[学习笔记]Prufer序列

定义

Prufer序列用以解决一类树计数问题。

其的生成方式为:每次在所有叶子中选取编号最小的，将其的父亲编号推入序列,并删除这个叶节点，只到只剩两个
如上图这颗树的$Prufer$序列为$[2,2,6,5]$。

考虑如何从$Prufer$序列反向生成树。

依次确定父亲。

首先选择未出现在序列中的编号最小未使用的节点，其父亲就是队首元素，将其退队。

若队首元素是最后一次出现，把其也加入未出现在序列的集合里。

有标号无根树的计数

考虑$Prufer$序列和原树一一对应，所以我们直接计序列计数即可，发现其为$n^{n-2}$。

有标号有根树的计数

考虑对无根树确定根，其为$n^{n-2}\ast n=n^{n-1}$

若干强制条件如$d_i=x$的树计数

考虑对每个条件先确定其位置，再确定其他位置。

$\prod _{i=1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\sum _{j=1}^{i-1}{d}_j-1}{d_i-1})\times (n-\sum _{j=1}{d}_j-1{)}^{n-2-\sum _{j=1}{d}_j-}$