一些对数学领域及数学研究的个人看法（转载自博士论坛wcboy）

转自：http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=14819&extra=&page=1

原作者: wcboy

现在的论坛质量比以前差了，大部分都是来解题问答的，而且层次较低。以前论坛中，Qullien很令人印象深刻，但愿他能在国外闯出一片天空。现在
基础数学版代数&数论子版中那几个讨论代数几何的还不错。不期望目前论坛出现很多高层次高手，高层次高手应该站在好课题上高观点讨论数学，出
现这样的网友，看他们的言论非常过瘾。
以研究为目的的数学人，必须心中要有至少一个很棒的问题在手，而不是一味地读太多的书和深究一些价值不大的概念细节。

下面发一下自己对数学的人与事的个人看法。

怎样看待数学？不同的人看待数学的方式不同。如果想在数学上有所作为，必须理解数学的全局。但是数学内容如此众多，想全部细节都了解那是不可
能的。目前数学深深地烙上格洛腾迪克印记，一个数学研究人员完全不了解现代代数几何内容是不可思议的。在数学观上，普通人，普通数学人，普通
数学研究人，一般数学家，一流数学家，数学巨匠，他们的差别是巨大的。不同的数学观完全决定研究的起点和深度的巨大差异。
数学发展经历了古代初等数学、近代实用化数学，近现代公理化数学和目前的结构化数学。尽管数学风格的变迁，使看待数学的视野被极大拓宽和自由
，但数学的基本本质仍是不变。数学的基本本质就是几何结构和代数结构的延续和互相渗透。
为什么一个有理想的数学研究者必须尽可能地了解数学的最新进展（懂英语的重要性，看英语原著比中译本更易懂）,那是因为唯有如此,你才能了解目
前数学有哪些新的几何结构和代数结构出现，重要性如何。如果你没有跟踪最新进展，要么你在重复别人的研究，要么你根本没有数学研究能力并且根
本不理解数学在玩民科。追踪数学进展，并非要完全理解它的所有细节，其目的在于得到一个数学全局概观和下一步研究及学习路线。
就算你学完了某些（或即使所有（这没人可以做到））数学分支课本，那也只是变成一个普通的数学人，还没有进行研究的真正实力。只有当课本的内
容转化为自己的知识时，你才能理解数学家的研究，进而获得一些基本研究能力，但要到一般数学家研究能力，你必须具有一定的数学全局观，理解一
流数学家和数学巨匠的重要方法，并老老实实在他们限定的框架内解决一些必须克服的难题。而一流的数学家则必须完全理解数学巨匠的方法的优点和
局限性，并提出自己的不同方法而克服或缩小数学巨匠的方法的局限性，并引领时代潮流，驾驭数学朝数学巨匠指点的高端行进。
数学巨匠，完全不同于一流数学大师，他们不是引领数学主流而是反潮流的，一旦成功，则改变数学研究的风向，影响巨大而深远，为历史的里程碑。
一个人的数学天赋结构（天赋的高低、品种和快慢）决定了他的研究能力、方向和风格，比如一个人解题速度很慢，不意味天赋低，只是以放松的风格
来思考问题。尽管很多数学家说他们靠勤奋而成功，事实上他们的勤奋是建立在天赋之上才获得成功的。如果抽取天赋，即使再努力也不会成功。有的
数学家代数或数字天赋强大，如伽罗华，阿贝尔，拉马努扬，高斯，托伦斯陶，有的几何洞察力深远，如黎曼、高斯、庞加莱和瑟斯顿。没有数学天赋
的人，最好不要搞数学研究，否则成民科。天赋低的人数学竞争力弱，数学前途渺茫。为什么天赋重要，因为一个人不可能在懂所有数学专题细节后才
开始进行研究，在绝大部分情况下，是边研究边学习，这需要天赋自动引导研究路线和判断研究对象和方法的价值。进入一个全新的内容完全取决天赋
。大多数数学系的人的天赋都达不到研究级别。
一个人不懂stack、topos、etal cohomology、Godel不完全双 定理不要紧，带着自己的天赋和天赋积累的例子去看，天赋的高低决定懂的程度。最怕
的是不知道这些概念和构造的存在，因为在研究的阶段，你很可能会用上，至少可以让你学会以较高的数学观点看自己的课题。
非常同意Alain Connes的话：在我看来，关于数学首先要知道，我们无法通过学习变为数学家，而是通过做数学才能称为数学家（我加一句，必须有天
赋和基本基础的人）。
看万卷书破万个题的学习方式不是普适的，并且我认为是多为迂腐人所为，数学研究的起始只需要你的知识足够对付你所选课题的首期即可，后期必须
在天赋的引导下进行研究式学习来补充不足，天赋的最主要作用在于最后产生新想法、技巧或构造去攻克课题。
搞研究的人必须要先选合适自己天赋的课题，不能等到大部分基础打好后才选。有课题在手，使你容易选方向深入，在辨别中深入理解所需数学内容，
普通学习达不到这种效果，因为在思考课题时，有些内容可能比课本更深入了，变成自己的东西，课本学习就变得容易。选课题也是有天赋的。
数学研究的目的是什么？是解题。为什么不是乐趣和学习？一般的乐趣和学习是低层次行为，不属于研究目的。解题的关键是什么？是做出一个数学构
造。这个构造可以是一个例子的构造（构造一个例子去完成一个否定或辅助支持论断，比如构造一个具体的同调群结构（解决一个拓扑分类问题）或一
个特殊n体系统（解决天体力学中n体问题）），也可以是一般构造（比如椭圆函数和模形式的对应构造、亏格），还可以是基本构造（比如黎曼面、庞
加莱的拓扑同调及同伦技术、汉密尔顿四元数构造）去开始一门学科分支。解题的乐趣是研究数学最大的享受。
非常同意Weil的话：要想掌握高深的知识，唯一的途径是阅读大师本人的著作。Abel也如此认为。
只有读大师的书，他们才告诉你数学的真相和他们方法的原始构思和起源。大师的数学思想的价值是非大师不能比的，而且从大师的论文中，你还可能
读懂别人没读懂的隐藏思想。很明显，大师论文会明显或隐晦地回避他的方法的某些缺陷，这不是每个人都能读准的，有的被后人发现，有的没有，有
的还被误读。比如在看代数几何以前，先读一下Dieudonne关于代数几何的发展史及关于数学结构分类的文章和书是非常有益的，这有助于消除对高度
抽象的恐惧感和直接进入高度抽象后的抽象迷失症（不知道抽象的目的后的盲目抽象）。

