【虚树学习笔记（[SDOI2011]消耗战）】
题意
想法
首先我们可以很自然的想到怎么在整棵树上进行求解\(DP\)
很简单 每个点有两个选择 要么对其子树的关键点递归求解 要么自己断开
当然断开的\(cost\)为其到根的最短边权
但我们发现每次都进行一次\(O(n)\)的整棵树\(DP\)我们实在是不太敢用
于是这个时候虚树起到了他的作用
给出定义：虚树是一些关键点按照在原树的祖孙关系构建的树
\(当A在原树中是B的祖先，那么在虚树中任然是\)
同时虚树中不仅有关键点，为了保持其原有的一些信息，一些关键点的\(LCA\)仍是必要存在的
芝士：虚树
我们怎么构建这个虚树呢，我们首先对每个点标号\(dfn\),然后对关键点按标号排序
这样保证我们是一条一条链加进来的
我们逐个加入
1.如果栈为空,或者栈中只有一个元素,那么显然应该:
\(stk[++top]=u;\)
2.取\(lca=LCA(u,stk[top])\),如果\(lca=stk[top]\)则说明\(u\)点应该接着\(stk[top]\)点延长当前的树链.做操作:
\(stk[++top]=u;stk[++top]=u;\)
3.如果\(lca≠stk[top]\)则说明\(u与stk[top]\)分属\(lca\)的两颗不同的子树,且包含\(stk[top]\)的这颗子树应该已经构建完成了,我们需要做的是:
将\(lca\)的包含\(stk[top]\)子树的那部分退栈,并将这部分建边形成虚树.如果\(lca\)不在栈(树链)中,那么要把\(lca\)也加入栈中,保证虚树的结构不出现问题,随后将u加入栈中,以表延长树链.
这里建议画图思考
建完虚树在虚树上跑就行了
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
ll n,k;
struct P{
int to,next,v;
};
int dfn[50005],mn[50005];
ll cnt = 0;
struct T{
int head[25010];
P e[500010];
void add(ll x,ll y,ll v){
e[++cnt].to = y;
e[cnt].next = head[x];
head[x] = cnt;
e[cnt].v = v;
}
int d[25010],fa[25010],son[25010],s[25010];
void dfs(ll now,ll f){
d[now] = d[f] + 1;
fa[now] = f;
ll maxx = 0;
s[now] = 1;
for(int i = head[now];i;i = e[i].next){
if(e[i].to == f)continue;
mn[e[i].to] = std::min(mn[now],e[i].v);
dfs(e[i].to,now);
s[now] += s[e[i].to];
if(s[e[i].to] > maxx)
maxx = s[e[i].to],son[now] = e[i].to;
}
}
int dfncnt,top[250010];
void dfs2(ll now,ll tp){
dfn[now] = ++dfncnt;
top[now] = tp;
if(!son[now])return ;
dfs2(son[now],tp);
for(int i = head[now];i;i = e[i].next){
if(e[i].to == fa[now] || e[i].to == son[now])continue;
dfs2(e[i].to,e[i].to);
}
}
ll lca(ll x,ll y){
while(top[x]!=top[y]){
if(d[top[x]]<d[top[y]]) x^=y^=x^=y;
x=fa[top[x]];
}
return d[x]>d[y]?y:x;
}
}Q;
ll t;
ll top = 0;
int s[25010];
struct FT{
std::vector<int>son[25010];
void add(ll x,ll y){son[x].push_back(y);}
void ins(ll x){
if(top <= 1) {s[++top] = x;return ;}
ll l = Q.lca(x,s[top]);
if(l == s[top]){return ;}
while(top > 1 && dfn[s[top - 1]] >= dfn[l]){
add(s[top - 1],s[top]);
--top;
}
if(l != s[top]) add(l,s[top]),s[top] = l;
s[++top] = x;
}
ll get(ll now){
if(son[now].size() == 0) return mn[now];
ll ans = 0;
for(register int i = 0;i < son[now].size();++i)
ans += get(son[now][i]);
son[now].clear();
return std::min(ans,(ll)mn[now]);
}
}W;
bool cmp(ll x,ll y){return dfn[x] < dfn[y];}
int num[250010];
int main(){
memset(mn,0x3f,sizeof(mn));
scanf("%lld",&n);
for(int i = 1;i <= n - 1;++i){
ll x,y,v;
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&v);
Q.add(x,y,v);
Q.add(y,x,v);
}
Q.dfs(1,0);
Q.dfs2(1,1);
scanf("%lld",&t);
while(t -- ){
ll k;
scanf("%lld",&k);
for(int i = 1;i <= k;++i)
scanf("%d",&num[i]);
std::sort(num + 1,num + k + 1,cmp);
s[top = 1] = 1;
for(int i = 1;i <= k;++i)
W.ins(num[i]);
while(top > 0)W.add(s[top - 1],s[top]),top -- ;
std::cout<<W.get(1)<<std::endl;
}
}
