构造

1.AGC029F

题意

给定 \(n-1\) 个点集（全集为 \(\{1,2,\dots,n\}\)），从每个集合内选两个点连边，使得最后形成一棵树。输出方案。

\(n-1\) 条边按顺序对应这 \(n-1\) 个集合输出。

\(n \leq 10^5\)，\(\sum |S| \leq 2 \times 10^5\)。

题解

“每个集合只能选一条边”，“除根外树上每个点只有一条父边”。两者联系起来，可以理解为任意选一个点为根，其余每个点对应一个集合，表示这个点的父边选自这个集合。

这个对应关系很容易想到二分图匹配，于是建图，左右各 \(n-1\) 个点，左 \(i\) 向右 \(j\) 连边当且仅当 \(i\in S_j\)。如果匹配无解就寄了。网络流跑二分图匹配后左边的点和右边匹配集合中的每个点（除自己）连边（边数为集合大小之和），不连通也寄了（边不用真的连出来，并查集判断就行）。

考虑构造，从根开始 BFS，对于每个和包含根的集合对应的点，将它的父亲设为根，后面同理。

构造正确性可以用反证法证明，假设无法通过这个构造方法构造出合法解，那么一定是还有点没有被 BFS 到，于是这个点对应的集合中的点都没有被 BFS 到，进而推出和这个点连通的所有点都没有被 BFS 到，但这个点和根是连通的（前面判过了），矛盾。

最后那个证明是自己 YY 的，题解似乎都没证。这道题关键在题意转化。