[学习笔记]全局最小割StoerWagner算法

概念

无向图的割：删除割集中的边可以使无向图不联通。
$S T$ 割：使得 $S$ 与 $T$ 不联通的割称做 $S T$ 割。
$S T$ 最小割： $S T$ 割中边权和最小的方案。
全局最小割：边权和最小的割。
诱导割：一个割在子图中所存在的部分，称做诱导割，其类似于诱导子图概念。

算法流程：

伪代码

def MinimumCutPhase(G, w, a):
    A ← {a}
    while A ≠ V:
        把与A联系最紧密（most tightly）的顶点加入A中
    cut-of-the-phase ← w(A \ t, t)
    合并最后两个加入到A的顶点s、t
    return cut-of-the-phase

def StoerWagner(G, w, a):
    while |V| > 1
        MinimumCutPhase(G, w, a)
        根据返回值更新最小割

其中 $w (A, v)$ 为 $v$ 到集合 $A$ 中的点的所有边权之和

最紧密的指： $max (w (A, x))$ 的 $x$

证明：

最小割，要么是 $s - t$ 割，要么是非 $s - t$ 割，后者将两点合并不影响。

考虑证明我们 $M i n i m u m C u t P h a s e$ 找出来的 $s - t$ 割 $c u t - o f - t h e - p h a s e$ 为什么是最小的。

称 $A_{u}$ 为加入 $u$ 前的 $A$ 集合。

$C$ 为任意 $s - t$ 割， $C_{u}$ 为 $A_{u} + u$ 部分的诱导割。

称 $u$ 为活跃的当 $A_{u}$ 的最后一个点与 $u$ 在 $C$ 中分属两边。

考虑归纳证明。

第一个活跃节点显然满足条件。

设 $v$ 满足条件， $u$ 为下一个活跃节点。

$w (A_{u}, u) = w (A_{v}, u) + w (A_{u} - A_{v}, u) = α$

有 $w (A_{v}, u) \leq w (A_{v}, v) \leq w (C_{v})$
有 $w (C_{v}) + w (A_{u} - A_{v}, u) \leq w (C_{u})$

两式联立可得原式。

全局最小割StoerWagner算法

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 3100;

LL mat[MAXN][MAXN];
LL weight[MAXN];
bool del[MAXN], vis[MAXN];;
int n, m, st;

void init() {
    memset(mat, 0, sizeof(mat));
    memset(del, 0, sizeof(del));
}

LL StoerWagner(int &s, int &t, int cnt) {
    memset(weight, 0, sizeof(weight));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if(!del[i]) {t = i; break; }
    while(--cnt) {
        vis[s = t] = true;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!del[i] && !vis[i]) {
            weight[i] += mat[s][i];
        }
        t = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!del[i] && !vis[i]) {
            if(weight[i] >= weight[t]) t = i;
        }
    }
    return weight[t];
}

void merge(int s, int t) {
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        mat[s][i] += mat[t][i];
        mat[i][s] += mat[i][t];
    }
    del[t] = true;
}

LL solve() {
    LL ret = -1;
    int s, t;
    for(int i = n; i > 1; --i) {
        if(ret == -1) ret = StoerWagner(s, t, i);
        else ret = min(ret, StoerWagner(s, t, i));
        merge(s, t);
    }
    return ret;
}

int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        if(n == 0 && m == 0) break;
        init();
        while(m--) {
            int x, y, z;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
            mat[x][y] += z;
            mat[y][x] += z;
        }
        cout<<solve()<<endl;
    }
}