【2020-8-21】【数字游戏】【启发式搜索IDA*】
有这么一个游戏:
写出一个1~N的排列a[i],然后每次将相邻两个数相加,构成新的序列,再对新序列进行这样的操作,显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1,直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子:
3 1 2 4
4 3 6
7 9
16
最后得到16这样一个数字。
现在想要倒着玩这样一个游戏,如果知道N,知道最后得到的数字的大小sum,请你求出最初序列a[i],为1~N的一个排列。若答案有多种可能,则输出字典序最小的那一个。 (n<12)
首先我们通过手算及暴力程序应该可以发现
设 sum 为最后一行的值
总共有 1 行 则 sum=a1*1
总共有 2 行 则 sum=a1*1+a2*1
总共有 3 行 则 sum=a1*1+a2*2+a3*1
总共有 4 行 则 sum=a1*1+a2*3+a3*3+a4*1
不难发现sum等于二项式定理中的系数乘上第n个数
所以对于这题我们只需要先预处理出二项式定理的系数 再对1~n进行dfs排列 适当加上一个剪枝就能AC
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; long long a[13],n,m,sum,b[13],last_num[13]; bool k[13],p; void dfs(long long now,long long num,long long now_num)//当前位置 到当前位置的总和 当前位置的数值 { if(p)//取到解就不必再继续dfs return ; if(now==n) { if(num==m) { for(long long i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",a[i]); p=1; return ; } else { k[now_num]=0; return ; } } for(long long i=1;i<=n;i++) { if(!k[i]) { if(num+i*b[now+1]>m)//一个小剪枝 如果总和大于所要的解则不再扩展 { k[now_num]=0; return; } else { k[i]=1; a[now+1]=i; dfs(now+1,num+i*b[now+1],i); k[i]=0;//根据函数定义的回溯法求排列 } } } } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&m); for(long long i=1;i<=n;i++) { b[i]=1; for(long long j=i-1;j>=1;j--) b[j]+=b[j-1]; } for(long long i=n;i>=1;i--) { last_num[i]=b[i]+last_num[i+1]; } dfs(0,0,0); }
对于原题中的n<12 我们的总和超过m就剪枝的做法是完全可以的
但教练提了一个n<20 的问题 这时一个剪枝就显得不足了(只能拿20分)
我们可以用IDA*的算法
即在dfs扩展时计算未来可能的代价 如果代价超出能忍受的范围则剪枝
我们考虑下面三个剪枝
剪枝一:
计算当前的“累加和”,若超出Sum,则没必要继续搜索
剪枝二:
计算当前的“累加和”+“未来的最小累加和”,若超出Sum,则没必要继续搜索
剪枝三:
计算当前的“累加和”+“未来的最大累加和”,若小于Sum,则没必要继续搜索
其中剪枝 二 三 就是对未来的一个估价函数
#pragma GCC optimize(2) #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; long long a[21],n,m,sum,b[21],sort_num[21],pai[21],minm,maxm; bool k[21],p,c; void yugu(long long now) { pai[0]=0; sort_num[0]=0; maxm=0; minm=0; for(long long i=n/2+1;i>=now;i--) pai[++pai[0]]=b[i]; for(long long i=n/2+2;i<=n;i++) pai[++pai[0]]=b[i]; for(long long i=1;i<=n;i++) { if(!k[i]) sort_num[++sort_num[0]]=i; } for(long long i=1;i<=sort_num[0];i++) { minm+=sort_num[i]*pai[i]; maxm+=sort_num[i]*pai[sort_num[0]-i+1]; } } void dfs(long long now,long long num) { if(c) return ; if(num>m) return ; yugu(now+1);//进行预估代价 if(num+maxm<m||num+minm>m)//判断是否可行剪枝 return ; if(now==n) { if(num==m) { for(long long i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",a[i]); c=1; return ; } else return ; } for(long long i=1;i<=n;i++) { if(!c) if(!k[i]) { if(num+i*b[now+1]>m) continue; else { k[i]=1; a[now+1]=i; dfs(now+1,num+i*b[now+1]); k[i]=0; } } } } int main() { // freopen("szyx.in","r",stdin); // freopen("szyx.out","w",stdout); scanf("%lld%lld",&n,&m); for(long long i=1;i<=n;i++) { b[i]=1; for(long long j=i-1;j>=1;j--) b[j]+=b[j-1]; } dfs(0,0); return 0; }