尽管数学越来越抽象而高深，但是一个正常的数学研究者必须明白一个真相，数学的基本结构才是数学的核心，基本结构才是数学结构抽象赖以生存的
基础。基本结构分几何和代数两部分。
现有的代数基本计算构造包括实数、复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数、模代数（mod(n)），包含所有基本运算及置换运算。
几何基本结构包括解析几何结构和拓扑结构。所有数或函数域扩张是基本结构或混合结构的子部分或模拟。复数与实数结构有一个很大差别，数分解的
唯一性和非唯一性，这直接通向环的理想结构，方程解的性质分析直接导致用矩阵结构处理不同群的计算，模代数导致循环群和环的概念扩张（周期封
闭运算）。矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数中非交换或非结合的主导地位。无穷结构（康托尔连续统）对代数结构的限制，导致连
续计算结构和离散计算结构的差异。
任何代数结构都必须用来处理几何结构，否则没有意义。代数是工具，几何是灵魂。正是复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数在
出现时没有对应的几何应用才导致争议或被忽视。几何结构用代数构造来处理才能到达深刻。
所有方程都是函数，函数基本可以和方程等价看待，如果在不违反康托尔连续统结构条件下。数论方程是离散几何形，分析方程是连续几何形。
基本计算构造中的一些基本计算形式必须被了解，比如分析中的泰勒形式，傅立叶级数，外微分形式，柯西复公式，调和级数。复数中的欧拉公式，复
函数的自然级数ｅ表示公式。
一些基本的思想，比如函数点化的函数（参数化）向量空间（甚至更抽象的等价类的moduli空间（概型））思想（一个高维图形或等价类可以看成抽象
空间的一个点），比如函数的（系数或系数加部分变量）形成坐标（环域）和变量形成的向量基，基本的如整多项式和劳伦斯多项式，系数和变量可以
不是实或复域，可以是矩阵或其他计算结构或混合结构。

格洛腾迪克的结构数学和希尔伯特的公理化数学看似相同，实则不同。公理化重在处理逻辑，而结构化重在处理构造。所以结构数学的计算技术得到强
化。在数学中，个人以为构造比逻辑重要和有效得多。
抽象代数最有价值部分是群的计算，尤其有限单群，其次环域分解，即什么样扩张域能使某个特定环的分解变成唯一的。代数几何的最好部分就是上同
调群的构造和计算。个人认为格氏代数几何虽然应用于拓扑和数论，但还是其数论的效用显著，几乎是为现代数论定身制作的。尽管同调群计算可以应
用于拓扑，但对拓扑的深层次问题的解决帮助不大，主要是庞加莱的同调和同伦技术不能处理这些深层问题，对此庞加莱本人十分清楚。

当对比前辈时，当代数学家的影响和地位一般都会被当代数学人拔高。历史长河将会自动降低大多数人的影响力。所以你必须对数学家的成就给予较合
理的评价，这样才能合理地理解数学思想和构造。一个盲从的人，其研究能力将被降低。就个人观点而言，能在庞加莱和希尔伯特后称为数学巨匠而无
争议的人只有格洛腾迪克。格洛腾迪克第一次真正地总结了所有现存的代数与几何结构，实现了纵横联合。但不应过分拔高其影响。个人认为他还是不
具备黎曼、庞加莱、伽罗华、高斯、阿贝尔、希尔伯特的影响，因为他们交给我们一些基本计算构造，而格洛腾迪克只是综合别人的构造。
几何的洞察力比代数天赋更宝贵，格洛腾迪克的几何洞察力比较弱，其代数几何更像是为从事数论的人打造的，适合算术几何化分析。这点可以从他的
拓扑比较弱，抽象代数比较强可以看出，尽管他最初从研究拓扑起家。他的代数几何继承了经典抽象代数构造和拓扑技术构造，尤其同调技术（庞加莱
的拓扑同调看来比希尔伯特的多项式同调更加深刻）。拓扑结构，格洛腾迪克的东西是罩不住的。康托尔连续统结构，格洛腾迪克的东西是罩不住的，
但格洛腾迪克试图用（拓扑斯和范畴）罩住它，这很不现实。
康托尔连续统是整个无穷构造绝对核心。康托尔连续统的构造并非完美，哥德尔只是从逻辑层面而不是从计算构造层面解决康托尔无穷结构。任何对康
托尔连续统结构的调整必将引起数学面貌的重大变化。如果从代数方面简单地处理康托尔连续统，就算以后被证明是对的，目前也是很难被认同的，就
如格拉斯曼、汉密尔顿的境遇，康托尔本人当时境遇很惨。约翰康威在康托尔连续统上做了一些探索，但那只是游戏而已，非标准分析就只是一个拙劣
的模仿产物。代数基本计算结构的新出现（发明），必须反应在几何结构重大自然发现中。格拉斯曼代数在多变量微积分张量结构中，汉密尔顿代数在
麦克斯韦方程中的应用，才使这些构造有意义。本人认为康托尔连续统构造不是令人满意的。
当前格洛腾迪克的东西被人过分拔高了。它的局限性是很明显的，它更像一个数学的抽象合纵，不能用作提供解决一些关键数学结构的代数构造武器，
尽管以后新构造会符合抽象代数的某些要求。现代几何尤其拓扑仍然笼罩在黎曼和庞加莱的影响下。
当代最有几何洞察力的人是瑟斯顿，但他那一套解决拓扑结构的方案不能令人满意。拓扑结构目前是最有研究价值的数学方向，但拓扑的研究现状令人
失望，完全没有突破黎曼和庞加莱的阴影。庞加莱本人完全清楚他主要拓扑构造技术的局限性。一般（点集）拓扑学纯粹是从概念上附和康托尔连续统
结构而创制的，没有多大意思。微分拓扑与点集拓扑和微分几何联系太紧，体现不出拓扑的基本思想，只有代数拓扑是希望所在，但现状（基于同调和
同伦计算技术）完全令人失望。拓扑结构和康托尔连续统间关联有很多不清楚的地方。

想要进入高端数学研究，必须学会鉴赏主要数学家方案的优劣（就如每个建筑师做自己的方案一样，会有不同效果），而不是全盘学习并完全陷入他们
的方案，而是要随时设想自己的方案与其比较。因为数学文献是海量的，即使高斯、庞加莱再世，他们也无法看完。这时研究者只能凭其天赋直觉来挑
选。如果一个方案没用或用处不大，马上抛弃，不要浪费时间去学习。现在没用或意义不大的数学内容太多。即使是数学大师，他们的一些东西也是用
处不大的。
有两种途径进入高端研究领域，在一个自己能深刻理解的数学基本构造基础上，寻找合适的现存顶级难题；其二是自己在思考数学基本构造的基础上，
发现并合理提出新的顶级问题独自为自己拥有（在未决前不公布），正如庞加莱在为解决天体力学的n体问题时所为，庞加莱的拓扑遗产比黎曼要深刻
多了，构造idea和技巧也多。
不是每个世界难题都有基础数学意义。费马大定理就是一个好题目，它见证并参与现代抽象代数结构（尤其环理想）和椭圆曲线模结构的全过程。而哥
德巴赫猜想就不是一个令人满意的难题，四色问题也是如此。庞加莱球面猜想的重要性被高估，尽管有瑞奇流技术，但没有直接产生有效代数拓扑构造
。一个难题的好坏在于研究它的过程中产生较大普适范围的基本构造。

