题解 P6485 [COCI2010-2011#4] PROSJEK

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洛谷。

题意

选出若干个在 $1 \sim 5$ 的整数，使其平均数为 $P$ 。

$P$ 是一个 $1 \sim 9$ 位的小数。

问选出的数最小的方案数。

分析

我们可以发现 $P = \frac{s u m}{c n t}$ ， $s u m$ 为和， $c n t$ 是选出的数的个数。

我们就有了两个方式，第一种是使其平均数不断接近 $P$ ，这也就有了被卡精度的问题。

第二种，我们凑出最小的 $c n t$ ，再用 $c n t$ 个数凑出 $s u m$ 。

要使 $c n t$ 最小，那么我们的 $s u m$ 显然也是最小。

我们的 $s u m$ 明显是一个整数，我们先使我们的 $P$ 乘上 $10^{9}$ ，再使其下降，这也就避免了被卡精度。

此时，我们的 $c n t$ 也就是 $10^{9}$ ，为了使其最小，我们将 $c n t$ 与此时的 $s u m$ 除上其最小公倍数。

 int cnt=1000000000;
P*=cnt;
int T=P,gcd=__gcd((int)P,cnt);
T/=gcd,cnt/=gcd;

此时，我们找到了我们的最小 $c n t$ ，接下来就来到了解决，用 $c n t$ 个数凑出 $s u m$ 。

我们可以用背包解决，但是 $s u m$ 可能会很大，限制了此想法。由此，我们分析一下，我们最容易解决的方案是什么。

我们可以找到在当前 $s u m$ 下的最小的凑成的数量，令其为 $t o t$ 。

怎么做呢，我们从最大选起，能选就选，就能得到我们的 $t o t$ ，以及每个数被选的个数。

我们思考一下为什么。

令 $f_{i}$ 表示凑成 $i$ 的选择的最小数字的量，而这个 $f$ 应该是单调不降的，否则，这个下降的下标为 $j$ （ $j \geq i$ ），倘若在选择 $f_{j}$ 是选择了一个不为 $1$ 的，我们就可以将其分成 $x - 1$ 与 $1$ 。然而全选 $1$ 在 $i > 1$ 时明显并不是最优的。

 int tot=0;
for(int i=5;i;--i) {
    a[i]=T/i;
    T=T-i*a[i];
    tot+=a[i];
}

这时，我们的 $t o t$ 显然是小于等于我们的 $c n t$ 。
我们需要使数量增加。

显然，我们需要使一些数分裂成更多的数。

为了使我们的分解更加便于操作，我们可以从最大开始，不断分出 $1$ ，这样我们就可以不断使 $t o t + 1$ 。

从小开始也可行，但是因为我们上面是从大选起，能选就选，因此，只有 $a_{5}$ 是可能大于 $1$ 的，因此从 $5$ 开始会对我们的 $t o t$ 有更大的影响，更加快捷。（但是只有 $5$ 个好像都无所谓？）

在正确性上，只要我们存在方案，那么我们必然可以凑出，因为我们是一步一步加的。

 while(tot<cnt) {
    int id=0;
    for(int i=2;i<=5;++i) if(a[i]) id=i;
    int dt=cnt-tot;
    if(a[id]>=dt) {
        a[id]-=dt;
        a[1]+=dt;
        a[id-1]+=dt;
        tot+=dt;
    }else {
        a[1]+=a[id];
        a[id-1]+=a[id];
        tot+=a[id];
        a[id]=0;
    }
}

posted @ 2023-08-12 19:38 djh0314 阅读(17) 评论(0) 编辑收藏举报来源

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	int cnt=1000000000;
	P*=cnt;
	int T=P,gcd=__gcd((int)P,cnt);
	T/=gcd,cnt/=gcd;

	int tot=0;
	for(int i=5;i;--i) {
	a[i]=T/i;
	T=T-i*a[i];
	tot+=a[i];
	}

	while(tot<cnt) {
	int id=0;
	for(int i=2;i<=5;++i) if(a[i]) id=i;
	int dt=cnt-tot;
	if(a[id]>=dt) {
	a[id]-=dt;
	a[1]+=dt;
	a[id-1]+=dt;
	tot+=dt;
	}else {
	a[1]+=a[id];
	a[id-1]+=a[id];
	tot+=a[id];
	a[id]=0;
	}
	}