题解 P6879 [JOI 2020 Final] スタンプラリー 3

合集 - JOI(7)

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传送门。

前置知识

区间 dp。

题意

一个周长为 $L$ 的圆，在初始点的顺时针方向依次排列着 $N$ 物品，第 $i$ 个物品在顺时针 $X_i$ 米处，可以在 $T_i$ 前收集到这个物品。

此时，从初始点出发，时间为 $0$，允许顺时针或逆时针移动，问最多可以收集到多少物品。

分析

首先考虑部分分，我们不可能在两个结点左右徘徊，假如现在开始行走，那么我们至少要一个方向走到一个结点，否则我们就在徘徊的时候就是在浪费时间。

这也就代表了，我们所行走的路程，必然是两个结点中间的这一段连续的空间，而由于我们是一个圆上的区间，因此我们考虑使用区间 DP 并且拆环成链来解决。

这时，我们又有了一个问题，那就是我们的物品只能在 $T_i$ 的时间内到达才可以拾取当前物品，我们该如何维护选取的个数与时间。

其实问题远没有想的那么麻烦，我们从数据范围出手，$n\le 200$，在时间复杂度上，支持 $n^3$ 以至于玄学 $n^4$，空间上，我们 $1GB$ 足以 $n^3$，因此直接再开一维来维护获取的物品量。

总结一下我们的 dp 数组：$f_{L,R,k,0/1}$ 表示当前的最左曾到达 $L$，最右到达 $R$，获取了 $k$ 个物品，当前位于左端点亦或是右端点。

考虑转移，对于 $f_{L,R,k,0/1}$，必然是从 $f_{L+1,R}$ 转移而来，只需要左走左，右走右，维护是否可以拾取，在将左右互相维护即可。

下面给出转移：

for(int k=0; k<=n; ++k) {
	int t=f[L+1][R][k][0]+lenth(a[L+1].x,a[L].x),opt=k+(t<=a[L].t);
	f[L][R][opt][0]=min(f[L][R][opt][0],t);
	f[L][R][opt][1]=min(f[L][R][opt][1],f[L][R][opt][0]+lenth(a[R].x,a[L].x));
	t=f[L][R-1][k][1]+lenth(a[R].x,a[R-1].x),opt=k+(t<=a[R].t);
	f[L][R][opt][1]=min(f[L][R][opt][1],t);
	f[L][R][opt][0]=min(f[L][R][opt][0],f[L][R][opt][1]+lenth(a[R].x,a[L].x));
}
for(int k=0; k<=n; ++k) if(f[L][R][k][0]<INF||f[L][R][k][1]<INF) ans=max(ans,k);

对于初始化，直接走 $n$ 或 $n+1$（拆换成链）即可。

总结起来这道题还是比较简单的，是一道区间 dp 的比较常规的题。