来自 zzh 的数学总结

膜拜 zzh 大神。

原链接。

筛质数

1. 埃氏筛 较为常用

2. 线性筛 可用来求一个数的最小的因子

题:NOIP2021报数

乘法逆元

求逆元的三种方法

1. 模数是质数时：费马小定理 较为好写

2. 不是质数时：扩展欧几里得 转化为$ax+by=1$的形式

3. 线性求逆元 公式:$in{v}_i=\lfloor p/i\rfloor \times in{v}_{p:mod:i}:mod:p$

4. 巧妙地线性逆元：先处理出阶乘，再处理出阶乘逆元（这里运用最后一项的逆元前推），则 $in{v}_i=fa{c}_{i-1}\ast ifa{c}_i$。

题:AHOI2005洗牌

扩展欧几里得

板子：NOIP2012 提高组 同余方程

证明：
$ax+by=gcd(a,b)$
$bx+(a-a/b\ast b)\ast y=gcd(b,a$%$b)$
$ay+b(x-a/b\ast y)=ax+by$
$x=y,y=x-a/b\ast y$

其实就是$gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b)$的一个变形 背板子就行

题:青蛙的约会

中国剩余定理

板子 过了
运用：有时候可以利用同于进行离散化，中国剩余定理进行还原，如[APIO2024] 魔术表演，现场神人提出，比正解要优美上万倍。

题：P1495

组合数学

较难 常与dp结合

几种求组合数的方法

1. 杨辉三角 $n$,$m$较小

$C_{n}^{m} =C_{n-1}^{m} +C_{n-1}^{m-1} $ 

2. 线性递推 n唯一时

$C_{n}^{m}=\frac{n-m+1}{m}* C_{n}^{m-1}$

3. 通项公式

4. 质因数分解

5. 卢卡斯定理

$C_{n}^{m}$ $mod\:p$ = $C_{n\:mod\:p}^{m\:mod\:p}* C_{n/p}^{m/p} mod\:p$

一些公式

1. $\sum _{i=0}^b{C}_i^m=C_{b+1}^{m+1}$

2. $C_n^r{C}_r^k=C_n^k{C}_{n-k}^{r-k}$

3. $\sum _{i=0}^k{C}_n^i{C}_m^{k-i}=C_{n+m}^k$

4. $\sum _{i=0}^{n}i{C}_n^i=n\ast 2^{n-1}$

   ......

容斥:

最基本的思想就是 所有方案-不合法的方案=合法方案

例题：Cheerleaders

题目中要求网格图的四个边都至少有一个人

根据容斥的思想 答案即为 第一条边至少有一个人的方案$+$第二条......$-$第一条和第二条都至少有一个人$-$第一条和第三条......以此类推

• 二项式反演

  记 $f_n$ 表示恰好使用 $n$ 个不同元素形成特定结构的方案数，$g_n$ 表示从 $n$ 个不同元素中选出 $i\ge 0$ 个元素形成特定结构的总方案数。

  $g_n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f_i$

  $f_n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} (-1)^{n-i} g_i$
  题目中有这些字眼 "恰好"等 且求"至少" "至多" 的方案

  比较好求，我们就可以考虑使用二项式反演

• 莫比乌斯反演

  核心：

  $\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1& n=1\\ 0& n\mathrm{有}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{因}\mathrm{子}\\ (-1{)}^k& k\mathrm{为}n\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{数}\end{array}$

  $\sum _{d|n}^{}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$

  主要应用在有关于 $lcm$ $gcd$ 的计数求和。

题：

组合数：车的放置
CQOI2014数三角形

容斥：HAOI2008硬币购物

二项式反演：已经没有什么好害怕的了