题解 CF494B Obsessive String

传送门。

题意

给定一个字符串 $S$，和一个字符串 $T$。

在 $S$ 中取出任意多个不重叠的子串，使得每个子串都包含 $T$，求方案数。

分析

先分析一下题目，显然，我们使用 DP 来解决这道题。

设计一个状态：$f_i$，$f_i$ 表示最后一个串的最后一位是 $i$ 的方案数。

我们可以枚举最后一个子串的区间，进行转移。

首先要考虑的是，如何判断区间是否包含 $T$。

我们考虑使用字符串哈希，将整一个匹配串哈希，再标记每一个区间，最后，预处理出当前左侧的第一个匹配串，令其为 $L_i$，因此只要左端点处于 $1\sim L_i-m+1$，我们的区间就可以包含 $T$。

p[0]=1;
for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=p[i-1]*P;
for(int i=1; i<=n; ++i) a[i]=a[i-1]*P+s[i];
for(int i=1; i<=m; ++i) wh=wh*P+t[i];
for(int i=m; i<=n; ++i) if(query(i-m+1,i)==wh) mark[i]=1;
for(int i=m; i<=n; ++i) L[i]=mark[i]?i:L[i-1];

枚举了我们这一个区间后，考虑继承前面的 $f$。

令枚举的左端点为 $j$，右端点为 $i$。

我们的 $f_i$ 就可以继承 $\mathrm{\forall }k\in [1,j-1]$ 的 $f$。

 
for(int i=1; i<=n; ++i) {
    if(!L[i]) continue;
    for(int j=1; j<=L[i]-m+1; ++j) {
        f[i]++;
        for(int k=1; k<=j-1; ++k) f[i]=(f[i]+f[k])%MOD;
    }
}
for(int i=1; i<=n; ++i) tot=(tot+f[i])%MOD;

时间复杂度：$O(n^3)$。

接下来考虑优化这个 DP，首先将 $k$ 优化掉。

怎么优化呢，使用前缀和。

for(int i=1; i<=n; ++i) {
    if(!L[i]) continue;
    for(int j=1;j<=L[i]-m+1;++j) f[i]=(f[i]+qzh[j-1]+1)%MOD;
    qzh[i]=(qzh[i-1]+f[i])%MOD;
}

时间复杂度：$O(n^2)$。

显然，我们依旧使用前缀和来优化。

for(int i=1; i<=n; ++i) {
    if(!L[i]) continue;
    f[i]=(sum[L[i]-m]+L[i]-m+1)%MOD;
    qzh[i]=(qzh[i-1]+f[i])%MOD;
    sum[i]=(sum[i-1]+qzh[i])%MOD;
}

时间复杂度：$O(n)$。

此时就可以愉快的 A 掉此题了。

总结一下，这题的重点其实是在优化 DP 上，还附带了一点点的字符串哈希即可。