动态规划总结

动态规划在考试中一直都是一个大头项，此处仿照 OI-Wiki 的方式对 DP 进行总结。

背包 DP

背包分为：01 背包（每个只能选一次），完全背包（每个选择无限次），多重背包（每个可以选若干次），依赖背包（有前置需求），分组背包（同一组只能选若干个）。

01 背包

通常为双层 DP，第一层枚举物品，第二层枚举容量，第二层需要逆向。

1. 双栈使01背包可逆。
   在使用双指针优化 dp 时，有时并不容易进行删除操作，此时我们就可以使用两个栈来维护我们的双指针。例题：版子。

完全背包

通常为双层 DP，第一层枚举物品，第二层枚举容量，第二层需要正向。

多重背包

一方面，可以通过二进制将若干相同物品压成一个物品，化为 01 背包，另一方面，使用单调队列。

依赖背包

类似于一个树形结构，在每个儿子间 01 背包即可。

分组背包

将一组的背包一波一起转移即可。

区间 DP

区间 DP 的状态与一般的 DP 不大相同，$f_{i,j}$ 表示区间 $i\sim j$ 的答案，多为左端点与右端点匹配型，多为由左端点 +1，右端点 -1 转移而来，有时可以改用记搜更为便利，相信最为经典的区间 DP 无疑有他，就是我们的石子合并。

常见技巧：拆环成链，左右端点标记，四边形不等式一维优化，四边形不等式二维优化。

标志的数据范围应当在 ${10}^2\sim {10}^3$ 级。

树形 DP

树形 DP 典型的应该是这题。
在处理时，发现有若干对矛盾或是依赖的情况并且形成一个有向无环图，抑或是树形时，就可以使用。
分类：

1. 链上的 dp，其实感觉和线性 dp 区别不大，在链上的 dp，常常利用树链剖分。
2. 子树内的 dp，在几个子树间选择、决策。

小技巧：

1. 上下界优化（常见技巧）。
2. 继承优化（让重儿子继承父亲的指针，这样不需要在重儿子转移（有点像树上启发式合并？）），Hotel加强版。
3. 换根这个技巧，应该不用说才对，用来维护转移根节点时，只有几个节点的 dp 数组发生变化，[POI2008] STA-Station。
4. 树链剖分，只能说非常好用。对于路径上的 dp，但凡线性上可以使用线段树维护，基本上都可以用树链剖分。[TJOI2015] 旅游 。
5. 倍增，适用性强，但是常数略大。
6. 树上启发式合并（Dsu on Tree)。
7. 长链剖分优化。
8. 不知道这几年发了什么疯，常常与二分结合[NOIP2012 提高组] 疫情控制。
9. 现在的树形 dp 也往往没有树形，比如依托于 AC 自动机的树上差分，看似是数论的树形 dp 都可能捡到。
10. 在一些题中有换根操作时，往往并不需要换根，可以考虑根相邻交换的影响，就能够转移换根的答案影响，一方面，子树修改可以利用判断当前根是否在修改子树中进行区间修改。

状压 DP

状压 dp 是运用二进制枚举来进行转移的 dp，其数据范围极具特色，多为 $10\sim 20$，基本上一眼可以观察出。状压 dp 不仅是一部分题目的正解，而且大部分题目皆会以状压 dp 的数据范围出一部分的部分分，是骗分爱好者不可不学的技巧，但是，缺点在于优化的没有前途。

一部分技巧:

1. 子集枚举优化至 $O(3^n)$：for(int P=st;P;P=(P-1)&st)。
2. 贪心进行转移。
3. 找基准点进行转移。
4. 状态压缩：
   1. 将二维压成一维。P4297 [NOI2006] 网络收费。
   2. 将确定的一个二进制位压走。
5. 以某个结点为一维进行辅助转移。最小斯坦纳树。
6. 双向状压，类似于 meet in the middle。P4799 [CEOI2015 Day2] 世界冰球锦标赛。
7. 状压时要仔细抉择以什么为状态，换个状态可能在空间上就可以进一步优化。

数位 DP

数位 dp 的核心事实上就是差分，在想到差分后的 dp 往往比较显然。
数位 dp 往往都是这样的题型，给定一个闭区间 $[l,r]$，让你求这个区间中满足某种条件的数的总数。
数位 dp 实质上就是正常的 dp，是按照每一个数位进行决策，然后再进行记忆化而已。
其数据范围与状压 dp 同具特色，多为 ${10}^9\sim {10}^{100000}$，此类题只有几种可能：数学、循环节、倍增、特殊以及数位 dp。

多以记搜写法，简单方便，但是在需要优化空间时，就要转化成递推，滚动数组即可。

概率 DP

概率 dp 同下方的计数概率 dp 是最令人讨厌的两大 dp，题目特色体现在题面。
简单技巧：

1. 从最后结果转移到起点，ABC314E。
2. 多与高斯消元或状压结合。

期望 DP

烦人题，简单总结一下方法。

1. 容斥。
2. 高斯消元。
3. 有时在贡献较小时，可以转化成概率 dp，即期望等于 $\sum$ 贡献 $\times$ 概率。P9346 无可奈何花落去。

