题解P7302 [BZOJ2131][NOI1998] 免费的馅饼

合集 - 洛谷(30)

1.题解 P3204 [HNOI2010] 公交线路2023-09-192.题解 P1081 [NOIP2012 提高组] 开车旅行2023-09-053.题解 P1477 [NOI2008] 假面舞会2023-08-264.题解 P5234 [JSOI2012] 越狱老虎桥2023-08-235.题解 P6544 [CEOI2014] Cake2023-08-076.题解 P4041 [AHOI2014/JSOI2014] 奇怪的计算器2023-08-037.题解 P4798 [CEOI2015 Day1] 卡尔文球锦标赛2023-08-038.题解 P4799 [CEOI2015 Day2] 世界冰球锦标赛2023-08-039.题解 P1295 [TJOI2011] 书架2023-08-0110.题解 P6281 [USACO20OPEN] Social Distancing S2023-07-2811.题解 P1190 [NOIP2010 普及组] 接水问题2023-07-2812.题解 P3976 [TJOI2015] 旅游2023-07-1813.题解 P8096 [USACO22JAN] Drought G2023-05-22

14.题解P7302 [BZOJ2131][NOI1998] 免费的馅饼2023-05-04

15.题解 [BZOJ3307] P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并2023-05-1016.题解 [BZOJ3339] P4137 Rmq Problem / mex2023-04-2717.题解 [SP179][BZOJ2919][Poi1998]Word equations2023-04-2718.题解 P5930 [POI1999] 降水2023-04-2619.题解 BZOJ2720: [Violet 5]列队春游2023-04-2520.题解P3830 [SHOI2012]随机树2023-04-2521.题解 P4755 Beautiful Pair2023-11-0722.题解 P9229 扩展九连环2023-11-1523.题解 P7165 [COCI2020-2021#1] Papričice2024-01-0124.题解 P7169 [eJOI2020 Day1] Exam2024-01-1325.题解「JOI 2014 Final」IOI 馒头2024-01-1526.题解 P9911 [COCI 2023/2024 #2] Kuglice2024-01-2427.题解 P6356 [COCI2007-2008#3] CUDAK2024-01-2928.题解 P7309 [COCI2018-2019#2] Kocka2024-01-3029.题解 P6548 [COCI2010-2011#2] IGRA2024-01-3030.题解 P6491 [COCI2010-2011#6] ABECEDA2024-01-31

收起

传送门

题意

有 $n$ 个馅饼。第 $i$ 个馅饼，在 $t_i$ 时掉落至 $p_i$ 处，人接到这个馅饼可以获得 $v_i$ 的价值。
人每单位时间可以移动 $0\sim 2$ 步。
时间从 $0$ 开始，一开始人可站在任意处。

分析+暴力

一眼 dp ，于是我们可以分析一下 dp 数组。
令 ${\mathit{f}}_i$ 为第 $i$ 个馅饼，第 $i$ 个馅饼必选，人可以获得的最大价值。
转移：倘若 $2\times (t_i-t_j)\ge |p_i-p_j|$，就可以从 $f_j$ 转移至 $f_i$。
至于从 0 转移，我们可以在初始化是便将 $f_i$ 赋值为 $v_i$。

暴力代码：

sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1; i<=n; ++i) {
    f[i]=a[i].val;
    for(int j=1; j<i; ++j) {
        if((a[i].t-a[j].t)*2>=abs(a[i].p-a[j].p)) 
            f[i]=max(f[i],f[j]+a[i].val);
    }
    ans=max(ans,f[i]);
}

时间复杂度 $O(n^2)$。
如此我们便可以愉快的拿到 85 分的高分，以至于再吸口氧后可以拿到 90。

优化

显然是优化枚举 $j$ 的过程。

观察我们的判断式子：
$2\times (t_i-t_j)\ge |p_i-p_j|$，
拆掉绝对值，
$2\times t_i-2\times t_j\ge p_i-p_j$，
$2\times t_i-2\times t_j\ge p_j-p_i$。
将 $i$ 与 $j$ 归于两边，
$2\times t_i-p_i\ge 2\times t_j-p_j$，$2\times t_i+p_i\ge 2\times t_j+p_j$。

观察这个式子，我们便可以马上想到，这不是熟悉的二维数点吗？

但是又有了一个问题，原来转移时，我们将 $t$ 进行排序， 但是我们在二维数点时并不能同时将 $t$ 排序，那我们又如何做呢？

我们再次分析原来的式子，很明显，当 $t_i\ge t_j$ 时，即使是我们分开的两个式子也无法转移。
由此，我们就可以顺利地用二维数点解决掉这道紫题。

至于二维数点，我们则可以用线段树或者树状数组来维护前缀最大值。
时间复杂度 $O(n\log n)$。
Code。