拓扑不变量的观念太深地根植在数学中，已经成为一种负担。目前的拓扑不变量太粗糙，附加条件太多，稍精细的技术太难计算或实际不能计算。使用
不同不变量，使同一个拓扑形与其他不同拓扑形的形成不同拓扑等价类，即两个拓扑形是否等价，取决于不变量技术的选取。
事实上，拓扑形之间有些等价性是相对的，条件变了，等价性也变，有些则很隐晦的。同时，与康托尔结构发生关系，显然造成拓扑结构的复杂性。维
数有关键性作用，高维拓扑不能由低维拓扑直接而简单地推广，高维比低维深刻很多。
阿蒂亚和邱说数学家看见了这些几何形或拓扑形，但就是没有办法。几何洞察力，首先就是看见形的静态或动态特征，尤其对复杂图形和高维图形的想
象力（不要老想着几个简单图形，它们体现不出很多拓扑深入后的细节）,提取几何分解概念和结构，然后利用它们重新代数地构造所有拓扑形。
我并不认为当代这些名家真正看清了这些高维拓扑结构，如果看清了，必然在处理方式上有所反映。显然有一些重要概念没有得到完全理解。一些有效
的拓扑分解概念和要素，被深深隐藏，需要强大的几何洞察力和数学全局观。需要突破的关卡和迷雾众多，而且像一个复杂的关系套，需要连续理解和
挑战。同调和同伦技术不够深刻，不能全面反映所有拓扑形细节，它们不是一个理想的拓扑代数工具。拓扑基本计算构造应该不在目前所有代数基本构
造范围内，需要新的代数计算工具。
数学的直觉往往是以具体而恰当的例子来转换的，恰当例子越多，通过直觉得到的构造被“证明”越“正确”。具体的例子比抽象的定理叙述更有说服
力，更容易理解新构造。当你学习格洛腾迪克那样抽象的数学结构时，手头必须备有很多实例去对照。恰当地掌握了这些例子，也就恰当地掌握了数学
。格洛腾迪克的抽象并非肤浅的抽象比如像非标准分析那种，而是基本结构为实例的深刻抽象。

中国人长于代数计算尤其数论，而短于几何分析，这是从古代流传下的传统，现在这种影响还是十分强大。陈邱二人在华人传统上进行了很大冲击，后
来一些在国外的华人师从他们的道路。
看不惯国人对陈邱二人数学学术影响力和地位的过分拔高。他们二人对数学整体的理解，个人不完全赞同。尤其不喜欢邱（和威腾）对数学和物理关系
的看法。牛顿把自己的名著定为力学的数学原理而不是数学的物理原理是有绝对感觉的。对物理和数学关系的看法，牛顿、庞加莱这些人才会有深刻体
会。目前数学和物理关系正反映了现代数学缺陷，特别量子领域与康托尔连续统和拓扑结构有密切关系。现代理论物理已经沦为数学游戏（一个真正的
物理家应该理论和实验通吃），而邱的数学寄希望通过理论物理来解决，非常不好。物理只提供实例，数学的基本构造必须源于自身。

 

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plp归来

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发表于 2011-1-9 12:00:13 |只看该作者
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确实这个论坛没有以前的质量好，确实也没有个高手，我在本科的时候看过你说的高手们，我没有觉得他们的言论有多好。知识的积累是需要的，水积
之不厚，其负大舟也无力。举个简单的例子，你看一下国内的数学家引用的论文，要么很少，要么引用好多同一个人的论文，你再看看著名的数学家，
他引用的论文很广，涉及领域很多，涉及人数很多。一个说明国内的数学家积累的很少，一个说明他们研究的领域没几个人研究。他们也负不起大舟。
还有为什么要和其他人合作呢？是因为一个人的知识有限，和人们合作，知识的积累成倍增长。
读书为什么要仔细的读，为什么要抓住每个细节不放，一是因为我们在做数学的时候很多时候是研究细小的问题，这样才能保证我们的证明无误。
才能保证我们的idea不是空想，二是因为我们可以看到别人是如何利用定理的，证明不重要，但我们看懂定理证明的同时，我们发现定理可以这样用。
你说的代数几何的结构，我要再说几句，这个抽象结构到底是什么？只看结构主义的哲学论文，根本看不出来。这个结构就是范畴论，和由范畴引发
的同调代数。这就是代数几何最抽象的结构，如果不懂范畴论与同调代数就没法研究代数几何。
我们这些爬楼梯的人虽然没有坐电梯的人快，但是我们掌握了这座楼的大体情况，再在这座楼上建造怎样的房子，爬楼梯的人可能比坐电梯的人更有
发言权。

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plp归来:
像Qullien这样的网友表现出了很高水准，他对代数几何的背景、人物贡献、书籍、各种问题的发展状况作了很个人的看法，没有一定深度是说不出这
些感受的。在国内论坛中还没见过这么强悍的个人评论，不计那些成熟的名家言论。当然这并不代表他对那些内容真的了解很深，但至少全面和个人数
学天赋应该没有问题。当然国内应该出不少致力于代数几何课题的新一代强手，水平不差于他的，很多也在西方国家数学。但很多忙于研究，在论坛露
面散心的不多。
国内数学家确实不行。他们的研究领域为什么不吸引人？因为成果没有吸引力，能力较差，不能辨认数学发展方向，追踪最新数学不力，还有很多人不
是喜欢学术是喜欢权术和财富地位，邱的指责是对的，尽管他想树立他的华人第一的形象。不管邱的动机如何，他有实力树他自己，只是其对田的责难
太过，国内的人出国以后，国内的还毛病应该是有的，不过他在佩尔曼庞加莱问题上的表现不是令人满意。
关于数学合作，仁者见仁吧。对等水平相投的人可合作。个人认为独立研究的结果更深刻。
读书仔细这个问题是个人风格，只要最终能解课题就行。比如同调技术，学到多少才是每个细节不漏，问题是每本书都有不同著者个人喜好细节，肯定
也漏。你说的细节是书的细节而不是同调技术细节，二者不等。在高端课本中，存在很多开放问题，很多技术细节是不成熟的。怎样才能算懂，构造一
个去计算，这容易吗？对名家都是很难的。不管你坐电梯或爬楼梯，最后能出成果才算数，不出成果读多少书都没意义。解题的细节才是数学研究的命
门。
证明无误，对很多长证明来说就很难保证了，就算很多专家也不能保证无误，比如有限单群证明、四色问题，有很多人是怀疑的，不是怀疑定理的正确
性，而是证明的方式和过程的保证。其他人自己不能验证，只能信专家和他们的仔细检查。另外，就是数学本身的严密性，每个时期这个严密性有可能
变化，比如分析领域。
格洛腾迪克的文集那么多又是法文，多少人能全看完？中间就没有不成熟的甚至不合理的（不想用错误这个词，不合理不等于错误）。但他的基本思想
和结构效用应该是没问题的。其最大贡献就是建立了数学语法。
不喜欢范畴这个概念，它的出现出于修补集合论的悖论（个人很反感集合论的选择公理），当然所有东西都可以往里面套，万能胶。其实集合论就够了
，集合论的很多东西不是喜欢，比如皮亚诺自然数公理，纯属多余。映射、态射、变换、对应不就一个意思吗？搞那么多概念，其实（1 to n or x）
或（n or x to 1）变换、双对射变换不就行了。态射图的数学风格我是不喜欢，当然它有一些好处。

