20230714练习总结

LOJ3686 / JOISC2022 京都观光

考虑从 \((x1,y1)\) 只转一次弯到 \((x2,y2)\)。先向南走当且仅当：

\[\boxed{\frac{a_{x1}-a_{x2}}{x1-x2}<\frac{b_{y1}-b_{y2}}{y1-y2}} \]

很容易想到斜率相关。但是如果只是对比两行，因为有列的条件参与，无法判断某一行是否一定不会被走过，于是分析三行。

设现在有三行（\(x1,x2,x3\)）两列（\(y1,y2\)），\(x2\) 不会被走过当且仅当：

\[\begin{aligned} &\frac{a_{x1}-a_{x2}}{x1-x2}>\frac{b_{y1}-b_{y2}}{y1-y2}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;and\\ &\frac{a_{x2}-a_{x3}}{x2-x3}<\frac{b_{y1}-b_{y2}}{y1-y2}\\ \Longrightarrow &\frac{a_{x1}-a_{x2}}{x1-x2}>\frac{a_{x2}-a_{x3}}{x2-x3} \end{aligned} \]

故对 \((i,a_i)\) 构造一个斜率递增的凸包，列同理。

求答案每走一段就依据开头式子决定下一步。

LOJ3972 / JOISC2023 合唱

将问题转化到网格图上横竖边构成的路径，要形成 \(k\) 个贴着对角线的等腰直角三角形，代价为目标路径与对角线围起来的部分中其与初始路径之间夹的面积。预处理 + 斜率优化 dp。

LOJ3696 / JOISC2022 复兴计划

题意即要求绝对值最小生成树。

考虑绝对值的性质，随着 \(X_i\) 往后推，一条边一旦被替代就不会再被用到。故一条边会对 \(X\) 在一个区间的询问产生贡献。如果将每条边的影响区间算出问题就可以变得很简单。

考虑从小到大加边，如果边的两端不连通就直接加，否则暴力找路径上边权最小的边并替代。

P4110 / HEOI2015 小L的白日梦

转化一下题意即最小化 \(\sum_{i=2}^k(1-a_{i-1})a_i\) 的。

由于 \(\sum_{i=1}^ka_i\) 为定值。可以转为最大化 \(\sum_{i=1}^ka_i-\sum_{i=2}^k(1-a_{i-1})a_i=a_1+\sum_{i=1}^ka_{i-1}a_i\)。根据排序不等式，\(a\) 降序时最优。

将 \(n\) 的数排序后选的一定是一段前缀和一段后缀，具体证明。

每个测试点 \(O(n)\) 判断选哪些就可以了。