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多变量函数的微分学

多变量函数的微分学

矩阵范数

定义

||||:n,mNMn,m[0,+[||||:n,mNMn,m[0,+[是一个矩阵范数,若

  • ||A||0,||A||=0A=0||A||0,||A||=0A=0.
  • ||aA||=|a|||A||,aR||aA||=|a|||A||,aR.
  • ||A+B||||A||+||B||||A+B||||A||+||B||.
  • ||AB||||A||||B||,AMn,m,BMm,k||AB||||A||||B||,AMn,m,BMm,k.

常用的矩阵范数

  • 矩阵的2-范数(Hilbert-Schmidt范数):||A||2=ni=1mj=1|aij|2,AMn,m||A||2=ni=1mj=1|aij|2,AMn,m.
  • 矩阵的算子范数||A||=sup|x|=1|Ax|,AMn,m||A||=sup|x|=1|Ax|,AMn,m.

RmRm上的范数等价性

对于两个范数||||||||||||2||||2,称两者等价当且仅当c1,c2>0c1,c2>0满足x,c1||x||||x||2c2||x||x,c1||x||||x||2c2||x||.(即两个范数可以互相控制).RmRm上的任意两个范数都是等价的.

 ,(Rm,TRm)||(2).||||,f(x)=||x||.|f(x)f(y)|=|||x||||y|||||xy||=||mi=1(xiyi)ei||mi=1|(xiyi)|||ei||.fC(Rm,R).S(0,1)={xRm||x|=1}Rm,a,A>0,a||x||A,xS(0,1).xRm,x0,||x||=|x|||x|x|||.a|x|||x||A|x|.  ,(Rm,TRm)||(2).||||,f(x)=||x||.|f(x)f(y)|=|||x||||y|||||xy||=||mi=1(xiyi)ei||mi=1|(xiyi)|||ei||.fC(Rm,R).S(0,1)={xRm||x|=1}Rm,a,A>0,a||x||A,xS(0,1).xRm,x0,||x||=|x|||x|x|||.a|x|||x||A|x|. 


矩阵范数的等价性

对于两个矩阵范数||||||||||||||||n,mN,AMn,m,a=a(m,n),b=b(m,n)n,mN,AMn,m,a=a(m,n),b=b(m,n)满足a||A||||A||b||A||a||A||||A||b||A||.

Mn,mMn,mRn×mRn×m同构||||||||||||||||等价.


多变量函数的微分

定义

集合的锥点

ERmERm,称xExEEE的一个锥点,如果存在矩阵AGLm(R)AGLm(R)δ>0δ>0满足t[0,δ]m,x+AtEt[0,δ]m,x+AtE.(即存在一个以xx为端点的方体,在经过拉伸旋转等变形后包含在EE中).

显然当x˚Ex˚E,xx一定是EE的锥点(取A=ImA=Im).

方体mi=1[ai,bi]mi=1[ai,bi]的边界点也是锥点.

考虑锥点可以研究EE上点的微分.


高阶无穷小

  • 假设有映射ϕ:ERmRn,0EEϕ:ERmRn,0EE,称ϕ(h)ϕ(h)Eh0Eh0的高阶无穷小,如果

    ε>0,δ>0,hB(0,δ)E,|ϕ(h)|ε|h|ε>0,δ>0,hB(0,δ)E,|ϕ(h)|ε|h|

    记作ϕ(h)=o(h)(h0)ϕ(h)=o(h)(h0).

  • 对于f,g:ERmRn,x)EEf,g:ERmRn,x)EE.称f(x)f(x)是关于Exx0Exx0时相对于g(x)g(x)的高阶无穷小,如果

    ε>0,δ>0,xB(x,δ)E,|f(x)|ε|g(x)|ε>0,δ>0,xB(x,δ)E,|f(x)|ε|g(x)|

    记作f(x)=o(g(x))(xx0)f(x)=o(g(x))(xx0).

  • o(h)o(h)是向量值,每个分量是o(|h|)o(|h|),且|o(h)|=o(|h|)|o(h)|=o(|h|).
  • 若有ϕ:EMn,mϕ:EMn,m,且suphE||ϕ(h)||<+suphE||ϕ(h)||<+,这里的||||||||是算子范数.那么有ϕ(h)o(h)=o(h)(h0)ϕ(h)o(h)=o(h)(h0).
  • o(Ah+o(h))=o(h)o(Ah+o(h))=o(h).

