学习笔记：从 「1」开始的数论！「2020落谷夏令营基础省选」

前置（？）学习笔记：简单数论

基础知识

互质

\(gcd(a, b) = 1\) 又称 \(a ⊥ b\)，互质抽象理解为代数意义上的垂直（神奇

范围内数的倍数

在 \([1, n]\) 中，\(d\) 的倍数有 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) 个。

这个比较显然，\(1, d, 2 \times d, ..., k \times d\)，最大的 \(k \times d \le n\) ，即 \(k = \lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)

整除叠加性质

对于任意 \(x\) 与正整数 \(a, b\)，都有：

\(\lfloor \dfrac{\lfloor \dfrac{x}{a} \rfloor }{b} \rfloor = \lfloor \dfrac{x}{ab} \rfloor\)

---

自己想的奇怪的证明，把数 \(n\) 拆成 \(n = qk + r\) 的形式，其中 \(k\) 为整数， \(0 \le r < q\)，那么 \(\lfloor \frac{n}{q} \rfloor = k\)。

拆左边，\(x = ac + d = a(be + f) + d = abe + af + d\)

拆右边，\(x = aby + z\)

\(∵ e, y\) 是整数，\(0 \le z < ab\)，且 \(z\) 是唯一的，故只需证明 \(0 \le af + d < ab\)，即可得到 \(y = e\)。

由余数的性质，有 \(af + d < af + a < a(f+1) <= ab\)

证毕

---

数论函数

数论函数

定义域为正整数，值域是复数的子集的函数称为数论函数。

\(\text{OI}\) 中，值域一般也是整数域。

常函数

用 \(1\) 表示不管输入什么，取值恒为 \(1\) 的常函数。

幂函数

• \(\text{Id}_k(n) = n^k\)
• \(\text{Id} = \text{Id}_1\)

积性函数

• 若对于任意互质的正整数 \(a, b\)，满足 \(f(ab) = f(a) \times f(b)\)，则 \(f\) 为积性函数。
• 若对于任意正整数 \(a,b\)，满足 \(f(ab) = f(a) \times f(b)\)，则 \(f\) 为完全积性函数。

研究方法

算数基本定理将 \(n\) 分解：\(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_s^{c_s}\) （以后函数的唯一分解都是这个性质），则有

\(f(n) = f(p_1^{c_1})\times f(p_2^{c_2}) \times ...\times f(p_s^{c_s})\)

研究积性函数 \(f\)，可以转化为研究 \(f(p^c)\)，即 \(f\) 在素数与素数幂的取值。

求值

• 算一个，可以 \(O(\sqrt n)\) 分解质因数，乘起来

• 算出 \([1, n]\) 所有的 \(f\) ，可以欧拉筛，求出每个数最小质因子与最小质因子幂次，利用这个可以线性算。

单位函数

$ε(n) = [n = 1] $

• \([\text{condition}]\) 表述当条件 \(\text{condition}\) 成立时取值为 \(1\)，否则为 \(0\) 的函数。

• 单位函数是完全积性函数*

除数函数

\(σ_k(n)\) 表示 \(n\) 的所有因子的 \(k\) 次方之和，即

\[σ_k(n) = \displaystyle\sum_{d|n} d^k \]

• 特别的，约数个数 \(σ_0(n)\) 又称 \(d(n)\)，约数和 \(σ_1(n)\) 又称 \(σ(n)\)
• 除数函数都是积性函数（这个比较显然，每个质因子贡献独立，唯一分解后 \(σ_k(n) = \displaystyle\prod_{1 \le i \le s} 1 + p_i^k + p_i^{2k} + ...+p_i^{ck}\)）

神奇的式子

\(\displaystyle\sum_{x=1}^n \lfloor \frac{n}{x} \rfloor = \displaystyle\sum_{x=1}^n d(x)\)

两者本质上都是 \((i, j)\) 二元组，满足 \(i \times j \le n\) 的个数。

• 其中第一个式子映射为 \(\lfloor \frac{n}{x} \rfloor \Rightarrow (1, x), (2, x),...,(\lfloor \frac{n}{x} \rfloor ,x)\)
• 第二个式子的映射：\(d(x) \Rightarrow (k, \frac{x}{k})\)（其中 \(k\) 为 \(x\) 的因子）

欧拉函数

欧拉函数（Euler's totient function） \(\varphi(n)\) 表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数。

算数基本定理 \(+\) 容斥原理（总共 \(n\) 个数，我们减掉每个质因子的倍数：\(\frac{n}{p_i}\)，减重复了，加上 \(\frac{n}{p_ip_j}\) 如是一直套娃...）可以得到表达式：

\[\varphi(n) = n · \displaystyle\prod_{i=1}^{s}(1 - \frac{1}{p_i}) \]

• 通过表达式，可得欧拉函数是积性函数

性质

对于任意 \(n\)，都有

\[n = \displaystyle \sum_{d|n} \varphi(d) \]

---

证明

考虑 \(1 \le i \le n\) 所有产生的 \(\text{gcd}(n, i) = d\)，考虑枚举所有的 \(d | n\)，等式两边同除 \(d\)，\(\text{gcd}(\frac{n}{d}, \frac{i}{d}) = 1\)，故对于 \(d\) 而言，对应 \(i\) 的个数有 \(\varphi(\frac{n}{d})\) 个。

