题解 AT abc308_g

合集 - AtCoder(4)

1.题解 [ABC256G] Black and White Stones2023-08-08

2.题解 AT abc308_g2023-07-02

3.题解 [AT_joisc2014_i][BZOJ4237]稻草人2023-05-164.题解 AT_ddcc2017_final_e 足のばし2023-11-03

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题意

有 $m$ 个操作，分三个种类：

1. 加入 $x$。
2. 删除 $x$。
3. 在现有的数中两个数的最小的异或值的。

分析

很明显，我们的难点在于计算，
我们可以得到这样的性质： 最小异或值，必然产生于两个相邻的数中。

证明：

设当前的数为 $x$，与其形成的最小异或值的值为 $z$，$z$ 与 $x$ 不相邻。
$x$ 与 $z$ 必然是从某个位置（二进制位上）（令其为 $id$ 位）开始不同，否则两个就是相同的数，也可以看做相邻。
继续分析，必然存在某个数在 $x$ 与 $z$ 的中间，令这个数为 $y$。
由于 $x$ 与 $z$ 是从 $id$ 位开始不同，所以他们的前几位必然都相同。
而 $y$ 作为两个数之间的数，前几位也与其相同。
由于 $y$ 的 $id$ 位必然为 $0$ 或 $1$，
因此 $y$ 的 $id$ 位必然与 $x$ 或 $z$ 相同，由此 $min\{y\oplus z,y\oplus x\}<x\oplus z$。
由此必然产生于两个相邻的数。

至于代码，我们可以使用 set 维护。