映射的微分

ERmERm,xxEE的锥点,则称f:ERmf:ERmxx处可微,如果存在一个线性变换(矩阵)AxMn,mAxMn,m满足hEx(:={zx|zE}),f(x+h)f(x)=Axh+o(h),(h0)hEx(:={zx|zE}),f(x+h)f(x)=Axh+o(h),(h0).此时称AxAxff在点xx的微分(或切映射/导映射),记为Ax=df(x)=Df(x)=f(x)Ax=df(x)=Df(x)=f(x).如果EE上的每一点都是锥点,且ffEE上处处可微,则称ffEE上可微.

关于AxAx的唯一性的证明:

 x0E,hEx0{f(x0+h)f(x0)=Ax0+o(h)f(x0+h)f(x0)=Bx0+o(h)(Ax0Bx0)h=o(h)x0E,CGLm(R),η>0xo+C[0,η]mEC=(c1,c2cm)tη,1im,tciEx0ε>0,δ>0hB(0,δ)(Ex0),|(Ax0Bx0)h|ε|h|.t=min{δη|ci|}|(Ax0Bx0)(tci)|ε|tci||(Ax0Bx0)(ci)|ε|ci|(Ax0Bx0)ci=0(Ax0Bx0)C=0Ax0=Bx0.  x0E,hEx0{f(x0+h)f(x0)=Ax0+o(h)f(x0+h)f(x0)=Bx0+o(h)(Ax0Bx0)h=o(h)x0E,CGLm(R),η>0xo+C[0,η]mEC=(c1,c2cm)tη,1im,tciEx0ε>0,δ>0hB(0,δ)(Ex0),|(Ax0Bx0)h|ε|h|.t=min{δη|ci|}|(Ax0Bx0)(tci)|ε|tci||(Ax0Bx0)(ci)|ε|ci|(Ax0Bx0)ci=0(Ax0Bx0)C=0Ax0=Bx0. 

下面只考虑EE的内点的可微性,结论对锥点也成立.


微分的几何意义

考虑函数f:ERmRnf:ERmRn.

函数的图像

S={(x,y)|xE,y=f(x)}S={(x,y)|xE,y=f(x)}ff的图像.


广义平面

对于bRn,AMn,m(R)bRn,AMn,m(R),由方程y=Ax+by=Ax+b决定的曲面,即Pb:={(x,y)Rm+n|(A,I)(xy)=b}Pb:={(x,y)Rm+n|(A,I)(xy)=b}称为一个广义平面.

  • b=0b=0时,PbPb是一个线性空间,即(A,I)(xy)=0(A,I)(xy)=0的解空间.
  • b0b0时,设x0x0满足(A,I)x0=b(A,I)x0=b,则Pb=P0+x0Pb=P0+x0,是一个仿射线性空间.

切平面与切空间

x0˚Ex0˚E,且ffx0x0处可微,则有f(x)=f(x0)+Df(x0)(xx0)+o(xx0),Exx0f(x)=f(x0)+Df(x0)(xx0)+o(xx0),Exx0.

Df(x0)=(a1a2an),P={(x,y)|yf(x0)=Df(x0)(xx0),xRm}Df(x0)=⎜ ⎜ ⎜ ⎜a1a2an⎟ ⎟ ⎟ ⎟,P={(x,y)|yf(x0)=Df(x0)(xx0),xRm}.

则有1in,yif(x0)i=ai(xx0)1in,yif(x0)i=ai(xx0).该方程对应了一个Rm+1Rm+1上的超平面HiHi,且(x0,f(x0)i)Hi(x0,f(x0)i)Hi.PP是一个仿射线性空间且(x0,f(x0))P(x0,f(x0))P,称之为(x0,f(x0))S(x0,f(x0))S处的切平面.记y0=f(x0).y0=f(x0).TS(x0,y0)=P(x0,y0)TS(x0,y0)=P(x0,y0)SS(x0,y0)(x0,y0)处的切空间,TS(x0,y0)TS(x0,y0)是线性空间.并且有TS(x0,y0)={(h,D(f0)h)|hRm}TS(x0,y0)={(h,D(f0)h)|hRm}.

