20230719巴蜀暑期集训测试总结
T1
赛时打了一个 \(O(n^3)\) \(16pts\) 暴力和一个似乎可以过一个 \(20pts\) 特殊性质但其余无正确性的贪心。结果出来发现特殊性质挂了一个点，另一个地方还莫名其妙对了。说明特殊性质挂掉了，如果运气不好可能就挂到 \(16pts\) 了。考后看题解发现 \(O(n^2)\) 其实也是不难想的，有点可惜。
设 \(dp_{i, x, y}\) 表示考虑前 \(i\) 个数，第一个子序列最大值为 \(x\)，第二个子序列最小值为 \(y\) 时的答案，暴力转移复杂度 \(O(n^3)\)。
观察发现，对于 \(dp_{i,x,y}\)：
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如果 \(x>y\)，则之后的位置两个序列的选择已经互不影响，可以直接预处理后缀 LIS 和 LDS，可以直接得到答案。将这种状态称为无效状态。
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如果 \(x<y\)，则第一个序列的所有元素都小于第二个序列的所有元素。意味着 \(y\) 即是 \(x\) 在 \(a_{1\sim i}\) 中的后继。故对于每个 \(i\) 只有 \(i\) 个状态，共 \(O(n^2)\) 个状态。可以做到 \(O(n^2)\) 的时间复杂度。
对于无效的状态，不妨设 \(dp_{i-1,x,y}\) 转移到了 \(dp_{i,x,a_i}(x>a_i)\)。则答案为 \(dp_{i-1,x,y}+1+LIS_{i,x}+LDS_{i+1,a_{i+1}}\) 其中 \(LIS_{i,x}\) 表示 \(a[i\sim n]\) 中只考虑 \(\ge x\) 的数时的 LIS。LDS 类似。
这个式子中 \(LDS_{i+1,a_{i+1}}\) 在 \(i\) 一定时不变。而 \(LIS_{i,x}\) 在 \(x\) 上的变化（\(LIS_{i,1},LIS_{i,2}\dots,LIS_{i,n}\)）相当于 \(O(n)\) 段区间加（转化成倒序求 LDS 后当前数值和被替换的数值之间的值会 \(+1\)，可以画个图理解）。
于是可以用线段树维护有效状态中 \(dp_{i,x,y}+LIS_{i+1,x}\) 的值。
对另一种情况的操作类似。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
T2
考场打了一个 \(b=0\) \(14pts\) 的特殊性质，想打 \(a,b\le300\) 的点没调出来。然后......freopen 注释没去掉。下次考试最后五分钟再打代码我是狗！！！
考虑维护一些极小不可凑出对 \((a,b)\)，即不同时存在 \((a,b),(c,d)\) 使得 \(a\le c,b\le d\)。
从小到大排序是显而易见的。
假设一个前缀 \(a_{1\sim i}\) 的和为 \(s\)，且 \(\forall a+b\le s,(a,b)\) 都可表示。此时不可表示对为 \((0,s+1),(1,s),\dots,(s+1,0)\)。
\(i\rightarrow i+1\) 可以分两种情况：
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\(w_{i+1}\le \lfloor\frac s2\rfloor+1\)，这种情况的不可表示对和之前类似，即 \((0,s+w_{i+1}+1),(1,s+w_{i+1})\dots (s+w_{i+1}+1,0)\)。
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\(w_{i+1}>\lfloor\frac s2\rfloor+1\)，如果原来 \((a,b)\) 无法表示，那么现在就变成 \((a+w_{i+1},b)\) 和 \((a,b+w_{i+1})\) 无法表示。
综合起来其实就是二维平面上可表示范围平移。
一段一段维护即可。
T3
看到就有点懵，不知道该从什么地方开始思考。其实也没有分配多少时间在这道题上面。正解用到了 FFT 优化 DP 转移，我也不会打。多项式 & 数学这块还很欠缺，但是关键每次看了也是一知半解，没有办法完全掌握，之后就会忘。
考虑分析 \(xormex\) 操作的性质
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如果初始集合 \(A\) 时全集 \([0,2^k-1]\)，则 \(mex\) 一直为 \(2^k\)，即平衡点为 \(2^k\)。
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如果初始集合的 \(mex\) 在 \([0,2^{k-1}-1]\) 里，那么无论怎么操作 \(mex\) 都一直会在 \([0,2^{k-1}-1]\) 里。于是可以将最高位的数删掉。
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如果初始集合的 \(mex\) 在 \([2^{k-1}+1,2^k-1]\) 里，则操作一次后会变成第 \(2\) 种情况。
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如果初始集合的 \(mex\) 就是 \(2^k-1\)：
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如果初始集合不含 \(2^k-1\)，那么无论怎么操作，\(mex\) 都仍然会是 \(2^{k-1}\)，即平衡点为 \(2^{k-1}\)。
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如果初始集合含 \(2^k-1\)，那么操作一次后会变成第 \(3\) 中情况。
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这些性质表明了：平衡点一定存在且一定是 \(2\) 的整数次幂。
dp + fft 优化转移可通过。
