鞅与停时定理
鞅与停时定理
鞅
鞅过程是一个随机过程，称 \(\{X_0,X_1,...\}\) 过程为鞅，当该过程满足下列条件
\(\text{E}(|X_n|) < \infty\)
\(\text{E}(X_{n + 1}|X_n,...,X_0) = X_n\)
即 \(\forall x_0,x_1,...,x_n,\text{E}(X_{n + 1} | X_n = x_n,...,X_0 = x_0) = X_n\)
进一步的扩展的鞅过程
一个随机过程 \(\{Y_0,Y_1,...\}\) 关于 \(\{X_0,X_1,....\}\) 为鞅，即：
\(\text{E}(Y_{n + 1} | X_n,...,X_0) = Y_n\)。
例题
下考虑简单的随机过程 \(Y_n = \sum X_i\) 考虑 \(P(X_i = 1) = p,P(X_i = -1) = 1-p = q\)，下证当 \(p = q = \frac{1}{2}\) 时 \(Y\) 为关于 \(X\)的鞅：
实际证明一般从 \(\text{E}(Y_{n + 1} - Y_n)\) 入手。
考虑 \(\text{E}(Y_{n + 1} - Y_n) = \text{E}(X_{n + 1}) = 0\) 。
可以进而一步证明 \(Z_n = Y_n^2 - n\) 是关于 \(X_i\) 的鞅过程。
\(\text{E}(Z_{n + 1} - Z_{n}) = \text{E}(\frac{1}{2}[(Y_n + 1) ^ 2 + (Y_n - 1)^2] - Y_n^2 - 1) = 0\)。
当 $p \neq q $ 时，下证 \(W_n = \frac{q}{p}^{Y_n},W = \{W_n,n\geq 0 \}\) 为 \({Y_n,n\geq 0}\) 的鞅过程 。
\(\text{E}(W_{n + 1} | Y_0,...Y_n) = W_n \text{E}(p \times \frac{q}{p} + q \times \frac{p}{q}) = W_n\)。
停时定理
定义随机时刻：设取值为非负整数的随机变量 \(T\) ，及随机过程 \(\{X_n,n\geq 0\}\)，若 \(I_{\{T = n\}}\) 仅为 \(X_0,...X_n\) 的函数，则 \(T\) 为 \(\{X_n,n \geq 0\}\) 的随机时刻。
定义停时，取 \(T\) 为 \(\{X_n,n \geq 0\}\) 的一个时刻，其停止过程过程 \(\overline{X_i}\)
\(\overline{X_i} = X_i (i \leq T)\)
\(\overline{X_i} = X_T (i > T)\)
设 \(X = {X_n,n \geq 0}\) 为离散时间鞅， \(\text{E}(X_i),\overline{X_i},T\) 均有界，则
\(\text{E}(X_t) = \text{E}(X_0)\)
在实际应用中，我们考虑随机事件序列 \(\{A_0,A_1,A_2,...\}\)，随机变量 \(T\) 为其停时，我们期望求 \(\text{E}(T)\)，但直接求比较困难，我们考虑构造势函数 \(\phi(A)\)，满足如下条件：
\(\text{E}(\phi(A_{t + 1} - \phi(A_t)) | A_t,...A_0) = -1\)
\(\phi(A_T)\) 为常数
令 \(X_t = \phi(A_t) + t\)
则知 \({X_n,n\geq 0}\) 为一个鞍过程
所以 \(\text{E}(T) = \phi(A_0) - \phi(A_T)\)
部分例题
CF1951G
给定一个长为 \(m\) 的环，环上有若干球，球位置互不相同，每次 \(\frac{1}{n}\) 的概率选中一个位置，将其上面的球顺时针向下一一位，若下一个位置有球，则两个位置的球合并，求 \(n\) 个球合并在一个位置的期望次数
考虑设计势能函数。
容易想到该问题等价于有 \(a_1,a_2,...,a_k\) 序列，每次有 \(\frac{1}{n}\) 的概率将 \(a_i\) 减一,\(a_{i+1}\) 加一并将等于 0 的元素删除。
考虑设计 \(\phi(a_1,...,a_k) = \sum_{1}^{k}f(a_i)\)
则 \(\phi_{t} - \phi_{t + 1} = \frac{1}{n}\sum_{1}^k f(a_i) - f(a_i - 1) + f(a_{i + 1}) - f(a_{i + 1} + 1) = 1\)，这里我们强制令 \(f(0) = 0\)，保证重叠元素不贡献。
看起来是差分的形式，我们考虑把差分写完，令 \(d_x = f(x + 1) - f(x)\)
\(\phi_t - \phi_{t + 1} = \frac{1}{n} \sum d(a_i) - d(a_{i + 1} + 1) = 1 \to \sum d(a_i) - \sum d(a_i + 1) = n\)
此时这个地方，看起来只能构造一个 \(d(x)\) 满足这个要求，知道 \(\sum a_i = m\)
我们容易构造一个 \(d(x - 1) - d(x) = -\frac{n}{m}x\) 来满足条件，即 \(d(x) = -\frac{n}{2m}(x^2 + x)\)
故由于 \(f(0) = 0\)，我们对 \(d(x)\) 逐级求和，\(f(x) = -\frac{n}{m}\binom{x + 1}{3}\)
故 \(\text{E}(T) = \phi(a_1,.....a_n) - \phi(a_1 = m)\)