我的本意就是有数学天赋的人要尽快进入研究状态，在研究中学习。伽罗华研究他的方程时，我怀疑他是否学过微积分，反正也用不上。阿贝尔没问题
。不知道阿贝尔学过高斯的微分几何了没有。怀疑。

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plp归来

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发表于 2011-1-10 12:19:37 |只看该作者
回复 6# wcboy
我保留我的看法，我们是不一样的人，让时间来说明一切。
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谈一下对课题选择的看法。
选择课题方式是很随意的。比如有的人一上来就选著名开放难题，有的是通过与合作伙伴（比如师生、同学或相头的人）交换看法后选题，有的按所学
专题选题，有的早早选题，有的会在研究生阶段被动选题。有的是人找题，有的是题找人。有的是选别人的题，有的自己造题。
个人对选题的看法是，选题一定要符合自己的天赋类型，一定要是自己感兴趣的或者入题后感兴趣的，选题越早越好，最好是题找人。题找人是最自然
的，往往说明这个课题非常适合自己的天赋和趣向。但是题找人是有一个过程的，不同人的时间不同，幸运的人很可能一下子在20岁以前才发现，晚的
可能要在30岁以后。自己造题比别人出题意味着数学的独立性很高。

中学时认为代数或数论适合自己，是微积分学习改变了轨迹，花一年多时间看微积分，书看完，完全不明白它的核心结构的含义，只记得级数很有意思
。顺着看实分析、泛函，越看越蒙，直到看到康托尔连续统、勒贝格测度和哥德尔不完全定理时，就完全明白了分析实质，同时对数学和学习有了自己
的看法。数学体系不是完美的，严密度是有界限的，每个数学家都有自己的看法，我应该也有自己的看法，我应该了解主要数学家的看法而不仅仅课本
的一家之言。了解大师的看法就是直接读他们的论文，看不懂，没关系，去翻书在回过来看。在这个过程中，发现大师的看法、层次、类型、视野和难
度差异很大，有的喜欢有的不是自己一路的，觉得数学分支的划分是人为的，数学的进步是围绕问题解决的，对数学家及其方案要有自己的评价。任何
数学抽象必须基于底层最基本的东西。
其实微积分最实用的核心就是无穷级数的计算，数学分析的基底就是康托尔连续统，只有计算级数收敛或发散速度时，只有看到康托尔集和门格海绵、
希尔伯特空间这些构造时，才真的感受到连续统的存在和优美，但哥德尔让人看到它的缺陷，也让我感到不安。所以连续统构造一直在心中占据。这也
让我对抽象数学有所反感，我花大量时间去看数理逻辑和晦涩非标准分析，了解希尔伯特的公理化，结果令人失望，没有任何实际意义的数学结果，是
一些花架子，得出自己一条很深的教训，千万不要让哲学分析进入数学（很多民科（甚至某些数学研究者）以哲学和幼稚的方式解连续统问题和讨论选
择公理（业余数学研究者和民科是有区别的，很多业余和本科非数学系的转行成为大师的不少），哲学经常通过逻辑夹带进入），逻辑虽重要，但数学
的构造才是最基本的。用有意义的构造方式处理连续统才是正道。用实例处理抽象，以几何制约代数，显然我喜欢庞加莱而不是希尔伯特（希尔伯特空
间除外）和格洛腾迪克。并非认为抽象不重要，问题是什么样的抽象才是重要的，表示理论才让群深刻，不同维数空间中的正多面形（或胞腔形）自变
换、循环群置换才是关键，矩阵是最复杂和深刻的计算构造（比如阵内的某些块对易很有意思，体现了局部交换性（比如阿蒂亚的k-理论）），很合适
用来构造和计算等价类，可以自由操控方程。数论中的椭圆函数与模形式比较有实战意义。
分析与几何是天然浑成的，微分方程和微分几何的划分只是不同角度看问题，实际是一个东西。微分几何强调度量结构而微分方程强调参数与坐标。泛
函最好的东西是希尔伯特和冯诺依曼的东西。至此深以为几何比代数更有意思，图形比数字有意思，尤其自由图形比规则图形更有意思。所以深深喜欢
黎曼与庞加莱，尤其是庞加莱研究天体问题决心放弃经典几何方程进入代数拓扑领域时感到的开阔自由，因此去看拓扑的东西，越看越带劲。尽管或多
或少地看了不少人的东西，诸如瑟斯顿、琼斯、米尔诺、莫尔斯、唐纳逊和其他人的一些东西，感觉还是要从庞加莱的角度重新开始，其他人的视野不
如庞加莱，可以感到庞加莱对自己的工具不如其他人那么乐观。而且别人对他的几个工具重视不一，比如他的同宿栅栏（或轨道）工具还未发酵太深(
由它变出KAM)。拓扑的定性分析应该只是他的无奈之举，其意还是要找到一个更好的计算工具，但是他不能，他的本意应该是要彻底排除以微分方程研
究拓扑（实际他已经做得很不错了）。拓扑学的现状是以庞加莱方法为源的诸侯割据。当然也有庞加莱之外的，但不深刻。个人以为这些混乱正是拓扑
学不成熟的标志。

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难界定不等于不存在，灵感就是直觉（或数觉），就是天赋。天赋有不同类型，你说的属于慢型天赋，比如很多数学家不习惯短时间考试而成绩不行。
为什么有人研究一辈子数学没有成果？为什么一个本书看了5年你还是看不明白？
是的有的人花的时间长出成果，有些人很短出大成就，有人半道出家都行。有些人看书做题破万道，有的人只需要蜻蜓点水。数学家不只有一种类型，
不过很多中国人以为世界上的数学家都是丘成桐、华罗庚和陈景润式。还有很多天赋低的人总是不服或妒忌那些天赋高的人，喜欢跟人比。
得Fields就是判断一个地位高低的标准吗？对一个数学结论的评价取决于你的层次，而你的层次得看你的研究深度。
Kline的那个著名的纲领，那又怎么样，包含了拓扑结构了吗？最后还是没有想象那么好，庞加莱对那个东西不也没有太大兴趣。你要严肃评判
Thurston的GT3和庞加莱出现，你要对整个拓扑学有较深的理解，最好你能看到一些它的缺陷和他没看到的东西。你能有通吃所有维数下拓扑流形构造
的想法吗？你能真正想象一个高维复杂流形的形状吗？高维的东西为什么要抽象，因为几何很难想象，虽然通过方程描述，但不等于你能想象它的形。
但是有人就是能有别人不具备的能力，比如Thurston能看见一些高维拓扑形。高维拓扑形的想象和拉马努杨数论想象是同样难的，能正确理解Thurston
说他的东西写不出来两重含义？

