dijkstra

这几天才开始真正学习图论，

第一天考试就有恶心的图论题。。。。。我不得不开始学习dijkstra。。。。（spfa先放一放吧）

Dijkstra算法是一种求单源最短路的算法，即从一个点开始到所有其他点的最短路。 其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永 远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有 可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

如果用本算法求一个图中全部的最短路，则要以每个点为源调用一次Dijkstra算法。

算法流程

在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist[]

1. 初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。
2. 循环n-1次：
   1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
   2. 对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dist[u]+w[u,v]<dist[v]，那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
3. 结束。此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。

算法实现

• 直接实现

最简单的实现方法就是，在每次循环中，再用一个循环找距离最短的点，然后用任意的方法更新与其相邻的边，时间复杂度显然为O(n²)

对于空间复杂度：如果只要求出距离，只要n的附加空间保存距离就可以了（距离小于当前距离的是已访问的节点，对于距离相等的情况可以比较编号或是特殊处理一下）。如果要求出路径则需要另外V的空间保存前一个节点，总共需要2n的空间。

• 二叉堆实现

使用二叉堆(Binary Heap)来保存没有扩展过的点的距离并维护其最小值，并在访问每条边的时候更新，可以把时间复杂度变成O(n+mlogn)。

当边数远小于点数的平方时，这种算法相对来说有很好的效果。但是当m=O(n²)时（有时候表现为不限制边的条数），用二叉堆的优化反倒会更慢。因为此时的复杂度是O(n+n²logn)，大于不用堆的实现的O(n²)的复杂度。

另外此时要用邻接表保存边，使得扩展边的总复杂度为O(m)，否则复杂度不会减小。

空间复杂度：这种算法需要一个二叉堆，及其反向指针，另外还要保存距离，所以所用空间为3n。如果保存路径则为4n。

具体思路：先将所有的点插入堆，并将值赋为极大值(maxint/maxlongint)，将原点赋值为0，通过松弛技术（relax）进行更新以及设定为扩展。

code：

网上的代码巨恶心。。。。

以下是我刚学的朴素dijkstra。

program dijkstra;
  var
    f,min,minn,i,j,n,m,k,l:longint;
    a:array[1..1000,1..1000]of longint;
    b:array[1..1000]of longint;
  begin
    assign(input,'dj.in');reset(input);
    readln(n);
    for i:=1 to n do
      for j:=1 to n do
        begin
          read(a[i,j]);
          if a[i,j]=0 then a[i,j]:=maxlongint-10000;
        end;
    fillchar(b,sizeof(b),0);
    b[1]:=1;
    minn:=1;
    for k:=2 to n do
      begin
        min:=maxlongint;
        for i:=2 to n do
          if (a[1,i]<min)and(b[i]=0)then
            begin
              min:=a[1,i];
              minn:=i;
            end;
        b[minn]:=i;
        for j:=1 to n do
          if (j<>minn)and(a[1,minn]+a[minn,j]<a[1,j])and(b[j]=0) then
            a[1,j]:=a[1,minn]+a[minn,j];
      end;
    for i:=1 to n do if a[1,i]=maxlongint-10000 then a[1,i]:=-1;
    for i:=1 to n do write(a[1,i],' ');
    close(input);
  end.

参考：http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95