《算法竞赛》10 图论

图的存储

• 啥？邻接表和链式前向星不是一个东西吗。。。

拓扑排序

• DFS求拓扑序似乎不太常见？了解就行。

欧拉路

• 这些什么路径的定义确实挺难和名字对上号。。。但是正规题目应该都会给解释吧。
• 欧拉路：从图中某个点出发，遍历整个图，图中每条边通过且只通过一次。
• 欧拉回路：起点和终点相同的欧拉路。
• 数据范围太大 DFS 会爆栈，需要用栈模拟递归。

无向图的连通性 & 有向图的连通性

• 割点割边还有连通分量什么的求法可以现推。
• Kosaraju 算法：可以 $O(n+m)$ 找到每个 SCC。对于一个有向图 $G$，建反图 $rG$，从 $G$ 上每个没有被 DFS 到的点开始 DFS，按回溯顺序从小到大编号，然后在 $rG$ 上按编号从大到小开始 DFS，每次 DFS 即找到一个 SCC。

基环树

• 看到每个点连一条边的题想到基环树（森林）
• 找无向图基环树的环可以用类似拓扑排序的 BFS，每次找度数为 $1$ 的。

2-SAT

• 每个点都选择拓扑序更靠后的那个。

最短路径

• 传递闭包可以用于解决 DAG 最小可重链覆盖。
• SPFA 优化：
  • SLF：使用双端队列，入队时与队头比较，比队头大插队尾，否则插队头。
  • LLL：计算所有点距离平均值 $x$，队头出队时与 $x$ 比较，比 $x$ 大就去队尾，否则出队。
• 最优比率环：最大化 $\frac{\mathrm{权}\mathrm{值}}{\mathrm{环}\mathrm{长}}$，用 $0/1$ 分数规划（最大化 $\frac{a}{b}$，估计一个值 $x$，使 $\frac{a}{b}\ge x$，移项得 $a-bx\ge 0$，二分找到最大的 $x$ 就是答案）解决。

最小生成树

• 严格次小生成树：倍增维护最小生成树上链的次小值。

最大流

• Dinic 不一定在所有情况下都比 FF 好。

二分图

• Hall 定理：对于一个二部图 $G\sim (X,Y)$，$X$ 存在一个匹配的充分必要条件为对于 $X$ 的任意子集 $S$，$S$ 的邻居个数 $N(S)$ 必须大于等于 $S$ 的大小 $|S|$。

最小割

• 最大流 = 最小割。
• 一个常用最小割建图技巧见 P3227。

费用流

• 一种方法是把 Dinic 的 BFS 换成 SPFA。