下面证明SS(x0,y0)(x0,y0)处的切空间是由过SS中的所有参数曲线σσ(x0,y0)(x0,y0)处的切向量构成.TS(x0,y0)={σ(0)|δ>0,σ:[δ,δ]S,σ(0)=(x0,y0)σ0}TS(x0,y0)={σ(0)|δ>0,σ:[δ,δ]S,σ(0)=(x0,y0)σ0}.

W={σ(0)|δ>0,σ:[δ,δ]S,σ(0)=(x0,y0)σ0}.W={σ(0)|δ>0,σ:[δ,δ]S,σ(0)=(x0,y0)σ0}.

  • 证明TS(x0,y0)WTS(x0,y0)W.

     x0˚E,hRm,δt[δ,δ],x0+thEσ(t)=(x0+th,f(x0,+th))Sσ(0)=(x0,y0)σ(0)(h,ddtf(x0+th)|t=0)=(h,Df(x0)h)TS(x0,y0).TS(x0,y0)W.  x0˚E,hRm,δt[δ,δ],x0+thEσ(t)=(x0+th,f(x0,+th))Sσ(0)=(x0,y0)σ(0)(h,ddtf(x0+th)|t=0)=(h,Df(x0)h)TS(x0,y0).TS(x0,y0)W. 

  • 证明WTS(x0,y0)WTS(x0,y0).

     σ:[δ,δ]Sσ(0)=(x0,y0)σ(t)=(σx(t),σy(t))S,σy(t)=f(σx(t))σ(0)=(ddtσx(t)|t=0,ddt(fσx)(t)|t=0)=(σx(0),Df(σx(0))σx(0))TS(x0,y0).WTS(x0,y0).  σ:[δ,δ]Sσ(0)=(x0,y0)σ(t)=(σx(t),σy(t))S,σy(t)=f(σx(t))σ(0)=(ddtσx(t)|t=0,ddt(fσx)(t)|t=0)=(σx(0),Df(σx(0))σx(0))TS(x0,y0).WTS(x0,y0). 


RmRm上一般曲面SSPP点的切空间

σ:[δ,δ]Sσ:[δ,δ]S满足σ(0)=Pσ(0)=Pσ(0)σ(0)称为曲面SSPP的一个切向量,切向量的全体称为SSPP处的切空间.即TSP:={σ(0)|δ>0,σ:[δ,δ]Sσ(0)=Pσ0}TSP:={σ(0)|δ>0,σ:[δ,δ]Sσ(0)=Pσ0}.

而且有

Df(x0):TEx0Tf(E)f(x0)hDf(x0)

即,Df(x0)Ex0处的切空间映射到f(E)f(x0)处的切空间.因此Df(x0)也被称作切映射.


微分的计算

偏导数

f:ERmRn,x˚E,则1im,δ>0,xi[xiδ,xi+δ],(x1,x2,,xi,c,xm)E,若f(x1,x2,,xi,c,xm)xi处可导,称ddxif(x1,x2,,xi,c,xm)|xi=xif(x)x处关于xi的一阶偏导数,记为xif(x),xi也称为偏导数算子.也记为xif(x),Dif(x),fxi(x).

不难看出xif(x)存在f(x+tei)t=0处可导.


数值函数微分的计算

  • ERm,f:ERx˚E处可微,则1im,xif(x)存在且Df(x)=(x1f(x),x2f(x),,xmf(x)).

  • (梯度的定义)f:ERmRx处可微,则称f(x)=(Df(x))Tf的梯度(列向量).

    此时,若记S={(x,f(x))Rm+1|xE}.则S在点(x0,y0=f(x0))处的切平面P(x0,y0)={(x,y)|yy0=f(x0)(xx0)}.即P(x0,y0)的法向量为(f(x0)1).


向量值函数微分的计算

有向量值函数f:RmRn,f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)).

  • (Jacobi矩阵的定义)假设f的所有分量在xE处有所有一阶偏导数,则称

    Jf(x):=(ai,j=fixj(x))n×m=(Df1Df2Dfn)=(f1x1(x)f1x2(x)f1xm(x)f2x1(x)f2x2(x)f2xm(x)fmx1(x)fmx2(x)fmxm(x))

    fx处的Jacobi矩阵(或Jacobi).

