3.2.1 函数计算器
函数 funtool
格式 funtool %该命令将生成三个图形窗口，Figure No.1用于显示函数f的图形，Figure No.2用于显示函数g的图形，Figure No.3为一可视化的、可操作与显示一元函数的计算器界面。在该界面上由许多按钮，可以显示两个由用户输入的函数的计算结果：加、乘、微分等。funtool还有一函数存储器，允许用户将函数存入，以便后面调用。在开始时，funtool显示两个函数f(x) = x与g(x) = 1在区间[-2*pi, 2*pi]上的图形。Funtool同时在下面显示一控制面板，允许用户对函数f、g进行保存、更正、重新输入、联合与转换等操作。
输入命令funtool后，生成的界面如下：
图3-1 函数工具funtool界面
图3-2 函数f的图形 图3-3 函数g的图形
说明 文本输入框区域：控制面板的上面几行，可以输入文本；
f = ：显示代表函数f的符号表达式，可在该行输入其他有效的表达式来定义f，再按回车键即可在Figure No.1中画出图形；
g = ：显示代表函数g的符号表达式，可在该行输入其他有效的表达式来定义g，再按回车键即可在Figure No.2中画出g图形；
x = ：显示用于画函数f与g的区间。可在该行输入其他的不同区间，再按回车键即可改变Figure No.1与Figure No.2中的区间；
a = ：显示一用于改变函数f的常量因子(见下面的操作按钮)。可在该行输入不同的常数。
控制按钮区域：该区域有一些按钮，按下它们将对函数f转换成不同的形式与执行不同的操作。
df/dx：函数f的导数；
int f：函数f的积分(没有常数的一个原函数)，当函数f的原函数不能用初等函数表示时，操作可能失败；
simple f：化简函数f（若有可能）；
num f：函数f 的分子；
den f：函数f的分母；
1/f：函数f的倒数；
finv：函数f的反函数，若函数f 的反函数不存在，操作可能失败；
f+a：用f(x)+a代替函数f(x)；
f-a：用f(x)-a代替函数f(x)；
f*a：用f(x)+a代替函数f(x)；
f/a：用f(x)/a代替函数f(x)；
f^a：用f(x)^a代替函数f(x)；
f(x+a)：用f(x+a)代替函数f(x)；
f(x*a)：用f(x-a)代替函数f(x)；
f+g：用f(x)+g(x)代替函数f(x)；
f-g：用f(x)-g(x)代替函数f(x)；
f*g：用f(x)*g(x)代替函数f(x)；
f/g：用f(x)/g(x)代替函数f(x)；
g=f：用函数f(x)代替函数g(x)；
swap：函数f(x)与g(x)互换；
Insert：将函数f(x)保存到函数内存列表中的最后；
Cycle：用内存函数列表中的第二项代替函数f(x)；
Delete：从内存函数列表中删除函数f(x)；
Reset：重新设置计算器为初始状态；
Help：显示在线的关于计算器的帮助；
Demo：运行该计算器的演示程序；
Close：关闭计算器的三个窗口。
3.2.2 微积分
命令1 极限
函数 limit
格式 limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x→a时。
limit(F,a) %用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→a时。
limit(F) %用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→0时。
limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F的单侧极限：左极限x→a- 或右极限x→a+。
例3-25
>>syms x a t h n;
>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)
>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')
>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')
>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)
>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];
>>L5 = limit(v,x,inf,'left')
>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)
计算结果为：
L1 =
0
L2 =
inf
L3 =
-inf
L4 =
1/x
L5 =
[ exp(a), 0]
L6 =
exp(6)
命令2 导数（包括偏导数）
函数 diff
格式 diff(S,'v')、diff(S,sym('v')) %对表达式S中指定符号变量v计算S的1阶导数。
diff(S) %对表达式S中的符号变量v计算S的1阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,n) %对表达式S中的符号变量v计算S的n阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,'v',n) %对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数。
例3-26
>>syms x y t
>>D1 = diff(sin(x^2)*y^2,2) %计算
>>D2 = diff(D1,y) %计算
>>D3 = diff(t^6,6)
计算结果为：
D1 =
-4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^2
D2 =
-8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y
