《算法竞赛》04 高级数据结构

并查集

• 普通并查集的应用只需要注意边带权的转化。
• 合并方式优化按深度大小要更合理一些。
• 可持久化并查集：把原来的 \(fa\) 数组变成可持久化数组，注意不要路径压缩，直接按秩合并即可。
• 可撤销并查集：还是不要路径压缩，只用按秩合并，每次记录一下修改了什么，撤销的时候倒回去就行。只需要撤销的时候就不需要用可持久化了。
• 并查集的本质是树（森林），所以有时候可以考虑转化为树上问题解决。
• Examples

树状数组

• 树状数组的基础题直接套板子就行了，但是更复杂的应用需要回到树状数组的本质（编号方式）去思考，比如解决不满足线性性的最值问题。
• 解决像区间修改区间查询这类问题需要一些转化，变为若干可以用树状数组解决的问题。
• 树状数组可以和倍增思想结合，进行树状数组上二分。

线段树

• 普通线段树不要为了省空间开两倍，不然怎么死的都不知道。开四倍是因为极端情况会刚好多出一个点再最后一行。
• 考点经常在懒标记和信息维护上，线段树只是糖衣。
• 吉司机线段树：记录区间的最大值和次大值，两者都要修改时直接递归到儿子。解决区间最值区间修改一类的问题。
• 线段树非常适合做区间合并，可以合并左右儿子区间对称的信息，也可以合并单向的信息（比如从左往右的）。
• 找思路别忘了扫描线。
• 如果一道题要用到树套树，那最好还是再想想有没有忽略一些别的信息或者思考一下别的方法，真正要用到树套树的题挺少的（部分分除外）。
• 线段树上二分比普通二分+线段树查询少一个 \(\log\)。

可持久化线段树

• 经常在把一段区间截出来后搭配线段树上二分。
• 区间修改的主席树其实没有多多少复杂度。可以这样思考：线段树的区间操作是 \(O(\log n)\) 的，主席树的区间修改时的遍历方式其实和线段树的区间操作类似，也就是 \(O(\log n)\) 的，增加的点数也是 \(O(\log n)\) 的，和单点修改没啥差别，只是多了一个标记永久化。

分块与莫队算法

• 优美的暴力。
• 考虑一种基于分块思想优化：尽量将每种操作的复杂度平均。例如最简单的， \(O(1)\) 修改，\(O(n)\) 询问，可以尝试变成 \(O(\sqrt n)\) 修改 \(O(\sqrt n)\) 询问。还有不太容易想到的，\(O(\log n)\) 和 \(O(\sqrt n \log n)\) 平均成 \(O(\sqrt n)\) 等。常用值域分块实现。
• 大分块的考点常在信息维护上。
• 最经常出现的不是序列分块，而是根号分治。
• 莫队解决的时序列上的问题，如果是树上问题可以尝试用 DFS 序、欧拉序、括号序等转化。

块状链表

• 可以定一组上下界，将每一块的长度维持在中间。
• 整体思路比较简单，写法也比较多，但是代码似乎巨长，如果要用可以权衡一下，时间不够就用 STL rope。

简单树上问题

• 树的重心常在点分治和点分树中用到
• 树的直径用两次 DFS 求是最基础的，但是如果加上一些修改就需要从树形 dp 的方向思考了。

LCA

• 倍增求 LCA 有时会顺带倍增维护一些其他的信息比如求链上最值之类的。
• tarjan 求 LCA：离线求 LCA，遍历树，到点 \(u\) 时如果 \(v\) 被遍历过，那么 \(lca(u,v)\) 就是 \(v\) 祖先中深度最大的没有被回溯的点。
• 没有办法离线询问有比较多的情况可以用欧拉序 + RMQ 求 LCA。
• 理论上来说树剖求 LCA 会比倍增快一点，虽然时间复杂度时一样的。

树上的分治

• 边分治：将一条边的两边分开解决。需要通过建虚点将树重建成链的样子。不常用。
• 静态点分治：每次取重心分治，每次都至少会使树的大小减半。
• 动态点分治（点分树）：将点分治每次取的重心建成树，用于带修改的时候。

树链剖分

• 适用于点权，所以有的题目需要边权转点权。
• 注意树剖本身就带了一个 \(\log\)，如果再结合线段树之类的就是 \(\log^2\)，计算时间复杂度的时候不要忽略了。

二叉查找树

• 基于中序遍历。
• 形态不唯一，平衡树的思想就是基于这个。

替罪羊树

• 不平衡率（\(\alpha=max(size_l+size_r)/size\)）一般取 \(7\) 或 \(7.5\)。
• 删除的点占比大于 \(\alpha\) 了也要重构。
• 每次重构找到深度最小的需要重构的点。

Treap 树

• Treap 的键值满足 BST，优先级满足堆，形态唯一。
• 旋转 Treap 基本不用了，FHQ 足矣。

FHQ Treap 树

• 普通的 FHQ Treap 非常简单，只需要注意 pushup 和 pushdown 的位置。
• 可持久化：split 和 merge 都只会改变一条链，所以将链的信息复制下来改就行了。

笛卡儿树

• 叫“笛卡尔树”吧。
• 是一种特殊的 Treap，可以用单调栈 \(O(n)\) 构造。
• 笛卡尔树 + LCA 可以解决 RMQ 问题。
• 笛卡尔树一般不会单独考，关于笛卡尔树的题好多都只用到了它的部分性质用来比如计数之类，可以出的很难。

Splay 树

• 时间复杂度有点玄，反正哪里有改动就 splay 一下。
• 取一段区间 \(l\) 到 \(r\)：将 \(l-1\) 转到根，将 \(r+1\) 转到 \(l-1\) 儿子，此时 \(r+1\) 的左子树就是 \(l\) 到 \(r\) 的区间。

K-D 树

• 本质是对 K 维平面的分治。
• 节点的插入和删除使用替罪羊树的思想。
• 有时候会拿它来优化建图，特别是二维平面上的题。

动态树与 LCT

• LCT 的实链用以深度为键值的平衡树（一般是 Splay）维护。
• 如果要维护子树信息可以对 Splay 中每个节点多维护一个所有虚边连向的儿子的信息。
• 板子比较复杂，尽量背，用的时候现推可能会有很多 BUG。