C++迪杰斯特拉算法求最短路径
一：算法历史
迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
二：算法思想
按路径长度递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
三：应用举例
（1）题目：编写一个校园导游程序，为来访的客人提供各种信息查询服务。
主要功能：1.设计学校的校园平面图，所含景点不少于10个：顶点表示景点，边表示路径等；
2.为客人提供图中任意景点相关信息的查询；
3.为客人提供图中任意景点的问路查询，即查询人以景点间的一条最短路径。
要求：1.设计一个主界面；
2.设计功能菜单，供用户选择
3.有一定的实用性。
（2）设计思路：
1、该题主要有算法思路以及程序的逻辑思路，首先从逻辑思路讲，进入程序，首先设计一个主菜单，选项有景点信息查询，最短路径查询以及显示景点的平面视图三个子菜单，然后根据用户的输入选择的子菜单前的编号，分进入不同的子菜单；该功能是由if….else if…. 语句实现。在景点信息查询和最短路径查询子菜单下还有二级子菜 单，都是列 出所有景点并在前面编号，查询景点信息时，输入景点前面的编号即可，查询最短路径时，先输入起点的编号，再输入终点的编号。而显示景点视图则调用景点平面图函数即可显 示。
2、算法思路主要是迪杰斯特拉算法的思路，利用迪杰斯特拉算法求最短路径。
3、先定义好图的储存结构，本题采用邻接矩阵的方式来表示图，并在主函数中初始化该图；
4、定义三个全局一维数组，一个bool类型数组S[]用来记录从v0到vi是否已经确定了最短路径，是则记S[i]=true,否记S[i]= flase；一个int 类型数组Path[]用来记录从v0到vi的当前最短路径上的vi的直接前驱顶点编号，若v 到vi之间有边则记Path[i] = v的编号，否则记Path[i] = -1；最后一个数组D[]用来记录从v0到vi之间的最短路径长度，存在则记v0到vi之间边的权值或者权值和，否则记为MAX
5、定义一个求最短路径的函数，传入的参数为图和起点，首先进行初始化工作，初始化S[]数组全为false，D[]数组初始化为起点到各个顶点的权值，Path[]数组初始化为起点是否与各顶点有边，有则记v0否则记-1；
6、然后进行n-1次for循环，找出vo到其余n-1个顶点之间的最短路径，比较当前D[]数组中最小值，找到最小值的编号v，该编号就是从v0出发到所有顶点中距离最短的顶点编号，然后把S[v]的值置为true。说明从v0出发到顶点v已经找到最短路径；
7、接着就要更新D[]数组，因为D[]数组是记录最短路径的，现在已经找到了一个顶点的最短路径，已该顶点v为中间点，判断从该顶点v出发到剩下的顶点的路径长度加上该点到v0的路径长度是否小于直接从v0出发到其余顶点的路径长度，如果小于，则更新D[i]为以该顶点v为中间点求得的路径长度。更新Path[i] = v；即i的前驱不再是v0而是v;
8、循环（6）（7）两步n-1次即可得到D[]数组，输出D[]数组既是v0到所有顶点的最短路径长度；
（3）源代码：
#include<iostream> #include<fstream> #include<string> using namespace std; /** *作者：Dmego *时间：2016-12-12 */ #define MAX 1000000 //表示极大值∞ #define max 10 bool S[max]; //记录从源点V0到终点Vi是否已经确定为最短路径，确定了记true，否则记false int Path[max]; //记录从源点V0到终点Vi的当前最短路径上终点Vi的直接前驱顶点序号，若V0到Vi之间有边前驱为V0否则为-1 int D[max]; //记录源点到终点之间最短路径的长度，存在记V0到Vi的边的权值，否则记为MAX typedef struct { string vexs[max]; //顶点表 int arcs[max][max]; //邻接矩阵 int vexnum, arcnum; //图当前点数和边数 }AMGraph; //利用迪杰斯特拉算法求最短路径 void ShortestPath_DIJ(AMGraph &G, int v0) {//使用迪杰斯特拉算法求有向网G中的V0 定点到其余顶点的最短路径 int n = G.vexnum;//顶点数 for (int v = 0; v < n; v++)//n个顶点依次初始化 { S[v] = false;//S初始化为空集 D[v] = G.arcs[v0][v];//将v0到各个终点的最短路径长度初始化为边上的权值 if (D[v] < MAX) Path[v] = v0;//如果v0和v之间有边，则将v的前驱初始化为v0 else Path[v] = -1;//如果v0和v之间无边，则将v的前驱初始化为-1 } S[v0] = true; //将v0加入s D[v0] = 0;//源点到源点的权值为0 //---------初始化结束，开始主循环，每次求得v0到某个顶点的最短路径，将v加到S数组 for (int i = 1; i < n; i++)//依次对其余n-1个顶点进行计算 { int min = MAX; int v = v0; for (int w = 0; w < n; w++) { if (!S[w] && D[w] < min) {//选择一条当前最短路径，终点为v v = w; min = D[w]; } S[v] = true;//将v加到s集合中 for (int w = 0; w < n; w++) {//更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度 if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w])) { D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w] Path[w] = v;//更改w的前驱为v } } } } } //背景函数 void backGround() { cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << " |------------------------铁大旅游景点图-----------------|" << endl; cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << "| ⑦ 