D3 =
720
命令3 符号函数的积分
函数 int
格式 R = int(S,v) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分。注意的是，表达式R只是函数S的一个原函数，后面没有带任意常数C。
R = int(S) %对符号表达式S中的符号变量v计算不定积分，其中v=findsym(S)。
R = int(S,v,a,b) %对表达式s中指定的符号变量v计算从a到b的定积分
R = int(S,a,b) %对符号表达式s中的符号变量v计算从a到b的定积分，其中v=findsym(S)。
例3-27
>>syms x z t alpha
>>INT1 = int(-2*x/(1+x^3)^2)
>>INT2 = int(x/(1+z^2),z)
>>INT3 = int(INT2,x)
>>INT4 = int(x*log(1+x),0,1)
>>INT5 = int(2*x, sin(t), 1)
>>INT6 = int([exp(t),exp(alpha*t)])
计算结果为：
INT1 =
-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x^2-x+1)-2/9*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*… 3^(1/2))-2/9*(2*x-1)/(x^2-x+1)
INT2 =
x*atan(z)
INT3 =
1/2*x^2*atan(z)
INT4 =
1/4
INT5 =
1-sin(t)^2
INT6 =
[ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]
命令4 常微分方程的符号解
函数 dsolve
格式 r = dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v')
说明 对给定的常微分方程（组）eq1,eq2,…中指定的符号自变量v，与给定的边界条件和初始条件cond1,cond2,….求符号解（即解析解）r；若没有指定变量v，则缺省变量为t；在微分方程（组）的表达式eq中，大写字母D表示对自变量(设为x)的微分算子：D=d/dx，D2=d2/dx2，…。微分算子D后面的字母则表示为因变量，即待求解的未知函数。初始和边界条件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f，等等，分别表示，，；若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r中会出现任意常数C1，C2，…；dsolve命令最多可以接受12个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象。这时，用户可以用命令ode23或ode45求解方程组的数值解。
例3-28
>>D1 = dsolve('D2y – Dy =exp(x)')
>>D2 = dsolve('t*D2f = Df*log((Dy)/t)')
>>D3 = dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','s')
>>D4 = dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b') % 带一个定解条件
>>D5 = dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0') % 带两个定解条件
>>[x,y] = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x') % 求解线性微分方程组
>>[u,v] = dsolve(‘Du=u+v,Dv=u-v’)
计算结果为：
D1 =
-exp(x)*t+C1+C2*exp(t)
D2 =
y(t)=Int(exp(t*diff(f(t),`$`(t,2))/diff(f(t),t))*t,t)+C1
D3 =
[ -1]
[ 1]
[ sin(s-C1)]
[ -sin(s-C1)]
D4 =
b*exp(a*t)
D5 =
cos(a*t)
x =
cos(t)*C1+sin(t)*C2
y =
-sin(t)*C1+cos(t)*C2
u =
1/2*C1*exp(2^(1/2)*t) - 1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C1*2^(1/2) *exp (2^(1/2)*t) + 1/2*C1*exp(-2^(1/2)*t) - 1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C2 *2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)
v =
-1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)+1/4*C1*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/2*C2*exp
(2^(1/2)*t)+1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*C2*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+ 1/2*C2*exp(-2^(1/2)*t)
3.2.3 符号函数的作图
命令1 画符号函数的等高线图
函数 ezcontour
格式 ezcontour(f) %画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezcontour(f,domain) %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)，参量domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。
