[BZOJ]4198: [Noi2015]荷马史诗

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Description

　　追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

　　Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

　　一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

　　对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

　　现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

　　一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

　　字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

Input

　　输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

　　接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

Output

　　输出文件包括 2 行。

　　第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

　　第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

Sample Input

　　4 2
　　1
　　1
　　2
　　2

Sample Output

　　12
　　2

HINT

　　用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

　　一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

　　1×2+1×2+2×2+2×2=12

　　最长字符串 si 的长度为 2。

　　一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

　　1×3+1×3+2×2+2×1=12

　　最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

　　对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

　　选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

Solution

　　题意相当于让你构造一个深度最小的k叉哈夫曼树。二叉哈夫曼树相信大家都会，贪心，每次选两个权值最小的合并成一个，k叉的话也可以类似的贪心，每次选出最小的k个合并成一个，但如果我们直接这样做，可能会导致最后一次合并不足k个，构造出的不够优，由于每次合并会使节点减少k-1个，我们只要让$n\equiv 1\ (mod\ k-1)$即可保证最后一次也有k个，我们多加一些权值为0的节点即可，要保证深度最小，只要合并权值相同的时候选深度较小的先合并即可。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
inline ll read()
{
    ll x;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    for(x=c-'0';(c=getchar())>='0'&&c<='9';)x=x*10+c-'0';
    return x;
}
#define MN 100000
#define p pair<ll,int>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
priority_queue< p,vector<p>,greater<p> > pq;
int main()
{
    int n,k,i;ll x,ans=0;
    n=read();k=read();
    while(n--)pq.push(mp(read(),0));
    while((pq.size()-1)%(k-1))pq.push(mp(0,0));
    while(pq.size()>1)
    {
        for(i=x=n=0;i<k;++i)x+=pq.top().first,n=max(n,pq.top().second+1),pq.pop();
        ans+=x;pq.push(mp(x,n));
    }
    printf("%lld\n%d",ans,pq.top().second);
}