数学

1.P4139

题意

求 \(2\uparrow\uparrow+\infty \bmod p\) 的值。\(p\le10^7\)

题解

设 \(s=2\uparrow\uparrow+\infty\)，\(f(p)=2\uparrow\uparrow+\infty \bmod p\)。

\[\begin{aligned} f(p)=&s\bmod p\\ =&2^s\bmod p\\ =&2^{s\mod\varphi(p)+\varphi(p)}\bmod p\\ =&2^{f(\varphi(p))+\varphi(p)}\bmod p \end{aligned} \]

长成幂塔这样的东西多半要结合（拓展）欧拉定理来解决。

2.Tenka1_2017F

题意

求任意 \(k\) 使得 \(a^k\equiv k(\bmod\ m)\)，\(k\le2\times10^{18}\)。

题解

\(k\) 趋近于 \(+\infty\) 时 \(a^k\bmod m\) 时定值（见上题），故一定有一个很大的 \(R\) 使得 \(k=R\) 时成立。但 \(R\) 太大，考虑构造 \(r\equiv R(\bmod\ m),a^R\equiv a^r(\bmod\ m)\)，由拓展欧拉定理，应该有 \(r>\varphi(m),R\equiv r(\bmod\ \varphi(m)),R\equiv r(\bmod\ m)\)。不难看出 \(r=R\bmod lcm(m,\varphi(m))+lcm(m,\varphi(m))\) 为一种可行解。

3.ARC084B

题意

给定一个整数 \(k\)。求一个 \(k\) 的正整数倍 \(s\)，使得 \(s\) 的数位累加和最小。\(k\le10^5\)。

题解

考虑一位一位构造，两种操作——\(+1\) 和 \(\times10\)，代价分别是 \(1\) 和 \(0\)，可以 01BFS 解决。