[学习笔记]后缀相关算法

SA

SA实际上求出两个数组$sa,rk$。

$s{a}_i$表示将所有后缀排序后排名第$i$小的后缀的编号，$r{k}_i$表示后缀$i$的排名。

满足其性质$s{a}_{r{k}_i}=r{k}_{s{a}_i}=i$

这里仅给出一个$O(nlo{g}^{2}n)$的做法。

其他做法参见$oiwiki$。

点击查看代码

bool cmp(int i,int j){
	if(rk[i]!=rk[j]){
		return rk[i]<rk[j];
	}else{
		int ri,rj;
		ri=i+k<n?rk[i+k]:-1;
		rj=j+k<n?rk[j+k]:-1;
		return ri<rj;
	}
}

void calc(){
	for(int i=0;i<n;i++){
		rk[i]=s[i];
		sa[i]=i;
	}
	for(k=1;k<n;k*=2){
		sort(sa,sa+n,cmp);
		tmp[sa[0]]=0;
		for(int i=0;i<n-1;i++){
			tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+cmp(sa[i],sa[i+1]);
		}
		for(int i=0;i<n;i++){
			rk[i]=tmp[i];
		}
	}
}

很多情况下我们都要求出辅助数组$height$数组。

$heigh{t}_i=lcp(s{a}_i,s{a}_{i-1})$

其有引理$heigh{t}_{r{k}_{i-1}}+1\le heigh{t}_{r{k}_i}$

所以根据该引理，维护一个指针即可$O(n)$求出其。

点击查看代码

for (i = 1, k = 0; i <= n; ++i) {
  if (rk[i] == 0) continue;
  if (k) --k;
  while (s[i + k] == s[sa[rk[i] - 1] + k]) ++k;
  height[rk[i]] = k;
}

其应用大概有：

两个子串最长公共前缀

$lcp(s{a}_i,s{a}_j)=minheaigh{t}_{i+1...j}$

不同子串数目

$\frac{n(n+1))}{2}-\sum _{i=2}^{n}heigh{t}_i$

连续的相同子串([NOI2016] 优秀的拆分)：

考虑枚举长度然后设置关键点。
若存在$AA$，则$AA$一定跨越两个关键点，枚举两关键点，其一定有$[1,x][1,y]$的后缀最长公共子串加$[x,n][y,n]$的前缀最长公共子串大于枚举长度。
配合图食用。

搭配其他数据结构

略。

SAM

SAM是一个接受字符串$S$的所有后缀的最小DFA。
其也是对于将所有子串插入trie里的trie图压缩的结果。

子串的性质

$S$的子串和从$t_0$出发的任意路径对应。

一些概念和性质

结束位置 endpos

考虑字符串的任意非空子串，我们记$endpos(t)$为其所有的结束位置。

考虑按$endpos(t)$分成若干等价类。

显然，$SAM$的每个状态对应等价类。

引理1：字串两个子串为$u$,$w$，其$endpos$相同，长度小的总为长度长的后缀。

引理2：每个等价类的元素子串的长度连续，且后缀关系传递。

后缀链接 $link$

考虑$SAM$中的某个不是$t_0$的状态$v$，我们已经知道，状态$v$其对应子串均为其代表等价类的最长串($T$)的后缀，我们设$S=suffix(T)$,其等价类$v$的后缀链接连向$maxlen(S)(endpos(S)\ne endpos(T))$对应$S$的等价类。

我们设$endpos(t_0)=-1,0,....,|S|-1$

引理3：所有后缀链接构成一颗根节点为$t_0$的树，其上子节点的$endpos$是父节点的$endpos$的子集。

后缀自动机建法

考虑增量建法。

考虑已经维护了$S$的后缀自动机，现在要加入一个字符$c$，考虑如何维护：

$len$为其对应等价类里的最长长度。

带图的建树过程。

点击查看代码

ll nod = 1,lst = 1;

inline void insert(int c){
	int p = lst,q = ++nod;lst = q;
	len[q] = len[p] + 1,f[q] = 1;
	while(!ch[p][c] && p != 0){//向上找 
		ch[p][c] = q;
		p = link[p];
	} 
	if(p == 0)
	link[q] = 1;
	else{
		int x = ch[p][c];
		if(len[p] + 1 == len[x]){
			link[q] = x;
		}else{
			int y = ++ nod ;//复制一个新节点
			link[y] = link[x];
			link[x] = link[q] = y;
			len[y] = len[p] + 1;
			std::memcpy(ch[y],ch[x],sizeof(ch[x])); 
			while(p != 0 && ch[p][c] == x){
				ch[p][c] = y;
				p = link[p];
			}
		}
	}
}