[学习笔记]Min-Max容斥

假设我们有一个全集\(U = {a_1,a_2,a_3,....a_n}\)

我们设
\(\min(S) = \min_{a_i \in S} a_i\)
\(\max(S) = \max_{a_i \in S} a_i\)

我们先给出一个结论：
\(\max(S) = \sum_{T \in S} (-1) ^ {|T| + 1} \min(T)\)

考虑把所有数降序，那么我们思考包含\(A_k\)的集合个数。

\(k = 1\)，一个，其贡献为\(\min(A_k) = \max(S)\)

否则，其个数为\(2^{k - 1}\)，其奇偶对半，贡献相互抵消。

\(E(\max(S)) = \sum_{T \in S} (-1) ^ {|T| + 1} E(min(T))\)

其在期望意义下仍旧成立，在期望上非常有用，因为\(E(max(a,b)) \neq \max(E(a),E(b))\)

有其扩展形式：

考虑我们想要求第\(k\)大。

我们仍然考虑使用容斥。

\(Kthmax(S) = \sum_{T \in S} F(|T|)min(T)\)

考虑我们构造出一个\(F(|T|)\)。

考虑一个数排名为 \(p\) 的贡献为\(\sum_{i = 1}^{p - 1}\binom{p - 1}{i}F(i + 1)\)

令其等于 \(= [p = k]\),\(\sum_{i = 1}^{p - 1}\binom{p}{i}F(i + 1) = [p = k - 1]\)

考虑使用二项式反演。
有\(F(p + 1) = \sum_{i = 1}^{p + 1} (-1) ^ {p - i}\binom{p}{i} = (-1) ^ {p - k + 1} \binom{p}{k - 1}\)

所以有\(F(p) = \sum_{i = 1}^p (-1)^{p - i}\binom{p}{i}[i = k - 1] = (-1)^{p - k}\binom{p - 1}{k - 1}\)

所以有 \(Kthmax(S) = \sum_{T \in {S}} (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1}\min(T)\)

同样的。

他对期望同样适用。