来自 zzh 的图论总结

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最短路

几种常用的求最短路方式

1. $Floyd$ $O(n^3)$
   $f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])$
   $k$是最外层循环 $k$循环到$m$时 $f[i][j]$此时就表示只经过编号$1\sim m$的点,从$i\to j$的最短路

   还可以倍增求定长步数是否可达

   矩阵求 定长路径统计，定长最短路，限长路径计数/最短路等
   见oi-wiki

2. $Bellman$–$Ford$ O(n*m)
   用队列优化的spfa慎用

3. $Dijkstra$

   重要知识点：最短路树

   例题USACO09JAN Safe Travel G

   题目要求出在不经过原来$1$节点到$i$节点最短路上最后一条边的前提下，$1$节点到 $i$ 节点的最短路

   求出最短路径树，由于1到每个点的最短路唯一，最短路径树也唯一

   易证：新的路肯定只会经过一条非树边 因为另一条肯定可以被树上一条路径代替
   那么答案就很明显了:$an{s}_i=min(dis[u]+dis[v]+w_{u,v}-dis[i]))$

   

   将所有非树边按照答案排一遍序,更新能更新的点，并查集优化即可

题：SDOI2009 Elaxia的路线
JOI2018 Commuter Pass

4. 同余最短路

   通过同余构造某些状态，状态之间的关系类似于两点之间的带权有向边。

   那么可以以此建图，将某些问题转化为最短路问题，再使用具有优秀时间复杂度的算法求解。

题：墨墨的等式 跳楼机

最小生成树

1. Kruskal 算法

   重点讲Kruskal重构树的性质：

• 性质1
  $u$到$v$的最小瓶颈路的最大边权,等于他们的$LCA$的点权

• 性质2
  任意一个结点到根的路径上的结点点权递增

• 性质3
  从一个结点$u$出发,能通过的边的边权阈值为$c$。
  $u$能到达的结点数为，$u$的点权小于等于$c$最远的祖先的子树大小/2+1

题：货车运输 归程

2. 次小生成树

枚举非树边$(u,v)$,在树上找到一条最大边替换，更新答案即可

严格再维护次小值即可

题：严格次小生成树

二分图

1. 染色法判断二分图

2. 扩展域并查集判断二分图

3. 匈牙利算法求最大匹配

   二分图的一些性质

   1.二分图的最小点覆盖$=$二分图的最大匹配

   2.最大独立集$=n-$最大匹配

   3.有向无环图的最小路径点覆盖$=n-$拆点二分图的最大匹配
   拆点二分图：对于一条有向边$(u,v)$，将$u$向$v+n$连一条边

   4.有向无环图的最小路径可重点覆盖

    先跑一遍floyd 求出每个点能到的所有点   
    再跑一遍最小点覆盖即可

连通分量

1. 强连通分量
   缩点后是一个有向无环图

2. 点双连通分量
   一个割点至少属于两个点双中

3. 边双连通分量
   缩点后是一棵树

板子：边双连通分量 点双连通分量

连通分量的套路就是 缩点后跑$dp$,难度主要还是在dp上

题：NOIP2022建造军营 HNOI2012矿场搭建

优化建图

1. 线段树优化建图
   板子：Legacy

2. 建超级源点
   题：PA2012Tax