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研究时间和学习时间的分配：
这是每个数学研究者必须考虑的，你必须放在整数学生涯中考虑，对于天赋高者，必须从你学习的早期阶段就要有所考虑，在学习时同步思考和调整你
将来要选或思考的问题集，即有目的的学习，其实对大多数人来讲，是说的容易做着难，但对天赋高的不是太大问题。
从整个研究生涯来看，学习的时间越多，那么研究的时间越少。要讲平衡，在这个基础上尽量缩减学习时间，这也就是天赋高的人学习时间少的原因。
但无论你天赋怎样高，你还是要时间学习的，要面对大量书籍和论文，还有每个人不同，其他事要占据很大一部分时间，其实留给研究或独立思考问题
的时间并不多，而且当你遇到进行不下去时，还要放弃一些时间，比如去旅游，半年之内放弃思考等。
那么多的书和论文，你显然不能全看，而且没有必要，如果你课题目标不明确，这就是一个麻烦的事。所以早早得到合理的课题或课题集是最好的办法
，围绕你需要的东西或深或浅地学习，只以解决问题为目标。解决一个问题，你的研究生涯就值了。别以为破万道学习题是万能的数学研究的起点，如
果这些不能为你日后的思考通过太大的帮助，也是无益，如果帮助大，恭喜你为自己课题积累了经验。要知道破万道题的时间（一天一、两道题，这要
花多少时间，你不可能整体数学吧，很现实的话）说不定比你破解一个研究课题化的时间还要多，但不合算。只要做题量能帮助你理解就行了，因人而
定，因天赋而定。
首先，每个数学论文或专著或多或少都是有点价值的。你完成的课题要想得到别人的阅读，必须价值越大越好，否则只有沉睡的份了。有时太超前，别
人无法找到应用，就算未来价值大，也可能遭忽视。价值越大的深刻课题，一般天赋要求也越高。如果要想得到价值最大化而风险最小，研究一流数学
家的问题。如果要进行有风险的数学革新，研究数学巨匠的问题（一般这样的问题要自己找，别人不能给你）。这两样类型，没有过人的天才，那最好
别想，如果去思考，只是徒费光阴或成为民科。所以大部分有天赋的人只能研究一般数学家的问题。如果选一般数学问题，也就意味着你需要放弃很多
东西，意味着你局限在一个狭小的分支内，你得遵守它的规则，学习它的目前能有的所有细节，其他的外部分支，你就看自己的时间，能弄多少算多少
，说不定那天有用。因此，就算你在狭隘的分支内工作，时刻要保持开放的mind，因为水道渠成而有受外部知识影响，而一个人有时又不能完全知道自
己的天赋所在（这是有可能的，这就是不放弃的原因），你可能会改变研究方向而进入另外的领域。

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关于对权威的质疑：
数学巨匠和一流数学大师都属于数学领域的权威，他们的理论或流传百世或在当代有显著影响力，甚至某些准一流数学家也属于权威，某些水平低一些
的数学家也有一些低一些的影响力。但是无论如何，事实上数学没有因为他们贡献而达到完美，数学仍然存在数不清的问题，一些问题还隐藏很深，只
要你会以合适的方式问问题，数学仍会给你惊奇。况且他们的理论中某些还有不完善的，甚至某些论文中隐藏较深的错误或不合理细节经历很长时间后
才被后人意识到。
数学的每个进步都或多或少地需要新血液，这些新血液很多是由新人来完成。在完成一项重大贡献后，一个较小名气或甚至没有名气的数学天赋隐藏者
从台后走出而成为一代大师或巨匠。从这个意义讲，在那些默默无闻的人群中，隐藏着未来的巨匠，因此我们必须反对神化现世的权威理论，要对他们
的理论进行合理的质询和判定。

质疑精神不足会妨碍我们看问题的眼界，怎样对权威的合理质询呢？很多民科也反权威，但更多的是无知，他们中的大部分只是妄想那些原本不属于自
己的名声而留名“青史”，这些完全不懂又不愿或根本没有能力去学现代数学的人如何有资格反权威？显然，如果一个数学人没有较深地对现代数学进
行研究，他是没有资格和实力去质疑权威理论的。很多难以制服的公开问题经常显示权威理论的缺陷，只有你深入研究后才能看到这些缺陷，才能去想
新方法去质疑它。
对大师的高山仰止是很容易和盲目的，质疑权威不是一件容易的事，但却是每一个有深度数学研究者必备的。无论是对大师甚至你的导师，你都必须对
他们的理论作合理判断，在你的研究中，你应该把自己看成他们的对手而不是崇拜他们，尽管你这个对手目前还不是别人的对手，或许永远不是别人的
对手。但是，历史的事实就是，这些研究者中必然走出一些超越他们的人，以前如此，以后也会如此，这就是做研究的动力之一。
从某种意义上说，做研究和质疑权威就是找缺陷和想办法去解决。一个有深度研究的无名之辈，其数学观点和层次完全可以高于这些权威，只是他们中
很多还缺乏另外一种能力，找到合理构造对能力，如能突破此道障碍，那么他们中的某个也就超越了这些现世权威。

关于论文。
大师的某些论文总是存在缺陷或不合理的地方，甚至还有某些错误，但这丝毫不影响其价值，只是让发现它的人觉得不爽。这说明写论文不是一件容易
的事，即使是一篇突破性论文，不能简单地用明白无误的证明才够发表这样一个标准来衡量。一个理由是，当论文太长和问题结构过于复杂时，创作者
和审稿人都有能力上的限制，暂时还不能发现这些缺陷，甚至认为它们是对的，这种事情时常发生，比如在庞加莱身上，近一点的有怀尔斯的，佩尔曼
的初稿也有缺陷。因此，一个复杂的证明，很难保证没有一点错误，对于作者，就算他已经完成研究和论文，仍然要放一段时间去沉淀，让没有注意到
的问题晒出来，不要急于发表。对审稿者，也需要长时间去发现问题。即使论文被发表，并非就代表它完全没问题，很可能过很长时间后被某人发现，
这样的事也是有的。但是能发表的大部分论文，应该是其价值是很明显的，即使有错误也不影响它的价值。如果追求完美，有很多极具价值的东西不能
被发表，因为作者很有可能一生也不能完全解决甚至发现缺陷。
因此读论文都要带合理的判断，并且要尽量读透你感兴趣的论文。