  • f:ERmRn,f=(f1,f2,,fn),x˚E,则

    • fx处可微1jn,fjx处可微.
    • fx处可微,则Df(x)=Jf(x).
  • f:ERmRn,f=(f1,f2,,fn),x˚E,若fx处可微,则有fx处连续.


偏导数与可微性

  • 可微性可以推出偏导数存在,但偏导数存在不能推出可微.一个例子是

    f(x,y)={0xy=01xy0

    xf(0,0)yf(0,0)都存在,但f(0,0)处不连续.

    切平面存在和m个切向量存在有本质不同.

  • f:RmRn,f=(f1,f2,fn),x˚E.

    • (偏导数有界连续)δ>0满足B(x,δ)E1in,1jm,supxB(x,δ)|fixj(x)|M<+,则fx处连续.即f的每个偏导数都在以x附近有界,fx处连续.
    • (Jacobi连续可微)δ>0满足B(x,δ)EJf(x)B(x,δ)上存在且在x处连续,则fx处可微.(Jf(x)x处连续指xx||Jf(x)Jf(x)||0).

C1函数类

f:ERmRn,1in,1jm,fixjC(E;R))则称fC1(E;Rn).

C1(E;Rn)={f:ERn|Jf(x)C(E,Mn,m)}.

ERm上开集,则fC1(E;Rn)fE上可微且Jf(x)E上连续.


微分法的基本定律

线性算子

T:(X,+,,F)(Y,+,,F)满足

  • T(x+y)=Tx+Ty,x,yX
  • xX,aF,T(ax)=aTx

则称TXY的线性算子.


微分与四则运算

f:ERmRn1,g:ERmRn2均在x˚E处可微,则

  • n1=n2时,D(αf+βg)(x)=αDf(x)+βDg(x).
  • n2=1时,D(fg)(x)=Dfg(x)+fDg(x),若g(x)0,则D(fg)(x)=DfgfDgg2(x).

总的来说和R上的函数类似,注意矩阵运算规则即可.


复合映射的微分法

f:XRmYRn在点x˚X处可微,f(x)˚Y,g:YRky=f(x)处可微,则gf:XRkx处可微且

D(gf)(x)=Dg(y)Df(x)=(Dg)(f(x))Df(x)

由此我们得知

  • g(y)=(g1(y),g2(y),,gk(y))T,y=f(x)=(f1(x),f2(x),,fn(x))T.则

    xj(gif)(x)=nl=1ylgi(y)xjfl(x)

  • (数值函数的复合求导公式)f:XRmRn,g:YR,x˚X,f(x)˚Y

    D(gf)(x)=(x1(gf)(x),x2(gf)(x),,xm(gf)(x))xi(gf)(x)=nl=1ylg(y)xifl(x)|y=f(x)

  • ERm是开集,f:ERn处处可微,σ:IE处处可微(其中I是一个区间),则(fσ):IRn处处可微,且

    (fσ)(t)=Df(σ(t))σ(t),tI


微分中值不等式

欧式空间中的线段

x,yRm,定义[x,y]=[y,x]={tx+(1t)y|t[0,1]},(x,y)=(y,x)={tx+(1t)y|t(0,1)}Rm中以xy为端点的闭线段与开线段.特别地,x=y[x,y]=x.


微分中值不等式

f:ERmRn,x,yRm满足[x,y]E,(x,y)˚E.f[x,y]上连续且在(x,y)上处处可微,则ξ(x,y)满足

|f(x)f(y)|||D(ξ)|||xy|.

其中||||是矩阵的算子范数.

由此有推论:

  • ΩRm是区域(连通开集),f:ΩRnΩ上处处可微,若xΩ,Df(x)=0,则f(x)C.

方向导数与梯度

方向导数

x0Rm,f:B(x0,δ)R,给定非零向量vRm则若

Dvf(x0):=limt0f(x0+tv)f(x0)t

存在且有限,则称Dvf(x0)fx0处沿着方向v的导数,当|v|=1时,称Dv(x)fx0处沿方向v的方向导数.

显然偏导数是方向导数,且方向导数存在并不能说明f可微.

如果令σ(t)=x0+tv,则有Dv(x0)=ddt(fσ)|t=0.

