记一道毒瘤的数学题

这种数学数数计算题搞到计算机上就变的很简单了。。。。

可以暴力 \(dfs\) \(O(3^{15})\) 也可以简单 \(DP\) \(O(15*m)\) \(m\) 是边数。

设 \(f_{i,j}\) 为走 \(i\) 步到 \(j\) 的方案数，每层递推即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int m;

int g[40][2], f[16][10];

void add(int u, int v) {
	u -= 'A', v -= 'A';
	g[++m][0] = u, g[m][1] = v;
}

int main() {

	add('A', 'J'); add('J', 'A');
	add('B', 'I'); add('I', 'B');
	add('C', 'H'); add('H', 'C');
	add('D', 'G'); add('G', 'D');
	add('E', 'F'); add('F', 'E');
	add('A', 'B');
	add('B', 'C');
	add('C', 'D');
	add('D', 'E');
	add('E', 'A');
	add('F', 'G');
	add('G', 'H');
	add('H', 'I');
	add('I', 'J');
	add('J', 'F');

	f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 15; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			int u = g[j][0], v = g[j][1];
			f[i][v] += f[i - 1][u];
		}
	}
	printf("%d\n", f[15][0]);
	return 0;
}

得出结论 \(3004\)

前置知识：

组合数

\(C_a^{b}\) 表示从 \(a\) 里面选 \(b\) 个，忽略顺序的方案数。（公式请自行百度组合数）

隔板法

把 \(a\) 个完全相同的物品分成 \(k\) 组，每组至少有一个物品的方案数。

把 \(a\) 个物品排成一列，相邻两个之间想象有一个隔板，相当于从这 \(a - 1\) 个隔板里选出 \(k - 1\) 个隔板忽略顺序。

分出的 \(k\) 份就是答案。

故公式为 \(C_{a - 1}^{k - 1}\)

线性方程组的正整数解方案数

求 \(x_1 + x_2 + ...+x_n = m\) 的正整数解。

看做 \(m\) 个物品分成 \(n\) 份即可，代公式 \(C_{m - 1}^{n - 1}\)

线性方程组的非负整数解方案数

求 \(x_1 + x_2 + ...+x_n = m\) 的非负整数解。

令 \(y_i = x_i + 1\)。

变换一下为求 \(y_1 + y_2 + ...\ y_n = m + n\) 的正整数解。

带入上次的公式即为 \(C_{n + m - 1}^{n - 1}\)。

hhhh我相信没人能看懂我写的这么个破玩意的。

猪脑子不会做这题。

先进行一步转化：

将 \(A, B, C, D, E\) 视为 \(0, 1, 2, 3, 4\)。

将 \(J, I, H, G, F\) 视为 \(0', 1', 2', 3', 4'\)

下面所述一切操作在 \(\bmod 5\) 意义下

• 一次从内外转换：在 \(i\) 与 \(i'\)之间相互切换。

• 在内圆走：\(i \Rightarrow i + 1\)

• 在外圆走：\(i \Rightarrow i - 1\)。

初始状态 \(0'\)。目标状态 \(0'\)。求进行 \(15\) 次操作成功抵达目标状态的方案数。

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设在内圈逆时针走了 \(a\) 步，在外圈顺时针走了 \(b\) 步，外圈内圈上反复横跳走了 \(c\) 步。

限制条件：

1. \(a + b + c = 15\)

2. \(c\) 是偶数。若 \(c\) 是奇数，最后会停在外圈

3. 由第二题限制，可知 \(a + b\) 为奇数。

4. \(a\) 对位置的数值贡献是 \(+a\)，\(b\) 的贡献是 \(-b\)。为了保证最终停在 \(0\)，需要保证 \(a \equiv b \pmod 5\)。

经过这些恶心的限制以后，筛出所有符合的 \((a, b, c)\) 数对：

\((0, 5, 10), (0, 15, 0), (1, 6, 8), (2, 7, 6), (3, 8, 4), (4, 9, 2), (5, 0, 10), (6, 1, 8), (7, 2, 6), (8, 3, 4), (9, 4, 2), (10, 5, 0), (15, 0, 0)\)

真tm好！

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对于一组 \(a, b, c\)，考虑构造具体的方案。

把每一步当作一个字符，形成的路径可以看做一个字符串如 \(aaaaacccccccccc\)。

具体的方案限制：

• 每个 \(a\) 的前面的 \(c\) 的个数必须为偶数，即保证进行 \(a\) 操作时在内圈
• 每个 \(b\) 的前面的 \(c\) 的个数必须为奇数，即保证进行 \(b\) 操作时在外圈。