现在的论文发表体系肯定产生大量价值较小甚至垃圾论文，真正重要的论文只是极少数，里程碑或重大影响的论文很可能数年才会出现几篇。首先，我
们应该容许这些低质量论文存在，它们维护了整个数学组织的正常运转，数学家们也要谋生计，同时，小问题的出现激发众多数学研究人员保持研究活
力，有时它们是为大问题蓄势。尽管几率比较低，但某些低质量论文中也包含一种潜在解决大问题的思想，只是作者天赋不够，无力发展，如果有幸被
高人发现，则可以派上用场。如果一个学术杂志专门登突破性论文，它就开不下去了。其次，作为有理想研究人员要知道，没必要过多读和过分重视论
文，尽量挑感兴趣又重要的论文读，凭自己的积累和直觉从大量论文中发现它们，这不是件轻松的活。

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to 洛奇:
质疑就是正确评价别人的东西，并不是否定别人的东西和对别人的不尊重。并不是人人都有能力去质疑，否则不理性。其条件与你的实力有关，与年龄
无关，很多人年少成才，比如20左右，因为他们那时已经具备质疑的实力，最后也早早取得成就。但是绝大多数人实力都达不到要求，无论你是一般大
学生或研究生，当然学习的份就多。就个人一般观点而言，达到博士阶段，或多或少应该有此能力，否则太水。对于过人之人，没有年龄和阶段限制。
不主张一般人去做没有实力的质疑，但强大天赋的人在研究解题中须不断去质疑，不要太过限制自己。

无论整体和个人，东方人在数学上与西方人比，差距是比较大的，华裔也是如此，我想应该与传统文化环境有关。
很多国人抱怨国内环境太差，我想这不是决定性因素。首先，现在中国经济上比以前西方的经济环境强很多，而且中国历史上比西方国家富有和强大有
很长时间，但是西方一些巨匠大师是在贫困的条件下成功的，有的人生前都不被认可，有的还在战争中作出成就，所以以经济为借口说不过去。以体制
为借口也是说不过去的，比如前苏联和东欧。就算国内学术体制不如西方，影响整体，但对真正有天赋的个人应该影响不大，如果手上真有硬货，完全
可以在国外找到机会。所以，无论怎样恶劣的环境，天才就是天才，环境降低不了他的能力，因为他有实力和强烈的征服问题之心。
我想古希腊和古罗马的文化对西方人影响至为深远的，理性、质疑、学习、冒险和挑战完全融入西方人的传统和血液，他们中的精英和天赋携带者作为
个体将这种特质转化为成就。这些综合特性很难在东方精英中体现，东方人讲究实用、方圆、顺从和曲线绕道策略。东方对小孩的教育归于保守，对于
一般人是适用的，但对天才大大不好。如果一个小孩从小就被动学习，搞“精英教育”，没有玩的天性和自由，照着父母希望的路走，害怕失败，失去
很多自发自主行为，最多也就是一个以常规思维考虑问题的天才。西方人群中的科技天才无论数量和质量远胜东方。西方所有巨匠级天才和一些一流大
师完全不按常规出牌，随心所欲。尽管东方有一些数量不多的一流大师，但东方人缺乏黎曼、庞加莱、阿基米德、高斯、伽罗华、阿贝尔、牛顿、格罗
腾迪克一类巨匠的人物，传统基因是最大一个因素。
总的来说，很多天赋强大的人尤其巨匠式天才是自主自发式学习和研究，绝不是培养出来的，因为这种级别的人，学习速度太快，境界太高，别人很难
真正做他的导师和达到他的境界，只是徒有导师虚名而已。

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一些人理解歪了，如果一个论坛没有有趣而深刻的见解出现和讨论一些较深的和最前沿的问题，而只有较低的问答层次，这样的数学论坛就没趣了。深
刻见解和最前沿问题讨论会激发一些潜在的真正数学研究者。
每个人学习数学的目的不一样，每个人对数学的激情不一样，每个人的数学内容的喜好不一样，每个人的数学积累和天赋不一样。这些不一样会让你期
待不同的数学讨论。
对于一般人，了解简单数学就够了，过深的数学对他们是有害的。对于一般数学应用者，过深的数学研究也是有害的，理解能用上派场的内容就够了，
不要什么都追根究底，除非你的课题深度真的需要。只有真正有能力和天赋的研究者才合适滑入数学深渊。不是所有的数学内容适合科普和放在较低层
次去讨论，比如Hodge structure、Mirror symmetry、Gromov–Witten invariant和Index theory，你要读懂，必须有很深很全面的数学背景。只有达
到一定的背景，讨论才可相互理解。