ezcontour(…,n) %用指定n*n个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的图形。n的缺省值为60。
说明 该命令用函数表达式作为标题显示，同时显示坐标轴的恰当的刻度标签。
例3-29
>>syms x y
>>f = (1-x)^2*exp(-(x^2)-(y+1)^2)-5*(x/5-x^3-y^5)*sin(-x^2-y^2)-1/3*exp(-(x+1)^2-y^2);
ezcontour(f,[-3,3],49)
图形结果为图3-4。
命令2 用不同颜色填充的等高线图
函数 ezcontourf
格式 ezcontourf(f) %画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π,-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezcontourf(f,domain) %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的等高线图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。定义域domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。
ezcontourf(…,n) %用指定n*n个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的等高线图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。n的缺省值为60。
例3-30
>>syms x y
>>f = (1-x)^2*exp(-(x^2)-(y+1)^2)-5*(x/5-x^3-y^5)*sin(-x^2-y^2)-1/3*exp(-(x+1)^2-y^2);
ezcontourf(f,[-3,3],64)
图形结果为图3-5。
图3-4 等高线图 图3-5 等高线填充图
命令3 符号函数的三维网格图
函数 ezmesh
格式 ezmesh(f) %画出二元数学符号函数f=f(x,y)的网格图。函数f将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezmesh(f,domain) %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的网格图，定义域domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。
ezmesh(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围[-2π<s<2π,-2π<t<2π]内画参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图。
ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]) %在指定的矩形定义域范围[smin<s<smax，min<t<tmax]内画参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图。
ezmesh(x,y,z,[min,max]) %用指定的矩形定义域[min<x<max,min<y<max]画出函数z=f(x,y)的网格图。
ezmesh(f,…,n) %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f网的图形。n的缺省值为60。
ezmesh(…,'circ') %在一圆形区域（圆心位于定义域在中心）的范围内画出函数f的网格图形。
例3-31
>>syms x y
>>ezmesh(x*sin(-x^2-y^2),40,’circ’)
>>colormap [0 0 1]
图形结果为：（图3-6）
命令4 同时画出曲面网格图与等高线图
函数 ezmeshc
格式 ezmeshc(f) %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的网格图形，同时在xy平面上显示其等高线图。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π,-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezmeshc(f,domain) %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的网格图及其等高线图，domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max](其中显示区域为：min<x<max，min<y<max)。
ezmeshc(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围[-2π<s<2π,-2π<t<2π]内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图形与其等高线图。
ezmeshc(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]) %在指定的矩形定义域范围[smin<s<smax，tmin<t<tmax]内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图形与其等高线图。
