省选题乱做

好久没更博了。

2020 省选联考

「联合省选 2020 A | B」冰火战士]

找单调增、降的最小值这样的函数的最大值。

先二分一次找到临界点，然后最优答案一定存在于左右两边，然后再二分一次找到最右侧能取到的位置。

用树状数组常数小 \(O(n \log n)\)

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「联合省选 2020 A」组合数问题

下降幂和组合数结合：

\[{n \choose k} k^{\underline{m}} = {n - k \choose m - k} n^{\underline{m}} \]

如果把 \(f\) 转为下降幂多项式 \(b\)，交换求和顺序后，第二层可以化为一个二项式定理的形式。

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「联合省选 2020 A」魔法商店

论文题。

保序回归问题：给定数组 \(w, y, p\)，同时给一个 DAG，赋值 \(f\)，要求赋值后任何一条 DAG 上路径 \(f\) 递增，最小化 \(\sum_i w_i|f_i-y_i|^p\)

做法：整体二分，转化为只选 \(mid, mid+\epsilon\) 的问题（确保这之中不会有最优解），这个是最大权闭合图模型。选的这个东西类似于求导。

此题：把可以代替 \(A\) 里的一个元素 \(u\) 的点 \(v\)，连 \((u, v)\) 的边。\(B\) 类似。

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「联合省选 2020 B」幸运数字

差分

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「联合省选 2020 A | B」信号传递

卡空间的屑状压DP

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「联合省选 2020 A」树

按位考虑每个点对祖先的贡献。

对于第 \(k\) 位，是一个 \(2^{k+1}\) 的循环节（可以理解为模这个意义下加法），并且每 \(2^{k}\) 个切换一个状态。那么切换状态的深度满足模 \(2^k\) 同余，用一个桶记录一下差分的地方，用天天爱跑步的方法把子树的贡献拿出来即可。

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「联合省选 2020 A」作业题

枚举 \(gcd\)，算出对应的和。考虑算是 \(k\) 的倍数的生成树边权和，然后简单容斥。

经典用矩阵树定理，把值搞成 \(1 + wx\) 的形式，最后一次项就是答案。

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「联合省选 2020 B」卡牌游戏

若干前缀和最大值

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「联合省选 2020 B」消息传递

简单点分治。\(O(n \log n)\)

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「联合省选 2020 B」丁香之路

考虑走过的边形成的图，起点和终点度数是奇数，剩下都是偶数，给起点终点手动加一个度后，问题变为了再给这个图加一些边使得所有点都是偶数，并且联通。

两两奇数度点连边（注意，这之中的点也都加入联通块，可以理解为这之间都连 \(1\) 的边），这样一定花费最小，如果不相邻就会出现交叉，显然不优。

然后解决联通问题，考虑联通整个图最小代价是最小生成树，还得保持偶度数，答案贡献加 \(2\times\) 最小生成树。

复杂度 \(O(m + n^2\log n)\)

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2019 十二省联考

「十二省联考 2019」异或粽子

前缀和后即两两异或前 \(k\) 大值。先转成有序，然后人为固定一个顺序。这里就 \(t_{u,k}\) 表示和 \(u\) 异或第 \(k\) 大的，一开始把 \(t_{i,1}\) 放进去，之后每次拿出 \(t_{u,k}\) 就插入 \(t_{u,k+1}\)，找第 \(k\) 大可以建立 Trie 树 \(O(\log)\) 做到。

复杂度 \(O(k \log n)\)

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「十二省联考 2019」字符串问题

把支配关系放在图上，然后再用每个 \(B\) 串 \(u\) 和每个 \(A\) 串 \(v\) 满足 \(u\) 是 \(v\) 前缀，连一条 \((u,v)\) 的边，边权是 \(v\) 的长度，可再建一个起始点，向每个 \(A\) 串连边权长度的边。答案就是起始点开始图上最长路。

考虑如何快速连边。

• 建 SA，按长度最小到大顺序，每次插入一个 \(B\) 串时，SA 上的一段区间的 \(A\) 串（可以二分找）向 \(B\) 串连边，主席树优化建图即可。
• 把串都反转，前缀关系变为后缀，建 SAM，SAM 的 Link 树上 \(u\) 是 \(v\) 的后缀等价于 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，因此 \(u\) 向子树连边即可。但需要注意的是，由于 SAM 高度压缩，但长串不能向短串连边，因此就要在 SAM 上拆点。我是在 SAM 的每个节点上开个 \(\text{map}\)，对应长度统计编号，最后统一建父亲向儿子的边。

复杂度都是 \(O(n \log n)\) 的，不过 SA 的空间大一点。

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「十二省联考 2019」骗分过样例

告辞

「十二省联考 2019」皮配

关键是我们并不需要决定具体选择哪个导师。限制也是阵营、派系的。并且这两个确定，就能唯一确定一个导师。

所以问题就是给每个学校分配两个属性，城市里学校选择阵营要一样，因此得一起选，分部 DP，最后合并时枚举一个维度，剩下一维是一个矩阵和，用二维前缀和 \(O(1)\)：

• 无限制的城市、学校：直接 DP，互不影响最后乘起来 ：\(O(nms)\)
• 有限制的城市、学校：绑在一起 DP：\(O(km^2)\)（或 \(O(k^2s^2m)\)）

谢谢，已经写吐了。

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「十二省联考 2019」春节十二响

在子树结构中，考虑递归的先把儿子的最优解找到，然后考虑合并。

这里最优解定义为一个多重集，每个元素集选的一段的最大值。

考虑 \(u\) 的最优解用到的合并一定是儿子的若干最优解，因为不同子树不存在祖先关系所以互不影响，可以随意合并。

这样问题就变成了，有两个集合，你要将他们合并，一次操作可以是：

• 各选择一个集合中的元素，删除，加入一个元素，值是这俩的 \(\max\)。

若合并 \(k\) 次，两组集合各选择最大的 \(k\) 个即可。

这样每次合并，可以使总数减掉一个最大值的 \(\min\)，任意调整都会出现减掉的东西更少。

用 \(\text{set}\) 维护最优解，任意的 \(\text{swap}\) 是 \(O(1)\) 的，合并一个就少一个，复杂度 \(O(n \log n)\)。

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「十二省联考 2019」希望

绝 望

[六省联考2017]期末考试

枚举最晚完成时间，贪心匹配。复杂度线性。

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[六省联考2017]组合数问题

化为组合意义：从 \(nk\) 个物品选 \(i\) 个物品满足 \(i\mod k = r\) ，\(k\) 很小，矩阵快速幂即可。

md 我个垃圾还想了好久。

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[六省联考 2017] 相逢是问候

暴力 80 就离谱。

用扩展欧拉定理把指数降下来，考虑 \(k\) 次迭代，每次模的数是原来的一个 \(\phi\)，考虑每两次 \(\phi\) 至少下降 \(2\) 倍（有一个 \(2\) 质因子，奇数变偶）。

设迭代到 \(1\) 次数是 \(s\)。

那么迭代次数 \(> s\) 答案都是一样的，所以可以暴力改，每个元素最多改 \(\log\) 次，每次改，倒着递推即可，记得处理边界即需要加的情况。

这样是 3 只 \(\log\)，考虑同底光速幂，这样就做到了两只 log。

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md 只有这种联考难度能让我想出三题正解。。