数学的发展意味着留下的数学问题的解决难度越来越大，数学的研究越来越精英化而不适合常人。数学的发展是少数精英推动的，这比任何其他行业更
加明显。数学巨匠和少数一流大师占据绝大部分数学贡献。
随着数学积累和研究深入，你对数学家的评价会随时间变化，让你真正认识一些深刻而影响深远的数学家。当然专门的偏好会让你产生一些个人偏见，
要真正有效评论一个数学家必须结合对数学分支的恰当看法。
如果使用不同标准，那么评价是不一样的。如果你使用最牛的数学家标准，那么在一般情况下，大多数肯定是现在活着的数学家而不是远古数学家，因
为即使现在一个数学研究生的水平都随便超过牛顿和阿基米德。如果采用历史贡献的标准，和稍将眼光在历史长河中延长到未来一个世纪以后，那么当
代这些牛人没几个能上榜。如果一个数学研究者不熟悉诸如Grothendieck，Witten，Atiyah，Thurston，Quillen、Milnor，Kontsevich, Jones,Cones
，Voevodsky等这些当代数学家名字，很怀疑他是不是一个合格的研究者。绝大多数数学研究者都会在自己心里对重要数学家的成就有自己的看法，即
使他不说出来。
一般人中有影响的数学家和数学研究者中的有影响的数学家是不一样的。一般人很难评判众多数学家的成就，即使对很多数学研究者也很难，除非你的
数学根基比较全面和有一定深度。
下面就说说个人对一些数学家的看法，从历史角度入手而不是从现在谁牛评判。
牛顿以前的数学家，比较欣赏的是Archimedes和Apollonius（圆锥曲线的分类，这种分类的思想研究是现代数学研究的第一推动力了）。
1900年以前或左右数学家，Riemann，Poincare，Gauss，Galois，Abel，Newton，Euler，Lagrange，Hilbert，Ramanujan。
1900年以后的，Grothendieck，Noether，Weil，Serre，Witten。
在个人观点，top one of all time，无法从Riemann，Poincare，Gauss三人中选出，如果从纯数学文章深度看，选Riemann，如果从数学难度选，挑
Poincare（因为拓扑结构太难了），如果从数学广博挑，认Gauss（实际上Gauss太保守，很多好东西因为不完善不愿写出来）。个人偏好，Poincare更
靠近自己。
如果要挑最天才的本能数学家，非Ramanujan，如果他命长点会generalization和make conclusion的话，那么最高丰碑数论家是他而不是Gauss了。一
个能直接看到结论的天才难道不比只会推理解决别人问题的数学家更难能可贵吗？他是神赐数学家。如果一开始他就受到正规教育毒害太深的话，他的
天赋会丢掉吗？是一个谜。
微积分不能全算到newton头上，但个人认为他比Leibniz强，一是它将充分物理纳入数学而发挥数学的威力，二是他继续推动Apollonius的分类工作。
Galois的群和Abel的函数已经成为数学中最难而深远的代数结构。
Grothendieck贡献了最棒的数学抽象思想和构造，Witten的出现可以看作一种趋势的加强，物理的基础结构将完全置于数学上，实验只提供系数（如普
适常数，相对常数），即物理idea，基础及构造的解释完全数学化。他们的贡献还在于对常人设置了一个高门槛，让民科们望洋兴叹。当然我并非说
Witten的SuperString theory是合理的，但认为他是一个有远见的一流数学大师（还不能到巨匠级别，除非SuperString theory真正占住脚）。
有些人虽然作出了重大贡献，但不能算数学巨匠或准巨匠，因为在发现或发明后没有深刻地刻画数学基本内容或非常不完善，或没达到大家的期望值，
比如Descartes的坐标系，Godel的不完全定理和Cantor的连续统工作，都不到位或到达一个深度。
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难道你没有看出来本人正是表达和你一样的意思吗？这个问题，那个著名的Quillen网友就极力推崇当代牛人而看轻1900年以前的数学家，当时我就不
同意他的这个观点，当然我从他的代数几何讨论方面获益非浅，还得感谢他让我早早意识到代数几何的精彩，你不走进去并在研究中应用，你就根本不
能体会格洛腾迪克的博大精深远胜于他同时代之人和他思想的威力和缺陷。但是现在很多人过分抬高他，也是不健康。格洛腾迪克是注定的历史里程碑
，现在更正我以前说的，个人认为他比希尔伯特强，但还是比不上黎曼，庞加莱和高斯。
牛顿时代到1900年，是数学史上第一黄金时代，比现在强很多，但是现在的难度非那时可比，现在难度大太多了。现在数学面临的大问题和现在数学家
还未意识到潜在更大的问题，需要比庞加莱更强的超级数学天赋携带者出现才能解决，数学上丰碑都是以非凡思想和构造出现为震撼标识。上个世纪迎
来了格洛腾迪克，这个世纪需要一个更强的，尤其是拓扑方面和硬分析方面。

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对于数学分支的个人看法。
对于一个比较全面的有发散思维的天赋强大的数学研究者，完全没有必要去理会数学分支这种无聊划分。但是对喜欢专门化的研究者，数学分支确实让
他专注某个方面。对于后人的教育，数学分支的划分有利于培养机械化式的数学专才。每个数学分支的出现取决于形成分支的数学内容是否足够和结构
是否稳定而成型。
无论如何，是数学问题而不是数学分支决定研究者需要的知识和学习路线。一般设置的课程都是基本稳定下来后的数学结构常识，一般知识也比较旧，
离最前沿的内容具有很大距离。在一般情形下，这些稳定的知识只能解决一般问题或体制内问题，对重大难题或新发现，只提供基本支持，不提供解决
方案。因此一般人学了也无法用于解决重大问题或发现重大结构。非平凡的问题绝大多数是需要大的或小的新工具去解决的。所以幻想通过题海战术学
习基础知识能解决大问题是不现实，因为在最前沿工作的数学家在基础知识上不比你差，为什么他们没法去解决大问题，那就是因为大问题需要新工具
或修改调整旧工具，没有天赋你怎么做呢。所以那些不强调天赋而向外人推销数学研究的做法是非常害人的，严重时可以一辈子将一个人给毁了，本来
可以在其他方面有出息，本来可以过正常生活的（我想除了数学，这世上还有其他美好的东西在等待你，比如家庭小孩的天伦之乐，为何一定要当民科
呢）。如果你有职业搞一点小兴趣，应该问题不大，只有到你确定自己真有天赋或能力时并且基础足够时，才能正式迈入数学研究这个深渊。同时要知
道，不是所有有天赋的研究者都能步入成功的前台，绝大部分人都牺牲在路上当炮灰了。
一个成功的数学家，他的常识数学不一定就比那些不成功的人强。数学常规基本功强与数学成就不存在必然联系。
一旦提取特别分支，那么就必然涉及分支在整个数学的重要性问题，显然不是所有分支都一样重要。有些分支即使停下来了，但依然重要，有些最新的
不一定重要。甚至有些分支虽然逻辑正确，但过于平凡而意义不大。比如微积分技术就是最重要的实用分支，矩阵及群计算是第二，数论在实用性上就
差很多。有人认为数学不需要将实用，个人不同意这个观点。个人认为实用是数学的生命活力，所有看似纯粹的且高度抽象的数学部分是作为数学这个
整体的一分子为认识物理世界服务的，虽然不直接出力。

对大数学家而已，分支不是大问题。真正的差异是他们感兴趣的课题和想问题的风格。你是代数式思考方式还是几何式思考方式，当然少数数学家两个
方面都强，比如高斯，但是总有一个为主的，高斯喜爱代数超过几何。黎曼和庞加莱是典型的几何思维，比如黎曼猜想就反映了他的几何直觉，庞加莱
就更不用说了。伽罗华，阿贝尔和格洛腾迪克是典型的代数思维。
判断一个数学家的思维方式，看他喜不喜欢在他论述中画图或叙述一个具体图形就可以判定了。

