12称重

8球称重：8个球，一球稍重，称两次找出来这个球。

12球称重：12个球，有一个坏球（不知道是轻了还是重了），用天平称三次找出那个坏球。

先看简单的8球。若一般常规思维来看这道题，4-4，2-2，1-1，明显需要称3次。题目说了只要两次，看来需要点非常规的思维了。

5-5显然不行，试试3-3。
（这里用A3表示前三个球，B3表示后三个球）
 

A3=B3	然后把剩下的两个直接相称，取重者即可。
A3>B3（前三个较重）	把前三个中取两个称重，若有较重者，可得。天平平衡则重球是第三球。（推论：当知道轻了还是重了的时候，3球可一次称出来）
A3<B3（后三球较重）	同上

再来看12球，如果你试下常规思维的话，会发现对半的称量也是不可解的。

5-5-2这样称的话，第三堆太少，第一次相等还好。若不相等，可能是前5个重了，也可能是后5个轻了，这时只有两个正常的，两次很难判断。
能够多想一点的话，会发现4-4-4是个有趣的划分。

若A4=B4：则坏球一定在C4里。这时取C中三个和A中三个称，即可知道坏球到底是重了还是轻了。根据8球已得出来的结论，当知道轻了还是重了的时候，3球可一次称出来。

若A4>B4：那么问题就变成了从8个球中找出来那个坏球。关键是不知道坏球是重了还是轻了，倘若知道的话，直接套用上一题就行了。

那么第二次需要称几个球呢？
首先试3-3称的话，左右两边该怎么放球呢？如果还是左边A3，右边B3的话，显然两次是称不出来的。那么就必须掺开了，也就说一边既有A的也有B的，这样才可能称出来。试试a1 a2 b1---b2 b3 a3，如果前者大于后者的话a1，a2重了或是b2，b3轻了，同时b1和a3一定是正常的(A4>B4)。再用一次的机会找出是a1,a2,a4 重了或是b2，b3，b4轻了的一个显然是不可能。这时我们会发觉其实可能并不是我们在3-3称的左右两个怎么放的问题，很可能是本身3-3的问题，因为本身3-3称的话包含的信息的太少了，而且对于C的4个正常的，我们或许可以用到。


试试5-5的情况，这时两边的球怎么放可能会是我们考虑重要问题，因为毕竟称量用的球多了嘛。
先来a1 a2 a3 b1 b2---c1 c2 c3 c4 b3 若前者大于后者，则是a1,a2,a3重了或是b3轻了，下一步看来也无法称出来（左边信息过少）。若前者后者小于后者的话，那么b1,b2轻了，下一步很容易便称出来了。这时会不会发觉第三步称出来的太简单了，前面都是最后三个球一次称出来了（右边信息多了）。
所以我们可以考虑将右边的信息向左移动点，也就是把右边确定的往左，左边不确定的往右。
a1 a2 c1 b1 b2--- c2 c3 c4 a3 b3，如果前者大于后者，则是a1,a2重了或是b3轻了，这时第三次称a1，a2就可以了。
如果前者小于后者，则是a3 重了或是b1 b2轻了，第三次称b1,b2就可得了。
A4>B4同理可得。

本文致力于寻找一种可行的逻辑思维，分析中可能存在疏漏还请大家指教。注意一点在12球5-5分怎么放球时由于怎么放的可能性很多，所以建议不要瞎试，尝试着分析一种情况后调整。


经常看到有人拿信息论来解决这些有趣的问题，而且简单明了，给人人启示，这里就有篇文章数学之美番外篇：快排为什么那样快。