由复合求导的公式,若fx0处可微,有Dv(x0)=Df(σ(0))σ(0)=Df(x0)v.因此

Dv(x0)=Df(x0)v=(v,f(x0))=(v)f(x0)=mi=1vixif(x0)

f沿着正梯度方向(v=f(x0)|f(x0)|)上升最快,负梯度方向(v=f(x0)|f(x0)|)下降最快.


多元数值函数的微分学

中值定理

f:ERmR,[x,y]E,(x,y)˚E.f[x,y]上连续且在(x,y)上可微,而θ(0,1)满足

f(y)f(x)=D(ξ)(yx)=f(ξ)(yx),ξ=θx+(1θ)y.

或者

f(y)f(x)10f(x+t(yx))(yx)dt

有推论:设ΩRm是区域(连通开集),f:ΩRΩ上处处可微,若xΩ,f(x)=0,则f(x)C.


高阶偏导数

(下面记Di=xi)

  • (定义):ΩRm上的开集,f:ΩR的一阶偏导数Dif(x)存在,若xDif(x)x0Ω处有一阶偏导数xj(Dif),则记

    DjDif(x0):=2xjxif(x0):=xj(xif(x0))

    fx0处的一个二阶偏导数.若所有二阶偏导数在Ω上处处存在,则称fΩ内的一个二阶偏导函数.

  • 更一般地,称

    DinDin1Di1f(x0):=nxinxin1xi1f(x0)=xinxin1xi1f(x0)

    fx0处的一个n阶偏导数.


偏导数的换序问题

  • (Ck函数类):若ΩRm上的开集,则

    Ck(Ω;R)={f:ΩR|fkΩ}

    那么显然有:

    • C(Ω;R)C1(Ω;R)Ck(Ω;R)Ck+1(Ω;R)
    • C:=kNCk(Ω;R)
  • (偏导数算子):若α=(α1,α2,,αm)Nm(并记|α|=mj=1αj),则称

    Dα:=α1x1α2x2αmxm=(x1)α1(x2)α2(xm)αm

    是一个α阶的偏导数算子.特别地,约定当αi=0时有αixi=0xi:=Id(恒等算子).

  • m2,ΩRm上的开集,fCr(Ω;R).则2kr,fk阶偏导数kx1x2xmf(x)不依赖于偏导数的顺序,即x1,x2xm可交换次序.

  • (单次式的偏导数计算公式):设α=(α1,α2,,αm),β=(β1,β2,,βm),α,βNm.定义

    |α|=mj=1αjαβ=αβ11αβ22αβmmβ!=β1!β2!βm!

    由组合意义,可以发现

    (mi=1αi)n=|β|=nn!β!αβ

    该结论可以延伸至交换环A上(A是具有乘法运算的线性空间,且加法乘法满足交换律,结合律和对应的分配律).

    对于Rm上的开集ΩfCk(Ω;R),1nk,h=(h1,h2,,hm),t[0,1]

    • (mi=1hiDi)n(c1f+c2g)=|α|=nn!α!hαDα(c1f+c2g)

    dndtn(f(x0+th))=(mi=1hixi)nf(x0+th)=|α|=nn!α!hα(Dαf)(x0+th)

    同时有单次式的偏导数计算公式:

    Dβxα={α!(αβ)!xαβαβNm0αβNm


多变量函数的Taylor公式

ΩRm上的开集,nN,fCn+1(Ω;R),x0Ω.xΩ,[x0,x]Ω

  • (具有Lagrange型余项的Taylor公式)

    f(x)=nk=0|α|=kDαf(x0)α!(xx0)α+|α|=n+1Dαf(ξ)α!(xx0)α

    其中ξ(x0,x).nk=0|α|=kDαf(x0)α!(xx0)α称为Taylor多项式.

  • (具有积分型余项的Taylor公式)

    f(x)=nk=0|α|=kDαf(x0)α!(xx0)α+(n+1)|α|=n+1(xx0)αα!10(1t)n(Dαf)(x0+t(xx0))dt.

  • (具有o(|xx0|n)型余项的Taylor公式)

    f(x)=nk=0|α|=kDαf(x0)α!(xx0)α+o(|xx0|n)

联系一元函数进行记忆:

φ(x)=ni=0φ(i)(x0)i!(xx0)i+φ(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1,ξ=tx0+(1t)x,t(0,1)φ(x)=ni=0φ(i)(x0)i!(xx0)i+1n!xx0(xt)nφ(n+1)(t)dtφ(x)=ni=0φ(i)(x0)i!(xx0)i+o(|xx0|n)

  • (Taylor公式的唯一性)

Hessian矩阵

Hf(x):=(2fxixj)m×m=(f)(x)

fx处的Hessian矩阵.


