降维算法-PCA主成分分析
1、PCA算法介绍
主成分分析（Principal Components Analysis），简称PCA，是一种数据降维技术，用于数据预处理。一般我们获取的原始数据维度都很高，比如1000个特征，在这1000个特征中可能包含了很多无用的信息或者噪声，真正有用的特征才100个，那么我们可以运用PCA算法将1000个特征降到100个特征。这样不仅可以去除无用的噪声，还能减少很大的计算量。
PCA算法是如何实现的？
简单来说，就是将数据从原始的空间中转换到新的特征空间中，例如原始的空间是三维的(x,y,z)，x、y、z分别是原始空间的三个基，我们可以通过某种方法，用新的坐标系(a,b,c)来表示原始的数据，那么a、b、c就是新的基，它们组成新的特征空间。在新的特征空间中，可能所有的数据在c上的投影都接近于0，即可以忽略，那么我们就可以直接用(a,b)来表示数据，这样数据就从三维的(x,y,z)降到了二维的(a,b)。
问题是如何求新的基(a,b,c)?
一般步骤是这样的：先对原始数据零均值化，然后求协方差矩阵，接着对协方差矩阵求特征向量和特征值，这些特征向量组成了新的特征空间。具体的细节，推荐Andrew Ng的网页教程：Ufldl 主成分分析 ，写得很详细。
（1）零均值化
1 def zeroMean(dataMat): 2 meanVal=np.mean(dataMat,axis=0) #按列求均值，即求各个特征的均值 3 newData=dataMat-meanVal 4 return newData,meanVal
该函数返回两个变量，newData是零均值化后的数据，meanVal是每个特征的均值，是给后面重构数据用的。
（2）求协方差矩阵
1 newData,meanVal=zeroMean(dataMat) 2 covMat=np.cov(newData,rowvar=0)
numpy中的cov函数用于求协方差矩阵，参数rowvar很重要！若rowvar=0，说明传入的数据一行代表一个样本，若非0，说明传入的数据一列代表一个样本。因为newData每一行代表一个样本，所以将rowvar设置为0。
covMat即所求的协方差矩阵。
（3）求特征值、特征矩阵
调用numpy中的线性代数模块linalg中的eig函数，可以直接由covMat求得特征值和特征向量：
1 eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))
eigVals存放特征值，行向量。
eigVects存放特征向量，每一列带别一个特征向量。
特征值和特征向量是一一对应的
（4）保留主要的成分[即保留值比较大的前n个特征]
第三步得到了特征值向量eigVals，假设里面有m个特征值，我们可以对其排序，排在前面的n个特征值所对应的特征向量就是我们要保留的，它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect。将零均值化后的数据乘以n_eigVect就可以得到降维后的数据。代码如下：
1 eigValIndice=np.argsort(eigVals) #对特征值从小到大排序 2 n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1] #最大的n个特征值的下标 3 n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice] #最大的n个特征值对应的特征向量 4 lowDDataMat=newData*n_eigVect #低维特征空间的数据 5 reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal #重构数据 6 return lowDDataMat,reconMat
代码中有几点要说明一下，首先argsort对特征值是从小到大排序的，那么最大的n个特征值就排在后面，所以eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标。【python里面，list[a:b:c]代表从下标a开始到b，步长为c。】
reconMat是重构的数据，乘以n_eigVect的转置矩阵，再加上均值meanVal。
OK，这四步下来就可以从高维的数据dataMat得到低维的数据lowDDataMat，另外，程序也返回了重构数据reconMat，有些时候reconMat课便于数据分析。
贴一下总的代码：
1 #零均值化 2 def zeroMean(dataMat): 3 meanVal=np.mean(dataMat,axis=0) #按列求均值，即求各个特征的均值 4 newData=dataMat-meanVal 5 return newData,meanVal 6 7 def pca(dataMat,n): 8 newData,meanVal=zeroMean(dataMat) 9 covMat=np.cov(newData,rowvar=0) #求协方差矩阵,return ndarray；若rowvar非0，一列代表一个样本，为0，一行代表一个样本 10 11 eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特征值和特征向量,特征向量是按列放的，即一列代表一个特征向量 12 eigValIndice=np.argsort(eigVals) #对特征值从小到大排序 13 n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1] #最大的n个特征值的下标 14 n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice] #最大的n个特征值对应的特征向量 15 lowDDataMat=newData*n_eigVect #低维特征空间的数据 16 reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal #重构数据 17 return lowDDataMat,reconMat
3、选择主成分个数
文章写到这里还没有完，应用PCA的时候，对于一个1000维的数据，我们怎么知道要降到几维的数据才是合理的？即n要取多少，才能保留最多信息同时去除最多的噪声？一般，我们是通过方差百分比来确定n的，这一点在Ufldl教程中说得很清楚，并且有一条简单的公式，下面是该公式的截图：
根据这条公式，可以写个函数，函数传入的参数是百分比percentage和特征值向量，然后根据percentage确定n，代码如下：
1 def percentage2n(eigVals,percentage): 2 sortArray=np.sort(eigVals) #升序 3 sortArray=sortArray[-1::-1] #逆转，即降序 4 arraySum=sum(sortArray) 5 tmpSum=0 6 num=0 7 for i in sortArray: 8 tmpSum+=i 9 num+=1 10 if tmpSum>=arraySum*percentage: 11 return num
那么pca函数也可以重写成百分比版本，默认百分比99%。
1 def pca(dataMat,percentage=0.99): 2 newData,meanVal=zeroMean(dataMat) 3 covMat=np.cov(newData,rowvar=0) #求协方差矩阵,return ndarray；若rowvar非0，一列代表一个样本，为0，一行代表一个样本 4 eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特征值和特征向量,特征向量是按列放的，即一列代表一个特征向量 5 n=percentage2n(eigVals,percentage) #要达到percent的方差百分比，需要前n个特征向量 6 eigValIndice=np.argsort(eigVals) #对特征值从小到大排序 7 n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1] #最大的n个特征值的下标 8 n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice] #最大的n个特征值对应的特征向量 9 lowDDataMat=newData*n_eigVect #低维特征空间的数据 10 reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal #重构数据 11 return lowDDataMat,reconMat
作者：wepon_
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u012162613/article/details/42177327
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！
