CTS 2022 部分题解

5个lxl题已经公布，笑死。

Day2

A. 燃烧的呐球

复杂问题貌似 boruvka 严格比剩下俩厉害，因为所属关系每轮固定！

考虑 boruvka，相当于每次对于每个颜色，要找异色最小边。

如果 \(x, y\) 中至少有一个不呈祖先关系是平凡的，可以枚举另一边，在树上 dfs 做到 \(O(n)\)，这样有可能数到祖先关系但默认成加法了，但没关系，因为 - 更小，会在数祖先关系的时候更新掉。

只需处理两个都呈祖先关系情况：

• 当前两个都是祖先，线段树（单点修改，区间查询）合并，\(O(m \log n)\)
• 当前一个祖先，一个儿子，按祖先维线段树（区间 \(\text{chkMin}\)，单点查询）合并，\(O(m \log n)\)
• 两个都是儿子，一个较劣但能接受的方法是，树剖把祖先拆成 log 个链的前缀，再使用区间 \(\text{chkMin}\)，单点查询的线段树，这样是 \(O(m \log ^2 n)\)，足矣通过。（应该能做到更优但较为复杂，例如可以先化为矩形 chkmin ，单点查询形式，然后一开始预处理那个（x 拆成 log 个区间）线段树结构，每个线段树（y 离散化后）位置按权值排序，然后每轮进去用线性并查集算出每个位置最优点值，还要定位离散化节点，把查询离线双指针，这样就 \(O(m \log n)\) 一次，太复杂，好像不可实现。。）

总复杂度 \(O(m \log ^3 n)\) 或 \(O(m \log ^ 2n)\)

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B. 袜子

没利用到随机性质，哈哈。

首先询问半平面点个数是可做的，一种做法 是分块后极角排序双指针，询问二分。

考虑这个题，考虑设定一个阈值 \(B\)，颜色出现次数 \(>B\) 的之间套上面那个做法，小的考虑，每次把颜色相同的放到一组里，只需要动态维护一下这个顺序下，每个点有多少颜色相同的在它前面，并且快速求前缀和，这个可以树状数组，并且和排序同瓶颈。

既然出现次数都 \(\le B\) 了，那么我们分组可以把每块固定在 \([B, 2B)\) 范围内，这样每组都是 \(O(B)\) 的了。

总复杂度 \(O(B^2\frac{n}{B} \log { B^2} + q \frac{n}{B} \log {B^2})\)，取 \(B = \sqrt{q}\) 最优，为 \(O(n\sqrt{q}\log q)\)

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