贪心

贪心

简介

贪心算法（英语：greedy algorithm），是用计算机来模拟一个“贪心”的人做出决策的过程。这个人十分贪婪，每一步行动总是按某种指标选取最优的操作。而且他目光短浅，总是只看眼前，并不考虑以后可能造成的影响。

可想而知，并不是所有的时候贪心法都能获得最优解，所以一般使用贪心法的时候，都要确保自己能证明其正确性。 ——oi.wiki

贪心算法一般用于最优子结构问题，即为可以将一个问题拆分为多个子问题，由每个子问题的最优解可以推出整个问题的最优解。

特点

1.贪心选择

所谓贪心选择是说应用同一规则，将原问题变为一个相似的但规模更小的子问题，后面的每一步都是看目前的最佳选择，只依赖于已做出的选择，不依赖未作出的选择。

如背包问题，对于部分背包问题，是可以用贪心优先选择性价比高的，但对于这种不可分割物品的背包问题，却显然不能用贪心来做了，就比如说：

体积：100， 物品1：10 1， 物品2：100 100

如果按照贪心策略应该选物品一，这样就选不了物品二了，最大利益是 10， 而应该是只装物品二，最大利益 100 。此时显然贪心策略是错的了，因为它还要依赖其他物品，这时应该用动态规划解题。

2.最优子结构

执行算法时，每一次得到的结果虽然都是目前的最优解，但只有满足全局最优解包含局部最优解时，才能保证贪心算法正确。

证明方法

因为贪心往往不是正解，所以在使用贪心时往往要证明其正确性，而且有时证明其正确性时可以推出如何贪心（如国王游戏）。

证明贪心方法有两种：反证法和归纳法。很多基于贪心的算法也是通过这两种方法证明。

1.反证法

对于目前采取的贪心策略，定下一种交换方案，如果按照这种交换方案交换两个元素后，方案没有变得更优，那么说明目前的贪心策略是对的。

如求最小生成树的 $Kruskal$ 算法其正确性就是反证法证明的。

2.归纳法

先算得出边界情况（例如 $n == 1$ ）的最优解 $F_1$，然后再证明：对于每个 $n$，$F_{n + 1}$ 都可以由 $F_n$ 推导出结果。

一些经典例题

1.最优装载问题

给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量是 $w_i$ ，选择尽量多的物品，使总重量不多于 $C$ 。

【贪心策略】 ： 优先选择最轻的。

2.部分背包问题

例题

与上一个例子不同，本题还加入了一个价值 $v_i$ ，所以用 $\frac{v_i}{w_i}$ 来表示一件物品的性价比。

【贪心策略】 ： 优先选择性价比高的。

3.乘船问题

有 $n$ 个人，第 $i$ 个人重量为 $w_i$ 。每艘船最大载重量为 $C$ ，最多盛两个人。求如何用最少的船装载所有人。

【贪心策略】 ： 对于任意一个人，应该选择能和他一起坐船的人中最重的一个。

4.选择不相交区间

给定 $n$ 个开区间 $(a_i, b_i)$，选择尽量多的区间，使得他们两两没有公共点。

【贪心策略】 ：

5.区间覆盖问题

给定 $n$ 个闭区间 $[a_i, b_i]$ ，选择尽量少的区间，使其完全覆盖给定区间。