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方案计算需要组合排列的知识。

考虑先把 \(c\) 丢进去，构造方案地将 \(a, b\) 插入的方案。

• 将每两个 \(c\) 化为一组，\(?cc?cc?cc?\) 。即每个 \(?\) 的位置可以插入 \(0\) 到无限多个 \(a\)。方案数即将 \(a\) 个插入这 \(\dfrac{c}{2} + 1\) 个位置里，等价于 \(x_1 + x_2 + ..+x_{\frac{c}{2} + 1} = a\) 非负整数解的方案数。用隔板法可知（老 生 常 谈）方案数为 \(C_{a + \frac{c}{2}}^\frac{a - 1}{2}\)。

• 第一个 \(c\)，后面每两个 \(c\) 化为一组，\(c?cc?cc?c\) 。即每个 \(?\) 的位置可以插入 \(0\) 到无限多个 \(a\)。方案数即将 \(a\) 个插入这 \(\dfrac{c}{2}\) 个位置里，等价于 \(x_1 + x_2 + ..+x_{\frac{c}{2}} = b\) 非负整数解的的方案数。用隔板法可知（老 生 常 谈）方案数为 \(C_{b + \frac{c}{2} - 1}^{\frac{c}{2} - 1}\)。

故一种 \(a, b, c\) 三元组的贡献是 \(C_{a + \frac{c}{2}}^\frac{c}{2} \times C_{b + \frac{c}{2} - 1}^{\frac{c}{2} - 1}\)。答案为所有贡献之和。

注意特殊情况 \(c = 0\) 时，我们不会负数的组合数（无意义），不能用这个公式，横跳不到外圈：

• 此时如果 \(b > 0\)， 但是没地方放，当场去世。\((0, 15, 0), (10, 5, 0)\)
• \((0, 15, 0)\) 显然方案为 \(1\)。狂走三圈。

把刚才那一堆恶心的东西按照 \(c\) 排序应该会好算一点

$ (4, 9, 2), (9, 4, 2), (3, 8, 4), (8, 3, 4), (2, 7, 6), (7, 2, 6), (1, 6, 8), (6, 1, 8) , (0, 5, 10), (5, 0, 10)$

\(Ans = 1 + C_5^1\times C_{9}^0 + C_{10}^1\times C_{4}^0 + C_{5}^2\times C_{9}^1 + C_{10}^2\times C_{4}^1+ C_5^3\times C_{9}^2 + C_{10}^3\times C_{4}^2 + C_{5}^4\times C_{9}^3 + C_{10}^4\times C_{4}^3 + C_5^5\times C_{9}^4 + C_{10}^5\times C_{4}^4\)

显然的，奇偶拆开，这是有规律的，但是我并没有找到，导致搞出来这么个破玩意：

\(Ans = 1 + C_5^1\times C_{9}^0 + C_{5}^2\times C_{9}^1 + C_5^3\times C_{9}^2 + C_{5}^4\times C_{9}^3 + C_5^5\times C_{9}^4 + C_{10}^1\times C_{4}^0 + C_{10}^2\times C_{4}^1+ C_{10}^3\times C_{4}^2 + C_{10}^4\times C_{4}^3+ C_{10}^5\times C_{4}^4\)

\(= 1 + 5*1+10*9+10*36+5*84+1*126+10*1+45*4+120*6+210*4+252*1\)

\(= 1 + 5 + 90 + 360 + 420+126+10+180+720+840+252\)

\(= 3004\)

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后续：

这是人做的题吗？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

我再尝试一下能不能找到简单的组合意义。

\(Ans = 1 + C_5^1\times C_{9}^0 + C_{5}^2\times C_{9}^1 + C_5^3\times C_{9}^2 + C_{5}^4\times C_{9}^3 + C_5^5\times C_{9}^4 + C_{10}^1\times C_{4}^0 + C_{10}^2\times C_{4}^1+ C_{10}^3\times C_{4}^2 + C_{10}^4\times C_{4}^3+ C_{10}^5\times C_{4}^4\)

利用 \(C_n^m = C_n^{n - m}\) 将式子等价转化一下。

\(Ans = 1 + C_5^4\times C_{9}^0 + C_{5}^3\times C_{9}^1 + C_5^2\times C_{9}^2 + C_{5}^1\times C_{9}^3 + C_5^0\times C_{9}^4 + C_{10}^1\times C_{4}^4 + C_{10}^2\times C_{4}^3+ C_{10}^3\times C_{4}^2 + C_{10}^4\times C_{4}^1+ C_{10}^5\times C_{4}^0\)

\(= 1 + \sum_{a+b=4} C_5^a \times C_9^b + \sum_{a + b = 5}C_4^a\times C_{10}^b\)

好吧还是什么都想不出来，佛了佛了。

（大佬们应该能想出更为容易的组合意义表示，反正我是想不出来，目前能想到的就是这个枚举的是 \(a = k+1\) 的 \(k\) 然后就想不到怎么分配了。