我们考虑了所有 \(d\)，也就考虑了 \([1, n]\) 的 \(n\) 个整数，故：

\[n = \displaystyle \sum_{d|n} \varphi(\frac{n}{d}) = \displaystyle\sum_{d|n} \varphi(d) \]

---

算法

\(O(n)\) 欧拉筛 \(\varphi\) 前 \(n\) 项：

phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if(!st[i]) primes[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
    for (int j = 1; i * primes[j] <= n; j++) {
        st[i * primes[j]] = true;
        if(i % primes[j] == 0) {
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
            break;
        }
        phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
    }
}

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数（Mobius function）函数 \(\mu(n)\) 定义为：

\[\mu(n) = \begin{cases} 1, n = 1; \\ (-1)^s, n = p_1p_2...p_s \\ 0, 其他情况 \end{cases} \]

\(p_1,...,p_s\) 为不同素数，通俗来说，就是 \(n\) 非 \(1\) 的情况，将其唯一分解，如果有一项的 \(c_i > 1\)，函数值为 \(0\)，否则为 \(-1\) 的 \(s\) （约数个数）次方（即正负迭代）。换句话说，仅当 \(n\) 非平方因子时， \(\mu(n) \not=0\)

• 枚举各种情况，可知 \(\mu\) 为积性函数

性质

\[\epsilon(n) = \displaystyle\sum_{d|n} \mu(d) \]

证明

\(n = 1\) 时成立。

\(n \not=1\) 时，将 \(n\) 唯一分解，我们只考虑非平方因子的约数，因为只有他 \(\mu\) 存在加和贡献。

\[\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d) = \displaystyle\sum_{k=0}^s (-1)^k · C_s^k = (1 - 1)^s = 0 \]

该式子前面是组合数选有贡献的 \(d\)，后面用到了二项式定理。

算法

\(O(n \log \log n)\) 筛 \(\mu\) 的前 \(n\) 项：

for (int i = 1; i <= n; i++) miu[i] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!st[i]) {
        miu[i] = -1;
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
            st[j] = true;
            if ((j / i) % i == 0) miu[j] = 0;
            else miu[j] = -miu[j];
        }
    }
}

狄利克雷卷积

对于三个数论函数 \(f, g, h\)，若满足：

\[h(n) = \displaystyle\sum_{d|n} f(n) \times g(\frac{n}{d}) \]

则称 \(h\) 为 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷积（Dirichlet Product），数学符号可记为 \(h = f * g\)。

性质

• 单位函数 \(\epsilon\) 是狄利克雷卷积的单位元，对于任意函数都满足 \(f = f * \epsilon = \epsilon * f\)，这个展开表达式非常显然。
• 狄利克雷卷积满足交换律和结合律（因为本质是枚举多元组，使其乘积为定值，各项相乘）。
• 若 \(f, g\) 是积性函数，那么 \(f * g\) 也是积性函数（展开表达式可证明）。

计算

• 计算单个 \(h(n)\) ，要枚举约数
• 计算 \(h\) 前 \(n\) 项，可以枚举 \([1, n]\) 每个数的倍数，复杂度是调和级数 \(O(n\log n)\)。

函数关系用狄利克雷卷积表示

很多函数关系性质都可以用狄利克雷卷积的关系来表示。

• 除数函数和幂函数的关系：\(σ_k = 1 * \text{Id}_k\)
• 欧拉函数与幂函数的关系：\(\text{Id} = 1 * \varphi\)
• 莫比乌斯函数与单位函数的关系：\(\epsilon = 1 * \mu\)

应用

在求和式子中，通过以上卷积关系式，等价替换，调换求和顺序，倍数约数反向枚举等技巧，最终神奇地做到降低时间复杂度（太神奇了！）

莫比乌斯变换

\(f\) 是数论函数，若函数 \(g\) 满足：

\[g(n) = \displaystyle\sum_{d|n}f(d) \]

则称 \(g\) 为 \(f\) 的莫比乌斯变换（Mobius transformation），\(f\) 为 \(g\) 的莫比乌斯逆变换。

• 可以用狄利克雷卷积形式表示，即 \(g = f * 1\)

莫比乌斯反演定理

若 \(g\) 为 \(f\) 的莫比乌斯变换，则满足：

\[f(n) = \displaystyle\sum_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d}) \]

也可以写成狄利克雷卷积形式：\(f = g * \mu\)

证明

用狄利克雷卷积的形式证明更加快捷：

\(∵ g = f * 1, \epsilon = 1 * \mu\)

\(∴ f = f * \epsilon = f * 1 * \mu = g * \mu\)

无平方因子数

求 \(n\) 以内的无平方因子数的个数，即：

\[\\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n \mu^2(k) \]

尝试时间复杂度更优的方式，用推导欧拉函数表达式类似的方法，可得：

\[\\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n \mu^2(k) = \displaystyle\sum_{d=1}^{\sqrt n} \mu(d) \lfloor \dfrac{n}{d^2} \rfloor \]

• 莫比乌斯反演可以感性理解为一种整除关系的容斥

数论函数求和

杜教筛

咕咕咕，太难了，不会微积分，复杂度不会分析。

等待更新。

杂项

等待更新。