ezsurfc(x,y,z,[min,max]) %用指定的定义域[min<x<max,min<y<max]画出函数z=f(x,y)的网格图与等高线图。
ezmeshc(f,…,n) %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的网格图形与等高线图。n的缺省值为60。
ezmeshc(…,'circ') %在一圆形区域（圆心位于定义域在中心）的范围内画出函数f的网格图形及其等高线图。
例3-32
>>syms x y
>>ezmeshc(x*y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35)
图形结果为图3-7。
图3-6 三维网格图 图3-7 网格等高线图
命令5 画符号函数的图形
函数 ezplot
格式 ezplot(f) %对于显式函数f=f(x)，在缺省的范围[-π<x<π]上画函数f(x)；对于隐函数f=f(x,y)，在缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]上画函数f(x,y)的图形。
ezplot(f,[min,max]) %在指定的范围[min<x<max]内画函数表达式f=f(x)。若没有图形窗口存在，则该命令先生成标题为Figure No.1的新窗口，再在该窗口中操作；若已经有图形窗口存在，则在标号最高的图形窗口中进行操作。
ezplot(f,[xmin xmax],fign) %在指定标号fign的窗口中、指定的范围[xmin xmax]内画出函数f=f(x)的图形。
ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]) %在平面矩形区域[xmin<x<xmax, ymin<y <ymax]上画出函数f(x,y)=0的图形。
ezplot(x,y) %在缺省的范围0<t<2π内画参数形式函数x=x(t)与y=y(t)的图形。
ezplot(x,y,[tmin,tmax]) %在指定的范围[tmin < t < tmax]内画参数形式函数x=x(t)与y=y(t)的图形。
ezplot(…,figure) %在由参量figure句柄指定的图形窗口中画函数图形。
例3-33
>>syms x y
>>ezplot(x^6-y^2)
图形结果为图3-8。
例3-34
>>syms x
>>ezplot(exp(x)*sin(x)/x)
>>grid on
图形结果为图3-9。
命令6 三维参量曲线图
函数 ezplot3
格式 ezplot3(x,y,z) %在缺省的范围0<t<2π内画空间参数形式的曲线x=x(t)、y=y(t)与z=z(t)的图形。
ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax]) %在指定的范围tmin < t < tmax.内画空间参数形式的曲线x=x(t)、y=y(t)与z=z(t)的图形。
ezplot3(…,'animate') %以动画形式画出空间三维曲线。
图3-8 隐函数图 图3-9 显函数图
例3-35
>>syms t;
>>ezplot3(t*sin(t), t*cos(t), t,[0,20*pi])
图形结果为图3-10。
命令7 画极坐标图形
函数 ezpolar
格式 ezpolar(f) %在缺省的范围0<theta<2π内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且将函数关系式显示于图形下方。
ezpolar(f,[a,b]) %在指定的范围a<theta<b内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且将函数关系式显示于图形下方。
例3-36
>>syms t
>>ezpolar(1+cos(5*t))
图形结果为图3-11。
图3-10 三维曲线图 图3-11 极坐标图
命令8 三维带颜色的曲面图
函数 ezsurf
格式 ezsurf(f) %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形。函数f将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数的变动程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezsurf(f,domain) %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的曲面图形，domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]，或者是二维向量[min,max] (其中有min<x<max，min<y<max)。
ezsurf(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围-2π<s<2π，-2π<t<2π内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)与z=z(s,t)的曲面图形。
ezsurf(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])或ezsurf(x,y,z,[min,max]) %用指定的定义域画出参数形式的曲面图形
ezsurf(…,n) %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的图形，n的缺省值为60。
ezsurf(…,'circ') %在一圆形中心位于定义域在中心的范围内画出函数f的曲面图形
例3-37
>>syms x y
>>ezsurf(real(atan(x+i*y)))
图形结果为图3-12。
命令9 同时画出曲面图与等高线图
函数 ezsurfc
