换成 \(c\) 对着瞪。椭圆 a 一直是正的,注意。
椭圆中点弦:点差,\(k_{OM} \times k_{AB} = -\frac{b^2}{a^2}\),,双曲线没负号。
焦点三角形 \(b^2\) 乘或者除 \(\tan \frac{\theta}{2}\)
\(e\) 从 \(0\) 到 \(\infin\) 的过程,从圆逐渐变瘪,纵向越来越像直线。
长轴、短轴、焦距都 \(2a,2b,2c\)
题目说椭圆,不能是圆 \(a = b\)。
\(e^2\) 和 \(\frac{b^2}{a^2}\) 互换不要跳步
记得扣掉的点?斜率不存在?
算角度,其实你 tan - 也就是 k - 比叉积好,我瞎说的。
小技巧
- 有时候 「极少数」不用代 k,直接 \(x_1,x_2,y_1,y_2\) 干,还是先转化好?
- 过定点直线。在 y 轴写成 y = kx + 常数,x 轴写成 x = my + 常数。如果都不是,不如直接 y = kx+b,这样相当于是分步了,不然你几乎必定得处理拆三项的平方,难算。同时有根号也可以考虑直接 b 很好使。
- 能设直线就不要设点,经典是一个椭圆上的点做直线,先直线求出来坐标,再用那个表示分步。①
- 不要急着把 x, y 互换,再拆开再写
- 一定要单独表示:\(y_1,y_2, y_1+y_2!!!!\)
- 黄金代换:对称韦达不了,可以考虑用 \(y_1+y_2\) 与 \(y_1y_2\) 互相表达
- 向量!!直径圆垂直点积
- 为什么有时候不对称伟达,需要通过操作椭圆上的点,变成对称的,我不明白为啥啊,就是 \(3x^2+4y^2=12 \rightarrow 4y^2 = 3(4-x^2) \rightarrow \frac{y}{2-x} = \frac{2+x}{4y}\),这未免太恐怖了。
- 尽量设直线,别忘了咋用点在椭圆上!!点在圆上用直线体现的好,为啥啊!??????
- 及时止损,换方法,有时候并不是只有设直线才行?但是北京卷是这样?对称韦达不会就 quit。②
看清是准线还是 y 轴
- 代入很容易错,还是列开式子!\(y=k(x-a)+b\)
- \(\Delta\) 要出来验证!!!!记得 delta,记得范围带来的作用!!
- 不要彻底不喜欢设点,联系一个过椭圆顶点的直线,求过另外一个点坐标!!!!!!!!!!1试用情况?无法对称伟大?限制独立:ex:一条直线交俩点,然后分别过俩点做直线,这时候,你设两条直线,那个限制长得不好,只能设四个点然后分别联立直线,这样还好,因为是对称的,相当于是一次,而且不用那啥,就是直接有坐标对应
抛物线,任意一种,一个直线过焦点,到原点俩斜率乘积都是4 。
check:
- 带入 k = 0 or inf check
- 最后求出来值 画图瞪一下
向量
夹角为锐角:点积 \(>0\) 且不共线
看清是点积还是长度乘积。
坐标和向量搞清楚,不要倒错。
不会做
把不自然的点总结下来。
三角函数
- 写过程记得写角的范围
二项式定理
记得还有组合数。
二项式系数就是组合数,系数是附带的所有。
\((a+b)^n\) [a 从大到小,b 从小到大,我觉得很反直觉] 的第 \(i\) 项是 \(C_n^ia^{n-i+1}b^{i-1}\)。
填空最后一题
- wdnmd 刚知道一般 4 个 3 个都是对的,confirm。
- 很多时候硬导很有用,不要不敢。
- 迭代式函数,\(a_n = f(a_{n-1})\),可以考虑画 \(y=x\) 和 \(f(x)\) 图像,然后迭代过程相当于走折现:每次纵向走到 f 然后横着走到 y = x .....
导数大题
注意带入函数值的时候不要错了owowowoow,多个函数的时候提醒自己注意
思路
- 自由换元:最后一问有时候你要解决一个带参(设为 \(a\))的函数满足一些性质,然后得 \(a\) 的范围,通常来说会变成 一个关于极值点 \(x_0\) 的和 \(a\) 的不等式方程,然后你有 \(a\) 与 \(x_0\) 的关系(极值点),一般是用把 \(x_0\) 消掉,
但是有时候就是这个是超越方程,比如 \(ax_0 = x_0^2-1\) ,这个解出来有点没法要,但是用 \(x_0\) 表示 \(a\) 就轻松多了!more extd:$a,x_1,x_2 \rightarrow $ 单一变量,ex:\(x_1\)。 - 复杂方程说不定求导一下都消掉了,求导就完了。
- 三次方程有时候真不是解不出来,需要找根。
- 关键 / 不动点
- 一定要关注好不动点!!!!很多解题关键是这个,sb 好多次了。
- 必要性检验 ① 一遍单调放缩证 ② 一遍找一阶导和 0 不同的,然后零点存在定理
- 找点的时候,因为不能说极限,但形如 x 在分母,可以通分舍去分母的方式用单调性找零点。
- 通分是神(比如无零点,通分只考虑分子,分母限制定义域)
- 有时候别硬导,比如对数和三角复合,导估计就寄了,不如直接看原函数,可能有性质。
- 参变分离是神,优先考虑
- 比值代换。
追求他的满分过程
陋习
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通常认为,直接导,或者是去掉分母,能解决 (这里定义为,过程可以得满分) 的题集合是比 参变分离要多的,但劣势是通常要找点,还有可能找不到“我几乎找不到”。
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例 \(x\ln x\),需要说明 \(x\) 趋近于 \(0\) 是 \(0\)。若说不了就 -2,感觉这个优先级可以放在最后。
立体几何
- 直线夹角只能 \([0, 90°]\)!!要取小的角
- 检验。先向量后尽量几何
- 注意让你求得是啥,角度,还是正弦值,还是余弦值。
双线程
有些体型基本没有双线程,怎么保证算对?立体几何、概率、圆锥曲线 ...
独立性检验
两个交叉的相减平方乘总数,除以四个二元的积。越强相关性越强
好像没考过北京。
线性回归
保证那个线在均值上
以平均值为原点建系, k 是 xy 和 / x^2 和
b 用均值在点上求。
好像没考过北京。