Hessian矩阵与二阶Taylor公式

ΩRm上的开集,fC2(Ω;R).x0Ω,则xΩ,[x0,x]Ω

f(x)=f(x0)+(f(x0),xx0)+12(xx0)THf(ξ)xx0,ξ(x0,x)f(x)=f(x0)+(f(x0),xx0)+10(1t)(xx0)THf(x0+t(xx0))(xx0)dtf(x)=f(x0)+(f(x0),xx0)+12(xx0)THf(x0)xx0+o(|xx0|2)


函数的极值问题

局部极值的定义

f:ERmR,x0˚E.若δ>0,B(x0,δ)E满足xB(x0,δ),f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)).则称x0f的一个局部极小值点(或局部极大值点).f(x0)称为f的一个局部极小值(或局部极大值).

将以上替换为<,替换为>,则得到严格局部极小(大)值的定义.

可以类似定义整体最小(大)值,即f(x0)=minxEf(x)(或f(x0)=maxxEf(x)).


临界点的定义

f:ERmRn,x0˚E,若fx0处可微且r(Df(x0))<min(n,m),则称x0f的一个临界点,并称f(x0)f的一个临界值.

特别地,当n=1f为数值函数时,r(Df(x0))<1fx1(x0)=fx2(x0)==fxm(x0).


Fermat极值原理

f:ERmR,x0˚E,fx0处可微.x0f的局部极值点,则x0f的临界点.

局部极值只能在临界点取到.


Rolle定理

ΩRm上的有界开集,f:¯ΩR连续且在Ω内可微.若f|ΩC,则ξΩ,f(ξ)=0.

由Rolle定理和Fermat极值原理,可以得出:

maxx¯Ωf(x)=max{f(x)|xΩf(x)=0,xΩ}minx¯Ωf(x)=min{f(x)|xΩf(x)=0,xΩ}


Hessian矩阵判别

ΩRm上开集,fC2(Ω;R),设x0Ωf的一个临界点,即f(x0)=0.则:

  • Hf(x0)正定,则x0f的一个严格局部极小值点.

  • Hf(x0)负定,则x0f的一个严格局部极大值点.

  • x0f的一个局部极小值点,则Hf(x0)半正定.

  • x0f的一个局部极大值点,则Hf(x0)半负定.

  • Hf(x0)不定,则x0不是f的极值点.

    临界点不一定是极值点,例如:

    f(x,y)=x2y2

    这个函数的形状类似马鞍面.不难发现(0,0)f的临界点但不是极值点.

    称不是极值点的临界点为f的"鞍点".


凸函数与凹函数的微分性质

凸函数的可微性

ΩRm是凸开集,f:ΩR是凸函数,则

  • xΩ,fx处可微!V(x)满足yΩf(y)f(x)+(V(x),yx).即支撑平面唯一.此时V(x)=f(x).

  • fC2(Ω;R),则f是凸函数xΩ,Hf(x)半正定.

    可以发现对于一般凸函数f:ΩRx0˚Ωx0是临界点x0是整体最小值点.


凸函数的方向导数

定义

D+vf(x):=limt0+f(x+tv)f(x)tDvf(x):=limt0f(x+tv)f(x)t

ΩRm上的凸开集,f:ΩR是凸函数,B(x,δ)Ω.则

  • vRm,D+vf(x)存在.

  • D+avf(x)=aD+vf(x),a>0D+av+buf(x)aD+vf(x)+bD+uf(x),a,b>0,a+b=1.

  • |D+vf(x)|L|v||D+vf(x)D+uf(x)|L|vu|.

    其中LfB(x,δ)上的Lipschitz连续系数.(凸函数在局部Lipschitz连续)

  • hB(0,δ),f(x+h)f(x)D+hf(x)=o(h).

Lipschitz函数f有全部偏导数f可微.(不依赖凸性)


隐函数和反函数定理

隐函数问题

假设F(x0,y0)=0,x0Rm,y0Rn.求B(x0,δx)(或B(y0,δy))及其上的函数y=f(x)(或x=g(y)).满足F(x,f(x))=0(或(g(y),y)=0).

