ABC231G Balls in Boxes

思考在不需要 \(a_i\) 的情况下如何统计答案。

设 \(x_{i,j}\) 为第 \(j\) 个球是否给了第 \(i\) 位。

那么答案为 \(\prod\sum x_{i,j}\)

考虑拆开最终项，每一项类似于 \(x_{1,t_1}x_{2,t_2}...x_{n,t_n}\)

如果有贡献则 \(t_i\) 均不相等，那么考虑先选出 \(t\)，然后剩下的随便选。

那么知答案为 \(\frac{m!(n - m)^n}{(m - n)!}\)

考虑如何转换为上述情况。

那么思考答案 \(\prod(a_i + b_i)\)

最终拆开的每一项都是若干 \(a_x,b_y\),考虑枚举 \(a_x\) 的个数，然后对 \(b_y\) 使用上述球答案，前者的贡献显然可以使用 \(O(n^2)\) 的dp处理出来

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL mod = 998244353;
const int N = 1005;

LL pow_mod(LL x, LL n) {
    if (n < 0) return 0;
    LL res = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
int a[N];
LL f[N][N], g[N];
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1] * a[i]) % mod;
        }
    }
    LL now = 1;
    g[0] = pow_mod(n, m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        now = now * (m - i + 1) % mod;
        g[i] = now * pow_mod(n, m - i) % mod;
    }
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        ans += f[n][i] * g[n - i] % mod;
    }
    ans = ans % mod * pow_mod(n, m * (mod - 2)) % mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}