单位：米 |" << endl; cout << "| 九教 |" << endl; cout << "| ◎ ⑧ |" << endl; cout << "| ↗↖ 九栋 |" << endl; cout << "| ③ 200╱ ╲ ◎ |" << endl; cout << "| 西 ↙ ╲ 150 ↗ ↖ |" << endl; cout << "| 操 ◎ ╲ ① 160 ╱ ╲ 200 |" << endl; cout << "| 场 ↖150 ╲ 信息 ⑥ ╱ ╲ |" << endl; cout << "| ④ ↘ 140 ↘ 学院 200 基教 ↙ 230 ↘ |" << endl; cout << "| 体育馆 ◎-------------→◎←--------------→◎←--------------→◎ |" << endl; cout << "| ↖ ↗ ↖ ↗ ↖ ↗② |" << endl; cout << "| 100 ╲ ╱ ╲ 125 ╱ ╲ 150 ╱ 综 |" << endl; cout << "| ↘ ↙ 100 ╲ ╱135 ╲ ╱145 餐 |" << endl; cout << "| ◎ ↘ ↙ ↘ ↙ |" << endl; cout << "| ⑨ 沁园 ◎ ◎ |" << endl; cout << "| ⑩ 翠园 ⑤ 春晖楼 |" << endl; cout << "| |" << endl; cout << "|*****************************************************************|" << endl; } //主菜单 void menu() { cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << "|----------------------------铁大导游小程序-----------------------|" << endl; cout << " |*********************************************************|" << endl; cout << " |--------------------1-景点信息查询--------------|" << endl; cout << " |--------------------2-最短路径查询--------------|" << endl; cout << " |--------------------3-显示景点视图--------------|" << endl; cout << " |-------------------4-退出导游程序------ --------|" << endl; cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << ">>>请选择："; } //景点信息查询二级菜单 void jmenu() { cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << " |-------------------------景点信息查询------------------------|" << endl; cout << " |***********************************************************|" << endl; cout << " |----------------------1-信息学院介绍-------------------| " << endl; cout << " |----------------------2-综合餐厅介绍-------------------| " << endl; cout << " |----------------------3-西操场介绍---------------------| " << endl; cout << " |----------------------4-体育馆介绍---------------------| " << endl; cout << " |----------------------5-春晖楼介绍---------------------| " << endl; cout << " |----------------------6-基教介绍-----------------------| " << endl; cout << " |----------------------7-九教介绍-----------------------| " << endl; cout << " |----------------------8-九栋介绍-----------------------| " << endl; cout << " |----------------------9-沁园介绍-----------------------| " << endl; cout << " |---------------------10-翠园介绍-----------------------| " << endl; cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << ">>>请要查询的景点编号："; }
//最短路径查询二级菜单 void pmenu() { cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << " |-------------------------最短路径查询------------------------|" << endl; cout << " |***********************************************************|" << endl; cout << " |---------------------1-信息学院-------------------| " << endl; cout << " | --------------------2-综合餐厅-------------------| " << endl; cout << " |---------------------3-西操场---------------------| " << endl; cout << " |---------------------4-体育馆---------------------| " << endl; cout << " |---------------------5-春晖楼---------------------| " << endl; cout << " |---------------------6-基教-----------------------| " << endl; cout << " |---------------------7-九教-----------------------| " << endl; cout << " |---------------------8-九栋-----------------------| " << endl; cout << " |---------------------9-沁园-----------------------| " << endl; cout << " |--------------------10-翠园-----------------------| " << endl; cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << ">>>请依次输入起点编号和终点编号："; } void main() { //初始化操作 AMGraph amg = { { "信息学院","综合餐厅","西操场","体育馆","春晖楼", "基教", "九教", "九栋", "沁园", "翠园" }, //-1代表两边不相连，权值无限大 //邻接矩阵 /* 信 综 西 体 春 基 教 栋 沁 翠*/ {{MAX,MAX,MAX,140,MAX,200,150,MAX,100,125 }, {MAX,MAX,MAX,MAX,145,230,MAX,100,MAX,MAX }, {MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,200,MAX,MAX,MAX }, {140,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,100,MAX }, {MAX,145,MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX }, {200,230,MAX,MAX,150,MAX,MAX,160,MAX,135 }, {150,MAX,200,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX }, {MAX,200,MAX,MAX,MAX,160,MAX,MAX,MAX,MAX }, {100,MAX,MAX,100,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX }, {125,MAX,MAX,MAX,MAX,135,MAX,MAX,MAX,MAX } },10,14}; int f, ff; int start, end; while (true) { cout << endl; menu(); cin >> f; if (f == 1) { jmenu(); cin >> ff;
//景点信息从文件中读取 ifstream outfile("schooltravel.txt", ios :: out | ios :: binary); if (!outfile) { cerr << "读取景点介绍文件失败！" << endl; exit(1); } string str[max]; int i = 0; while (getline(outfile, str[i++])); cout << "|-----------------------景点介绍-------------------| " << endl; if (ff == 1) cout << str[0] << endl; else if (ff == 2) cout << str[1] << endl; else if (ff == 3) cout << str[2] << endl; else if(ff == 4) cout << str[3] << endl; else if (ff == 5) cout << str[4] << endl; else if (ff == 6) cout << str[5] << endl; else if (ff == 7) cout << str[6] << endl; else if (ff == 8) cout << str[7] << endl; else if (ff == 9) cout << str[8] << endl; else if (ff == 10) cout << str[9] << endl; cout << "|-------------------------------------------------|" << endl; } else if (f == 2) { pmenu(); cin >> start >> end; ShortestPath_DIJ(amg, start - 1); int temp = end-1; int temp1, temp2; int flag[max], m = 0; cout << "从" << amg.vexs[start - 1] << "到" << amg.vexs[end - 1] << "最短路径为：" ; while (temp!= -1) { flag[m++] = temp; temp1 = temp ; temp2 = Path[temp1]; temp = temp2; } for (int i = m-1; i >= 0; i--) { cout <<amg.vexs[flag[i]] << "->"; } cout << endl; cout << "最短路径值为：" << D[end - 1] <<"米"<< endl; } else if (f == 3) { backGround(); } else if (f == 4) { cout << ">>>退出成功！" << endl; exit(0); } } }
（4）运行截图：
schooltravel.txt下载地址：https://files.cnblogs.com/files/dmego/schooltravel.rar
