[学习笔记]原根

拉格朗日定理

设\(p\)为素数，对于膜\(p\)的意义下的整系数多项式：
\(f(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + .... + a_0\),(\(p\)不整除\(a_n\))，的同余方程：\(f(x) \equiv 0(\bmod p)\)至多\(n\)个不同解。

阶

由欧拉定理知：若\(gcd(a,m) = 1\),则有\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(\bmod m)\),设\(a^n \equiv 1(\bmod m)\)的最小整数解\(n\)我们将其称作为\(a\)膜\(m\)的阶，记做\(\delta_m(a)\)

原根

若\(gcd(a,m) = 1\),且\(\delta_m(a) = \varphi(m)\)，称\(a\)为膜\(m\)的原根。

性质：

基础：

\(a^n \equiv 1(\bmod m)\),则\(\delta_m(a) | n\)

一：

\(gcd(a,m) = gcd(b,m)\),则\(\delta_m(ab) = \delta_m(a)\delta_m(b)\)的充分必要条件为\(gcd(\delta_m(a),\delta_m(b)) = 1\)

二：

\(gcd(a,m) = 1\),则\(\delta_m(a^k) = \frac{\delta_m(a)}{gcd(\delta_m(a),k)}\)

原根的存在性:

\(m = 1,2,4\)原根存在。

定理一：

对于奇素数\(p\)，\(p\)有原根。

引理：设\(a,b\)与\(p\)互质，则存在\(\delta_p(c) = lcm(\delta_p(a),\delta_p(b))\)

定理二：

对于奇素数\(p\),\(p^x\)有原根。

定理三：

对于奇素数\(p\),\(2p^x\)有原根。

寻找过程

考虑枚举\(g\),考虑若\(g\)为原根，则有\(g^{\varphi(m)/p}\not\equiv1(\bmod m)\)对\(\varphi(m)\)的每个质数就检验即可。

可以知道\(gcd(x,\varphi(m)) = 1\)的\(g^x\)均为原根。