图的连通性问题——无向图相关_求割顶

求割顶

割顶是去掉后让无向图不再连通的点。

  求割顶的算法在DFS遍历的算法上形成。

什么样的点是割顶？

在一棵DFS树中，

1.根root是割顶   -------------  它至少有两个儿子

2.其他点v是割顶 -------------  它有一个儿子u, 从u或者u的后代出发没有指向v祖先(不含v)的B边, 则删除v以后u和v的父亲不连通, 故为割顶。

 

割顶判定算法:

引入lowlink数组为 从当前点以及它的后代所能到达的点的开始访问时间的最小值。

  Lowlink [u]= Min { pre[u]

                     Pre[v]        (u,v)是后向边

                     Lowlink [v]   (u，v）是树边，u在dfs树中是v的父亲    }

–对于DFS树根, 判断度数是否大于1

–对于其他点u, 如果不是根的直接儿子, 且Lowlink[u] >= d[P[u]], 则它的父亲v=P[u]是割点。

其实这个解释并不是特别明晰。。。

粗略的解释一下。。

求法就是枚举每个点，切断，dfs，若不能到达目标节点，

则当前被切断的点是割顶。（注意标记的点，dfs后要还原）

有一个小小的优化：

先从始点dfs一下。则割顶一定在这条路径上，

记录一下访问过的节点，能够减少枚举的点数。

引申的问题：如果有不能连通的情况，也可以从这次dfs中判断出来。

举个例子：有道题是裸求割顶的，看代码。（表示代码写的不好看。。）

code：

  var
    i,x,y,j,n,m,k,l,e,js,bb:longint;
    a:array[1..2000,1..2000]of longint;
    b,v,vv,jj:array[1..2000]of integer;
  procedure find(x:longint);
    var
      i,j:longint;
    begin
      v[x]:=1;
      if x=n then begin bb:=1;exit;end;
      for i:=1 to jj[x] do
        begin
          if (v[a[x,i]]=0) then find(a[x,i]);
          if bb=1 then begin
            inc(js);
            b[js]:=a[x,i];
            if a[x,i]=n then b[js]:=0;
            break;
          end;
        end;
    end;
  procedure doing(x:longint);
    var
      i,j:longint;
    begin
      v[x]:=1;
      for i:=1 to jj[x] do
        if (v[a[x,i]]=0) then doing(a[x,i]);
    end;
  begin
    assign(input,'running.in');
    reset(input);
    assign(output,'running.out');
    rewrite(output);
    readln(n,e);
    for i:=1 to e do
      begin
        readln(x,y);
        inc(jj[x]);a[x,jj[x]]:=y;
        inc(jj[y]);a[y,jj[y]]:=x;
      end;
    find(1);
    for i:=1 to js do
      if b[i]<>0 then
        begin
          fillchar(v,sizeof(v),0);
          v[b[i]]:=1;
          doing(1);
          if v[n]=0 then vv[b[i]]:=1;
        end;
    m:=0;
    for i:=1 to n do if vv[i]=1 then inc(m);
    writeln(m);
    for i:=1 to n do if vv[i]=1 then write(i,' ');
    close(input);
    close(output);
  end.