考虑最简单的情形.

Bx+Ay=b,A,BMm(R),x,yRm

detA0,则有y=A1(bBx)(detB0同理).

r(A)<m时方程有多解或方程无解.不难发现F(x0,y0)=0排除了方程无解的情况.


Ck(Ω;Mn,l)函数类

ΩRm上的开集,A:xΩA(x)=(aij(x))n×lMn,l.称ACk(Ω;Mn,l)如果xΩ,1in,1jl,aij(x)Ck(Ω,R).

A的每个分量在Ω上都是Ck函数.


压缩映射的不动函数

URm,VRn均为开集,Φ=(Φ1,Φ2,,Φn)T:UׯVRn满足

  • Φ(UׯV)V
  • 0<q<1,xU,y,z¯V,|Φ(x,y)Φ(x,z)|q|yz|.(称Φ¯V上是一致压缩的)

那么有

  • xU,!yV,Φ(x,y)=y.(由此引入f:UV,f(x)y,xU).

  • ΦC(UׯV;V),则fC(U;V).

  • ΦC(UׯV;V),则fC(U;V).

  • 1k+,若ΦCk(UׯV;V),则fCk(U;V).且(IDyΦ)U×V上处处可逆,并有

    Df(x)=(I(DyΦ)(x,y))1DxΦ(x,y)|yf(x)


局部隐函数定理

ΩRm+n,FCk(Ω;Rn).假设p0Ω满足

  • F(p0)=0
  • r((DF)(p0))=n.(即(DF)(p0)Mn,n+m行满秩)

δ>0,η>0满足¯B(x0;δ)ׯB(y0,η)Ω

  • (x,y)¯B(x0;δ)ׯB(y0,η),det(DyF)(x,y)0

  • xB(x0,δ),!yB(y0,η)满足F(x,y)=0.由此,记f:B(x0,δ)B(y0,η),f(x)=yF(x,f(x))=0,xB(x0,δ)f(x0)=y0

    此时称f是方程F(x,y)=0(x0,y0)附近确定的满足f(x0)=y0的隐函数.

  • fCk(B(x0,δ),B(y0,η))Df(x)=(DyF(x,y))1(DxF)(x,y)|y=f(x)=(DyF)(x,f(x))1(DxF)(x,f(x)),xB(x0,δ).


反函数定理及应用

定义

同胚

ARn,BRm,若f:AB是连续双射,即fC(A;B),f1C(B;A).则称f:AB是一个同胚映射,若AB之间存在一个同胚映射,那么AB是同胚的.

微分同胚

U,VRm上的开集,f:UV是同胚映射.若ff1都是可微函数,则称f:UV是一个微分同胚.进一步,若fCk(U;V),f1Ck(V;U),则称f是一个Ck类微分同胚(k=+时是光滑微分同胚).此时UVCk类微分同胚.

开映射

ΩRm上的开集,若fΩ中的开集映射到Rm中的开集,则称f是一个开映射.

区域

GRm为一个区域,如果G是连通开集.

邻域

U(x0)x0的一个邻域,如果δ>0满足B(x0,δ)U(x0).由于开集可以写成互不相交的联通分支的并,不妨假定U(x0)是一个区域.


可微映射的开映射定理

ΩRm上的开集,f:ΩRm可微且xΩ,det(Df(x))0,则f是开映射.

上面的条件xΩ,det(Df(x))0不是必备的,事实上有:

Brouwer区域不动定理

ΩRm上的开集,f:ΩRm连续且局部是一一映射,那么f是开映射.

事实上由之后的反函数定理,det(Df(x0))0x0附近f是一一映射.


反函数的可微性与微分法

ΩRm上的开集,f:ΩRm是单射且可微,满足xΩ,det(Df(x))0,则f(Ω)是开集并且

D(f1)(y)=(Df(x))1|x=f1(y),yf(Ω)

Jf1(y)=(Jf(x))1|x=f1(y),yf(Ω)


局部反函数定理

ΩRm上的开集,fCk(Ω;Rm),1k+.x0Ω满足(Df)(x0)可逆,即det(Df(x0))0,则存在x0的邻域U(x0)Ωf(x0)的邻域V(f(x0))f(Ω).使得f:UVCk类微分同胚.此外

D(f1)(y)=(Df(x))1|x=f1(y),yV


整体反函数定理

ΩRm上的开集,fCk(Ω;Rm),k1.若f满足

  • fΩ上的单射
  • xΩ,det(Df(x))0

f:Ωf(Ω)Ck类微分同胚且

D(f1)(y)=(Df(x))1|x=f1(y),yf(Ω)


反函数定理的应用

球极坐标(球面坐标)

x=(x1,x2xm)=Ψ(r,θ1,θ2θm1),其中m2,r0,1i<m1,θi[0,π],θm1[0,2π].