计数 DP

计数 dp 是 dp 中最为烦人的之一，没有一个大的方向感，只能靠刷题锻炼题感，题目特色体现在题面。

1. 不重不漏
2. 围绕基准点来防止重复，CF559C。
3. 等效代换，离散化思想：
   1. 用 $1\sim i$ 的数，最左边的为 $j$。
   2. 用 $i$ 个不同的数，最左边的排名为 $j$。
4. 将等于转化成小于等于，再用容斥求解。
5. 利用根号分治。
6. 计数转概率，乘上总方案数。HDU5378。
7. 与组合数学常常结合。
8. 多利用打表找规律，不必全部观察，利用代码确认规律，大胆猜测，小心检查，直接莽结论，证明什么的有时间在弄。
9. $n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\cdots +1\approx \ln n$。

DP 优化

空间上优化

空间上，有时可以将可行型的二维数组，转化成一维的最优解，或是用 bitset 优化。

时间上

在写 dp 时，常常会出现一些极具性质的转移，此时我们可以优先考虑优化转移，实在不可，再优化状态。

数据结构优化

线段树优化

​ 用线段树的区间修改，区间查询维护转移，可以在转移时发现多为区间上的修改，即可使用。
​ 线段树优化 dp 现在往往与单调栈相结合，这种在转移时可以发现转移除去 $f_i$ 以外，呈现了阶梯状。

使用树状数组，适用范围与线段树相似，但是常数更小，也有一点约束性。
使用单调栈，多为在没有查询范围，但是在某个权值上的最优转移，大多与其他优化方式相配合，如斜率优化。
使用单调队列，多为转移有区间限制，并在某个权值上的最优转移，如经典滑动窗口。

分治优化

1. 根号分治
   对于一些问题，我们在某一个值小时另一个就大，这个值大后另一个值就会变小，我们就可以利用这个小的值来优化。
   例如：哈希冲突。

2. CDQ分治
   主要用来维护三维偏序，是比较经典的解法。
   第一维，通过主函数排序。
   第二维，通过归并中合并解决。
   第三维，通过数据结构解决。
   三维偏序（陌上花开）。
   OI Wiki。

3. 分治

   1. 可以对中间结点分开分治。
   2. 对于最大值进行分治。
   3. 分治本意就是分而治之，将问题分成两个问题，然后两个区间可以进行一定程度的拼接，因此有时会用线段树优化。

斜率优化

在转移时我们有时会得到 $f_i=min{f}_j+q_i\ast g_j$ 这样的转移式，我们并不能简单进行转移，因此我们使用 CDQ 分治或单调栈或二分解决或李超线段树。
[SDOI2012] 任务安排。
OI-Wiki。

四边形不等式（决策单调性）

决策单调性指的是形如 $f_i=max(f_k+c)$，称最终修改的下标的最佳转移点为$k_i$，对于 $\mathrm{\forall }j<i,k_j\le k_i$。

设 $w(i,j)$ 是定义在整数集合上的二元函数。若对于定义域上的任意整数 $a$，$b$ ，其中 $a<b$，都有 $w(a,b+1)+w(a+1,b)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)$ 成立,则称 $w$ 满足四边形不等式。

可以用来辅助转移一维 dp，二维 dp。
OI-Wiki。

矩阵优化 dp

在转移时，发现转移的方式都是一模一样的，并且转移次数极多，可以考虑用矩阵优化我们的 dp。
使用矩阵快速幂来优化转移次数，可以将一个次数极多的转移优化至 $\log$ 级。

矩阵优化 dp 有时不仅代表优化转移，更是利用矩阵的方式来使代码减重，也有运用 线段树+矩阵 来实现可中间修改的 dp。当然，动态 dp 也在其内。

特殊小技巧

1. 在转移时间复杂度较小时，并且有修改操作时，可以使用线段树来辅助转移计算。[COCI2015-2016#1] RELATIVNOST
2. 有时，我们可能不仅仅可以记忆化我们的 dp 数组，我们在辅助转移中，可能也有一部分是反复计算的，同样可以记忆化。为了方便，有时可以使用间接递归来解决。P9229 扩展九连环。
3. 高斯消元可以使用稀疏矩阵优化，可能可以拿到更多的分。
4. 在状态可能比较少时，我们可以使用 unorded_map 来优化我们的空间，可能可以导致水到更多的分，以至于满分。
5. dp 万变不离其宗，终究是转移之后取优，取和，因此记忆化 dfs 也是一种相当可取的写法，尽管可能因此栈溢出。
6. 有时候区间查询可以化成 $l$ 的前缀与 $r$ 的后缀来处理。
7. 区间查询时可以考虑使用倍增（二进制拆解）。
8. dp 的重中之重就在于暴力，暴力写的好，正解思路没烦恼，可以尝试把暴力的形式推广，用不同的方式，可能就能找到优化的方法。