格式 ezsurfc(f) %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形与其等高线图。函数f将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数的变动程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在栅格点上没有定义，则这些点将不显示。
ezsurfc(f,domain) %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的曲面图形及其等高线图，domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max](其中有min<x<max，min<y<max)。
ezsurfc(x,y,z) %在缺省的矩形定义域范围-2π<s<2π，-2π<t<2π内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)与z=z(s,t)的曲面图形与等高线图。
ezsurfc(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])或ezsurfc(x,y,z,[min,max]) %用指定的定义域画出参数形式的曲面图形与等高线图
ezsurfc(…,n) %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的曲面图形与等高线图，n的缺省值为60。
ezsurfc(…,'circ') 在一圆形中心位于定义域的中心范围内画出函数f的曲面图形与等高线图
例3-38
>>syms x y
>>ezsurfc(x*y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35,’circ’)
图形结果为图3-13。
图3-12 三维曲面图 图3-13 三维曲面等高线图
3.2.4 积分变换
命令1 Fourier积分变换
函数 fourier
格式 F = fourier(f)
说明 对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式。缺省的输出结果F是变量w的函数：
若f = f(w)，则fourier(f)返回变量为t的函数：F= F(t)。
F = fourier(f,v) 对符号单值函数f中的指定变量v计算Fourier变换形式：
F = fourier(f,u,v) 令符号函数f为变量u的函数，而F为变量v的函数：
例3-39
>>syms x w u v
>>f = sin(x)*exp(-x^2); F1 = fourier(f)
>>g = log(abs(w)); F2 = fourier(g)
>>h = x*exp(-abs(x)); F3 = fourier(h,u)
>>syms x real
>>k = cosh(-x^2*abs(v))*sinh(u)/v
>>F4 = fourier(k,v,u)
计算结果为：
F1 =
-1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w-1)^2)+1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w+1)^2)
F2 =
fourier(log(abs(w)),w,t)
F3 =
-4*i/(1+u^2)^2*u
F4 =
sinh(u)*(1/2*fourier(1/v*exp(x^2*abs(v)),v,u)-i*atan(u/x^2))
命令2 逆Fourier积分变换
函数 ifourier
格式 f = ifourier(F)
说明 输出参量f = f(x)为缺省变量w的标量符号对象F的逆Fourier积分变换。即：F = F(w) → f = f(x)。若F = F(x)，ifourier(F)返回变量t的函数：即：F = F(x) → f = f(t)。逆Fourier积分变换定义为：
f = ifourier(F,u) 使函数f为变量u（u为标量符号对象）的函数：
f = ifourier(F,v,u) 使F为变量v的函数，f为变量u的函数：
例3-40
>>syms w v x t
>>syms a real
>>f = sqrt(exp(-w^2/(4*a^2)));
>>IF1 = ifourier(f)
>>g = exp(-abs(x));
>>IF2 = ifourier(g)
>>h = sinh(-abs(w)) – 1;
>>IF3 = simple(ifourier(h,t))
>>syms w real
>>k = exp(-w^2*abs(v))*sin(v)/v;
>>IF4 = ifourier(k,v,t)
计算结果为：
IF1 =
ifourier(exp(-1/4*w^2/a^2)^(1/2),w,x)
IF2 =
1/(1+t^2)/pi
IF3 =
-1/2*(pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)+pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)*t^2-… 1+2*pi*Dirac(t))/(1+t^2)/pi
IF4 =
1/2*(atan((t+1)/w^2)-atan((t-1)/w^2))/pi
命令3 Laplace变换
函数 laplace
格式 L = laplace(F)
说明 输出参量L = L(s)为有缺省符号自变量t的标量符号对象F的Laplace变换。即：F = F(t) → L = L(s)。若F = F(s)，则fourier(F)返回变量为t的函数L。
即：F = F(s) → L = L(t)。Laplace变换定义为：
laplace(F,t) 使函数L为变量t（t为标量符号自变量）的函数：
fourier(F,w,z) 使L为变量z的函数，F为变量w的函数：
