20230712练习总结
AGC009D Uninity
如果构造一棵点分树，答案是 \(\log n\)，这是答案上界。
将问题转化为每次将若干棵 Uninity 为 \(k\) 的树连接到一个点上时将点打上 \(k+1\) 的 \(tag\)。
看题面有一个很显然的结论就是两个 \(tag=k\) 的点间的路径上一定有一个 \(tag>k\)。考虑记录 \(f_u\) 表示 \(u\) 的子树内 存在 且 还没有找到比它大的 的 \(tag\) 值的集合。
那么对于一个点 \(u\) 要满足：
- \(\forall v\in child(u),tag_u\notin f_v\)
- \(\forall v1,v2\in child(u)\) 且 \(v1\ne v2,tag_u>max(f_{v1}\cap f_{v2})\)
每次 \(tag\) 取可行的最小值。
ARC077F SS
设 \(T\) 为 \(S\) 减去 \(S\) 的最长 border 后缀得到的字符串。
如果 \(|T|\) 为 \(|S|\) 的约数，意味着 \(S\) 是一个循环串，循环节为 \(T\)。所以变化是这样的：
操作次数很多，只有前半部分有用，相当于：
差分求解。
如果 \(|T|\) 不是 \(|S|\) 的约数，那么就是普通情况，变化长这样：
还是只看前半部分：
发现 \(s_i=s_{i-1}+s_{i-2}\) 长度指数级增长，暴力求就可以。
ARC136E Non-coprime DAG
质数太多，不好处理，考虑用 \(2\) 作为桥梁分析限制条件。
考虑两个点 \(i,j\)，\(i<j\)。
设 \(p(x)\) 表示 \(x\) 的最小质因子。
| \(i\) | \(j\) | 可达条件 |
|---|---|---|
| 奇 | 奇 | \(i+p(i)\le j-p(j)\) |
| 奇 | 偶 | \(i+p(i)\le j\) |
| 偶 | 奇 | \(i\le j-p(j)\) |
| 偶 | 偶 | \(true\) |
显然最多只能取一个偶数。
如果取了偶数 \(x\)，则取 \(i<x,i+p(i)>x\) 或 \(i>x,i-p(i)<x\)。
如果全部取奇数，则须满足 \(\min\{i+p(i)\}>\max\{i-p(i)\}\)。
CF297C Splitting the Uniqueness
将 \(n\) 向上补全成 \(3k\)。转化一下题意，即至少有 \(2k\) 个数两两不同。
认真读题会发现一个很有用的条件就是 \(s\) 互不相同。于是有 \(s_i\ge i-1\)，开始瞎 ** 构造。
有一个初步的思路，将序列分成三段，那么要满足其中两段两两不同。
先试着在 \(a_{1\sim k}\) 填 \(0\sim k-1\)，\(b_i=s_i-a_i\)。
既然 \(a\) 和 \(b\) 都要满足条件，就不能将不同的全部放在 \(a\)。那么在 \(b_{k+1\sim 2k}\) 填 \(k\sim 2k-1\)，\(a_i=s_i-b_i\)。
第三段是重点，现在 \(a\) 和 \(b\) 分别有一段不同的，所以第三段同时满足 \(a\) 和 \(b\)。考虑到目前 \(a\) 的可选范围要大且连续一些——\([k,3k-1]\)，故优先满足 \(b\)。
\(b\) 有两段可选——\([0,k-1]\) 和 \([2k,3k-1]\)。要让 \(a\) 尽量大一些，以避开 \([0,k-1]\)，故 \(b\) 在 \([0,k-1]\) 中选。
如果 \(b_{2k+1\sim 3k}\) 从小到大取，则可能会和 \(s\) 同步上升，导致 \(a\) 中有相等。故 \(b\) 从大到小取。
这样段内 \(a\) 不会重复，且最小值为 \(s_{2k+1}-(k-1)\ge (2k+1-1)-(k-1)=k+1>k-1\)，故也不会和第一段重复，满足。
P4654 Mousetrap
将陷阱移到树根方便思考。
把整棵树想成一条链（也就是老鼠位置到陷阱的链）上挂了很多棵树。下面沿用这个定义。
老鼠的可能会在链上向根走一截（也可能不走）然后进入某棵树并被困在里面动不了，这时管理员的最优策略就是将所有链上的点连向儿子的边堵住，然后把老鼠放出来。
考虑对每棵树 dp。设 \(f_u\) 表示老鼠从 \(u\) 进入其子树又被赶回来所需步数。转移显然。
二分答案。解决！
CF1063F String Journey
一个很显然的结论：\(|t_i|=|t_{i-1}|+1\) 时一定最优。
从后往前 dp，SAM 优化转移。
P3266 骗我呢
每行严格递增，\(m\) 个数，值域 \([0,m]\)。转化一下，就是每行有一个数不选。
考虑 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 行没有 \(j\) 的方案数。
将转移矩阵放到网格图上，组合意义 + 容斥解决。
