CF Math Train Collection

发现我们队好像在一些观察和数学相关的方面稍差，然后我们队看起来数据结构以及一些比较典的题目都不太需要我，所以题目一旦不和胃口，就会瞬间爆爆。

所以决定，加训加训加训加训加训加训！

板刷加训一下CF带 math/binom/probabilities 的标签，顺便自己也挺喜欢数学的，当作课后放松之类，锻炼脑子也很不错，尝试写一写思考过程，加训！

[√]446C

tag: 2400 / math / number theory / data structures

给定初始区间，区间加斐波那契数列，区间求和，取模 1e9 + 9，$n,m\le 300000$

考虑直接矩阵快速幂，然后搬到线段树上即可

原本使用了分块，但很遗憾通过不了

分块提交 Submission #273301584 - Codeforces

线段树 $2\log$​ Submission #273484076 - Codeforces

[x] CF1951G

tag: 3100 / combinatorics / math / probabilities

给定一个长为 $m$ 的环，环上有若干球，球位置互不相同，每次 $\frac{1}{n}$ 的概率选中一个位置，将其上面的球顺时针向下一一位，若下一个位置有球，则两个位置的球合并，求 $n$ 个球合并在一个位置的期望次数

考虑设计势能函数。

容易想到该问题等价于有 $a_1,a_2,...,a_k$ 序列，每次有 $\frac{1}{n}$ 的概率将 $a_i$ 减一,$a_{i+1}$ 加一并将等于 0 的元素删除。

考虑设计 $\varphi (a_1,...,a_k)=\sum _1^{k}f(a_i)$

则 ${\varphi }_t-{\varphi }_{t+1}=\frac{1}{n}\sum _1^{k}f(a_i)-f(a_i-1)+f(a_{i+1})-f(a_{i+1}+1)=1$，这里我们强制令 $f(0)=0$，保证重叠元素不贡献。

看起来是差分的形式，我们考虑把差分写完，令 $d_x=f(x+1)-f(x)$

${\varphi }_t-{\varphi }_{t+1}=\frac{1}{n}\sum d(a_i)-d(a_{i+1}+1)=1\to \sum d(a_i)-\sum d(a_i+1)=n$

此时这个地方，看起来只能构造一个 $d(x)$ 满足这个要求，知道 $\sum a_i=m$

我们容易构造一个 $d(x-1)-d(x)=-\frac{n}{m}x$ 来满足条件，即 $d(x)=-\frac{n}{2m}(x^2+x)$

故由于 $f(0)=0$，我们对 $d(x)$ 逐级求和，$f(x)=-\frac{n}{m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{3})$

故 $\text{E}(T)=\varphi (a_1,.....a_n)-\varphi (a_1=m)$​

以上是从停时问题的角度思考的。

接下来我们重新审视这个问题，我们思考正常的合并应该是 $i-1\to i$ 的，如果出现了一个 $i\to i-1$ 证明已经完成了 。

那么我们思考其实中间怎么移看起来没多大所谓，那么我们只需要考虑相邻的两个点就好了。

那么如果我们最后一步是 $x\to x-1$ ，期望步数为 $E_x$，其概率为 $P_x$

所以总期望应该为 $\sum P_i{E}_i$

接着我们考虑如何计算这个 $P_i$ 和 $E_i$

我们考虑长度为 $d$ 的间距，后续这里有点没想明白，先放着吧。

提交记录 Submission #277027763 - Codeforces