例3-41
>>syms x s t v
>>f1= sqrt(t);
>>L1 = laplace(f)
>>f2 = 1/sqrt(s);
>>L2 = laplace(f2)
>>f3 = exp(-a*t);
>>L3 = laplace(f3,x)
>>f4 = 1 - sin(t*v);
>>L4 = laplace(f4,v,x)
计算结果为：
L1 =
1/(s-1/s^2)
L2 =
(pi/t)^(1/2)
L3 =
1/(x+a)
L4 =
1/x-t/(x^2+t^2)
命令4 逆Laplace变换
函数 ilaplace
格式 F = ilaplace(L)
说明 输出参量F = F(t)为缺省变量s的标量符号对象L的逆Laplace变换
即：F = F(w) → f = f(x)。若L = L(t)，则ifourier(L)返回变量为x的函数F。即：F = F(x) → f = f(t)。逆Laplace变换定义为：
其中c为使函数L(s)的所有的奇点位于直线s = c左边的实数。
F = ilaplace(L,y) 使函数F为变量y（y为标量符号对象）的函数：
F = ilaplace(L,y,x) 使F为变量x的函数，L为变量y的函数：
例3-42
>>syms a s t u v x
>>f = exp(x/s^2);
>>IL1 = ilaplace(f)
>>g = 1/(t-a)^2;
>>IL2 = ilaplace(g)
>>k = 1/(u^2-a^2);
>>IL3 = ilaplace(k,x)
>>y = s^3*v/(s^2+v^2);
>>IL4 = ilaplace(y,v,x)
计算结果为：
IL1 =
ilaplace(exp(x/s^2),s,t)
IL2 =
x*exp(a*x)
IL3 =
1/(-a^2)^(1/2)*sin((-a^2)^(1/2)*x)
IL4 =
s^3*cos((s^2)^(1/2)*x)
命令5 Riemann ζ-函数
函数 zeta
格式 Y = zeta(X) %计算数值矩阵、或符号矩阵参量x中每一元素的ζ-函数值。ζ-函数定义为：
Y = zeta(n, X) %返回ζ(X)函数的n阶导数
例3-43
>>syms x y
>>Y1 = zeta(1.5)
>>Y2 = zeta(1.2:0.1:2.1)
>>Y3 = zeta([x 2;4 x+y])
>>DZ = diff(zeta(x),x,3)
计算结果为：
Y1 =
2.6124
Y2 =
Columns 1 through 7
5.5916 3.9319 3.1055 2.6124 2.2858 2.0543 1.8822
Columns 8 through 10
1.7497 1.6449 1.5602
Y3 =
[ zeta(x,2), zeta(2,2)]
[ zeta(4,2), zeta(x+y,2)]
DZ =
zeta(3,x)
命令6 z-变换
函数 ztrans
格式 F = ztrans(f) %对缺省自变量为n（就像由命令findsym确定的一样）的单值函数f计算z-变换。输出参量F为变量z的函数：f = f(n) → F = F(z)。函数f的z-变换定义为：
若函数f = f (z)，则ztrans(f)返回一变量为w的函数：f = f(z) → F = F(w)
F = ztrans(f,w) %用符号变量w代替缺省的z作为函数F的自变量
F = ztrans(f,k,w) %对函数f中指定的符号变量k计算z-变换：
例3-44
>>syms a k w x n z
>>f1 = n^4;
>>ZF1 = ztrans(f)
>>f2 = a^z;
>>ZF2 = ztrans(g)
>>f3 = sin(a*n);
>>ZF3 = ztrans(f,w)
>>f4 = exp(k*n^2)*cos(k*n);
>>ZF4 = ztrans(f,k,x)
计算结果为：
ZF1 =
z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5
ZF2 =
w/a/(w/a-1)
ZF3 =
-w*sin(a)/(-w^2+2*w*cos(a)-1)
ZF5 =
(x/exp(n^2)-cos(n))*x/exp(n^2)/(x^2/exp(n^2)^2-2*x/exp(n^2)*cos(n)+1)
命令7 逆z-变换
函数 iztrans
格式 f = iztrans(F)
说明 输出参量f = f(n)为有缺省变量z的单值符号函数F的逆z-变换。即：F = F(z) → f = f(n)。若F = F(n)，则iztrans(F)返回变量为k的函数f(k)。
即：F = F(n) → f = f(k)。逆z-变换定义为：，n =1,2,3,…
其中R为一正实数，它使函数F(z)在圆域之外 |z|≥R是解析的。
f = iztrans(F,k) 使函数f为变量k（k为标量符号对象）的函数f(k)：，k=1,2,3,…
f = iztrans(F,w,k) 使函数F为变量w的函数，f为变量k的函数：，k=1,2,3,…
例3-45
>>syms a n k x z
>>f1= 2*z/(z^2+2)^2;
>>IZ1 = iztrans(f1)
>>f2 = n/(n+1);
>>IZ2 = iztrans(f2)
>>f3 = z/sqrt(z-a);
>>IZ3 = iztrans(f3,k)
>>f4 = exp(z)/(x^2-2*x*exp(z));
>>IZ4 = iztrans(f4,x,k)
计算结果为：
IZ1 =
-1/8*sum(1/_alpha*(1/_alpha)^n,_alpha
IZ2 =
(-1)^k
IZ3 =
iztrans(z/(z-a)^(1/2),z,k)
IZ4 =
1/4*(-charfcn[0](k)-2*charfcn[1](k)*exp(z)+2^k*exp(z)^k)/exp(z)
