多项式杂学笔记
说是要省选后来学多项式的，结果一直咕咕咕到现在，长文警告。
多项式定义：
\(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^na_kx^k\)
(\(a_n != 0\))
卷积：
对于数组\(a,b\),令：
\(c_k = \sum\limits_{i + j = k}a_ib_j = \sum\limits_{i = 0}^{k} a_i b_{k = i} = \sum_{j = 0}^ka_{k - j}b_j\)
则\(c\)为\(a\)和\(b\)的卷积。
多项式乘法：
\(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^na_kx^k\)
\(g(x) = \sum\limits_{k = 0}^nb_kx^k\)
\(f(x)g(x) = \sum\limits_{k = 0}^nc_kx^k\)
\(c\)为\(a\)和\(b\)的卷积。
显然：直接计算的时间复杂度为\(O(nm)\)
多项式点值表示：
\(LaTex\)学艺不精
挂个图。
对一个\(n\)次多项式和\(m\)次多项式乘法来说\(O(n + m)\)
单位根。
多项式\(x^n - 1\)的根被称作\(n\)次单位根。
设\(w_n = e^{\frac{2\pi i}{n}} = cos(x) + isin(x)\)
容易验证\(w_n^n = 1\)
对于质数\(p = kn + 1,设w_n = g^{\frac{p - 1}{n}}，g为膜p的原根,显然w_n^n = 1\)
在上述两种情况下，\(1,w_n,w_n^2......w_n^{n - 1}\)为\(n\)个不同的\(n\)次单位根
DFT的定义：
\(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}a_kx^k\)
\(DFT(a) = {f(1)，f(w_n),f(w_n^1)......f(w_n^{n - 1})}\)
称为\(a\)的离散傅里叶变换。
从而得到了\(f(x)\)的一个点值表示。
IDFT的定义：
\(DFT\)的逆变换称为\(IDFT\)或\(DFT^{-1}\)，\(IDFT\)是把点值表示变换成系数表示。
容易证明：只要将\(DFT\)中的\(w_n\)换为\(w_n^{-1}\)并将结果除\(n\)，形象的说\(g(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}f(w_n^k)x^k\)，则有\(a = DFT^-1(DFT(a)) = \frac{1}{n}(g(1),g(w_n^{-1}).......g(w_n^{-(n- 1)}))\)
循环卷积：
对大小为\(n\)的数组\(a,b\)，令：
\(c_k = \sum\limits_{(i + j)\ mod\ n = k}a_ib_j = \sum\limits_{i + j =
k}a_ib_j + \sum\limits_{i + j = n + k}a_ib_j\)
此时\(c\)为\(a\)和\(b\)的循环卷积，用\(a⊗b\)表示
卷积定理：
设\(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}a_kx^k\)
\(g(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}b_kx^k\)
\(h(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}c_kx^k\)
由于有\((w_n^s)^n = 1\)
所以：
\(f(w_n^s)g(w_n^s) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(\sum\limits_{i + j = k}a_ib_j + \sum\limits_{i + j = n + k}a_ib_j)(w_n^s)^k = h(w_n^s)\)
借助\(DFT和IDFT\)
有\(IDFT(DFT(a) ◦ DFT(b)) = a⊗b\)
\(◦\)是逐元素相乘。
FFT综述
快速傅里叶变换，或FFT，是快速计算\(DFT\)的方法，其时间复杂度仅为\(O(nlogn)\)
在\(OI\)中，通常要求实现\(n = 2^k\)的FFT，如果要计算\(a\)和\(b\)的卷积\(c\)，可以取\(n\)为不小于\(c\)的大小的最小的\(2^k\),将\(a\)和\(b\)的大小扩充到\(n\)再计算。
对于膜质数\(p\),若\(p = k * 2^l + 1\)，若\(n = 2 ^ k\ and k <= l\)则\(n次单位根\)在\(Fp\),从而可以计算\(DFT\)
一个常见的\(p\)
\(998244353 = 7 * 17 * 2^{23} + 1\)
相应原根可取\(3\)，注意\(2^{23} < 10^7\)
设\(n为2^k\)
\(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}a_kx^k\)
\(f_0(x) = \sum\limits_{k = 0}^{(n / 2) - 1}a_{2k}x^k\)
\(f_1(x) = \sum\limits_{k = 0}^{(n / 2) - 1}a_{2k + 1}x^k\)
有\(f(x) = f_0(x^2) + xf_1(x^2)\)
对于 \(n = 2^k\)，可以将所有下标视为 k 位二进制数。将下标根据
是否小于 \(\frac{n}{2}\)划分成两部分是根据最高位进行划分，而根据奇偶
性划分成两部分是根据最低位进行划分。对于前者，可以自然地将递归树展开。而对于后者，只要将所有下标的二进制位翻转，就可以转化为前者的情况
先去写点\(FFT\)的应用。