具体的定义为:

{x1=rsinθ1sinθ2sinθm1x2=rsinθ1sinθ2cosθm1x3=rsinθ1sinθ2cosθm2xm1=rsinθ1cosθ2xm=rcosθ1

有:

  • m=2时,(x,y)=Ψ(r,θ),Ψ[0,+)×[0,2π)上是满射,在(0,+)×(0,2π)上是单射,且

    (x,y)(r,θ)=r

  • m=3时,Ψ[0,+)×[0,π]×[0,2π]上是满射,在(0,+)×(0,π)×(0,2π)上是单射,且

    (x,y,z)(r,θ1,θ2)=r2sinθ1

  • m4时,Ψ[0,+)×[0,π]m2×[0,2π]上是满射,在(0,+)×(0,π)m2×(0,2π)上是单射,且

    (x1,x2xm)(r,θ1,θ2θm1)=rm1sinm2θ1sinm3θ2sinθm2


同胚映射

  • Rm中任意m维开空间和RmC同胚
  • Rm中任意m维开球和RmC同胚

利用同胚确定曲面的维数

P0=(x,y)Rk×Rnk(1k<n).记I(x):=ki=1(xIδ,xiδ),J(y):=nkj=1(yjδ,yj+δ)y=f(x).

考虑曲面S(P0)={(x,f(x))|xI(x)}

φ:U(P0)(:=I(x)×J(y))(1,1)nCk类同胚.满足:

  • φ(P0)=0
  • φ(S(P0))=(1,1)k×{0}

局部展平技术

f:ΩRmRn,函数图像S(f)={(x,f(x))|xΩ},有:

ψ:(xy)(xyf(x))ψ(S(f))={(x,0)|xΩ}

fCk(Ω;Rn),ψCk类微分同胚.


映射的秩与函数相关性

秩定理

考虑f:RmRn,PMn,QMm是置换矩阵.
若定义ˆf(x):=(PfQ)(x)
f(x)=(P1ˆfQ1)(x)
如有必要,可以对x的分量与f的分量进行置换.

P0Rm,U(P0)P0的一个邻域.设fCk(U(P0);Rn),k1满足pU(P0),rank(Df(p))r.
则有:

  • r=m<n(即列满秩).存在P0的一个邻域O(P0),O(P0)U(P0)以及m维的开空间I,且存在Ck同胚φ:O(P0)I.同时存在f(P0)的一个邻域O(f(P0))Rn以及其上的Ck同胚ψ:O(f(P0))ψ(O(f(P0)))Rn.满足f(O(P0))O(f(P0))且:

    ψfφ1(u)(u0)Rn,uI

  • r=n<m(即行满秩).存在P0的一个邻域O(P0),O(P0)U(P0),以f(P0)为中心的n维开空间I,mn维开空间J以及Ck同胚φ:O(P0)I×J.满足:

    fφ1(uv)u,(u,v)I×J

  • r<min(m,n).存在P0的一个邻域O(P0),O(P0)U(P0),r维开空间I,mr维开空间J,Ck同胚φ:O(P0)I×J以及f(P0)的一个邻域O(f(P0))RnCk同胚ψ:O(f(P0))ψ(O(f(P0)))Rn.满足f(O(P0))O(f(P0))且:

    ψfφ1(uv)(u0)Rn,(u,v)I×J


函数相关性与独立性

定义

URm上的开集,有函数组f1,f2fnC(U;R).记f=(f1,f2fn).称函数组f1,f2fnU(x0)上是函数独立的,如果

FC(Rn,Rl)(lN),(Ff)(x)0,xU(x0)O(f(x0))Rl,F|O(f(x0)0.

否则,称f1,f2fnU(x0)上是函数相关.

函数相关性的定理

TBC

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