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物理，几何和代数
搞数论的研究者是数学中的另类，他们中太多以数学至纯而倨傲（或孤芳自赏），很看不起源于应用的数学，认为自己的数学内容是最深刻、最难和最
神圣的数学，同时数论或代数中大人物远多于几何，并且神童总与数挂上钩，中文中的数学可看作数之学，在中国数论的势力最强大。Gauss、Euler、
Ramanujan等很多神童都是从数论开始的，他们使数感成为神话传说。
实际上数与形是同时出现的。为什么会知道自然数？因为要为具体的物体（离散几何形）计数而已，负数不过方向相反（也是几何形的要素），其他数
的都是运算封闭的要求，它们都有几何意义，尤其实数与线的对应。向量数组不过是高维几何空间的对应。因此，数或扩张数不比图形处于更优越地位
，事实上它们的出现都不过是人们处理图形和空间对需要。
所有运算都是方程，由于简单的运算大多数人一眼就看出了，就不认为它们是方程了，在人们眼里只有处理不能直接看出来的一大堆数或数组的集合才
是明显的方程。本质上，数的分解都是（不定的或定的）方程。是方程就有几何出现，只是这些几何太平凡了，数论研究者不考虑罢了。随着后来难度
的增大，数论一方面关注整体性质而上升到抽象代数，另一方面向微积分技术求救，微积分本质上就是几何，现在更甚，向拓扑深入。现在最深的椭圆
曲线与模形式、高维Shimura variety都有强烈的几何拓扑内容，算术几何并非新东西，只不过之前没多少人乐意去正式提出。抽象代数更是与几何联
系紧密，其核心群就是几何变换而已。
任何代数内容都有相应的几何解释，如果一个代数结构找不到有非平凡意义的几何解释和应用，那么它们就会被非议而不会被承认，所以没有几何考虑
，就不能随意制造代数结构。代数只是处理几何的工具。
几何充满宇宙和物体变化，它与物理紧密相连，不可分离。有很多人认为物理是应用科学或几何应用典范。物理的理论不能简单归于应用，随着物理发
展，物理逐渐几何化，几何开始能解释它对基本概念、idea和构造，相对论中黎曼几何和量子力学中的希尔伯特空间和群和拓扑，现在超弦更是几何主
导。实在觉得物理与几何不是应用关系那么简单，只是现在的几何内容还不能将所有物理概念纳入自己的解释，否则几何完全从脚到头完全主宰物理。
在物理，几何，代数的关系中，几何处于中心，代数是几何需要的工具，而物理的工具是几何。牛顿、拉格朗日、庞加莱和威腾用双重大师身份一直在
强化这条线。

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计算机，数学
一些著名数学家对计算机的数学证明或计算持非常忧虑的态度，比如Atiyah。
四色问题、球装问题（sphere packing or Kepler conjecture）、有限单群计算、大素数的寻找和分形几何都是数学利用计算机的典型代表，它们全
部或部分使用计算机完成证明或计算或画图。如果不用计算机，分形几何是不能被发现的。
实际上，当涉及大量数据和大数计算时，不使用计算机是不可能的，人无法在有限生命中完成这些计算和重复检验。这就涉及一个人对计算机计算可靠
性信任问题。在工程计算中，工程师们绝对信任计算机就像信任自己一样，没有心理障碍。但数学家不一样，很多持怀疑态度。这是有理由的，比如
Hales的sphere packing论文发表后，发现不少失误而后修改补充。
就个人观点而言，接受计算机不不接受要好。大量工程实践表明计算机计算是值得信任的。就算一种计算机环境（硬件和软件）不行，还可以通过其他
计算机环境进行重新计算，如果多种环境全部一致，那么计算结果就应该被信任。实际上让人担心的是数学家的数学本身的计算构造模型和为之设计的
计算机程序模型两者是否同时逻辑无误。如果是，证明和计算结果就应该被信任。如果真的日后通过其他计算机或非计算机途径发现错误（尽管几率极
低），那也没关系，让人意识到计算机环境的缺陷而改它，更利于后来者。
多变量高维数复杂图形的数学结构的大数据计算和画图必须使用计算机辅助完成，这是日后数学趋势，很多极难得硬计算的数学证明脱离不了机算。
计算机已经为数学家揭开了很多数学家看不到的东西，我们必须要为计算机证明和计算保留位置。

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to洛奇
后人看前人，都觉得前人的东西容易，我们的后人也会这样看我们，确实后人在大多数情况下是这样的，基于知识的积累，后人一般比前人牛，这道理
谁都懂。但牛不等于这些牛人的功绩彪炳历史，在历史上比前人有更高的地位，难道你能说庞加莱、黎曼、高斯等很多历史成就就比现在的大多数牛人
差吗？就个人观点而言，现在没有一个人能在历史成就上比得上这三人，格洛腾迪克也不能。
评价历史我们后人更容易客观看待我们和前人的功绩的历史价值，其结果是后人一定会把我们对当代人的自吹自擂的吹水成分大大压缩，其结果是现在
没几牛人能上历史排行榜。所以最牛的人不等于历史排行榜。以历史的眼光看人和成就更客观，但是当代人根本很难客观，都想把自己吹上历史的排行
榜，以让后人记住自己，但是后人不是傻子，后人有自己的判断标准，当代人不可能替后人定标准。

代数几何萌芽从意大利学派算起比较合适，法国Bourbaki学派是它辉煌的开始，格洛腾迪克使它达到目前的顶峰。
代数几何不能说不抽象到目前的极端，数学人也因此把它抬高到极端。algebraic varieties，sheafs，schemes，algebraic spaces, algebraic
stacks，topos，sites，motif （or motives），higher category，higher K-theory， Grothendieck–Riemann–Roch theorem，intersection
theory以及涉及Weil conjectures，Hodge conjecture和 motives到Galois theory的长征。这些东西实在抽象炫目得很。

抽象与具体
一般人都认为抽象比具体有价值得多，所以不断忙于抽象再抽象，把别人的东西抽象推广到自己的特例，自己就比别人贡献更大。这是很好笑的。不少
抽象显得非常稀疏化和平凡化。
什么是表示理论？如果只是一些假大空的抽象，这些抽象的东西只能用来说话，没有计算技术来表达，就没有太多的深刻技术含量，只有能用有效计算
技术来定义或分类或区别一个或一堆数学对象从其他不同的想要区分的数学对象时，这种抽象才深刻，所以表示理论是抽象数学要达到的目标，现在无
论代数几何和抽象拓扑都差得远。表示理论是很难的，一般抽象至多是框架，框架易搭建，但建筑施工困难。所以俄罗斯学派的表示理论观点是非常重
要的，是务实不务虚的。
表示论就是从抽象再到具体的过程，用具体的计算工具去处理抽象。
一般的具体就比抽象不值钱吗？实际上，抽象时也排除了很多具体对象，让它们处于例外情形。某些情形下，我们处理一个具体对象，最后会得到一个
更大的数学内容和抽象（比如费马最后定理导致一连串的抽象进展），按这些抽象家的说法，把他们给抽象进去了，他们的抽象理论成了special case
。所以不要看不起具体数学。

格洛腾迪克和庞加莱
格洛腾迪克的存在，使得20世纪的数学中代数或抽象代数对几何或拓扑处于绝对优势地位，格氏本人也成了数学史最顶级的抽象巨匠。正如牛顿至庞加
莱时期，几何处于中心地位一样。
难道庞加莱的抽象能力比格洛腾迪克差很远？也许应该这样问比较公平，庞加莱是否喜欢抽象方式？
显然，庞加莱的抽象能力并不差，否则他能搞出那么多深刻的拓扑技术和微分方程技术，而且他也早早意识到了高维几何问题，否则他怎么去搞n体问
题的微分方程和提出那个有名猜想，他也大量使用群。但是他显然更关注几何的硬的可计算技术和应用，不喜欢假大空，他有很强的计算能力和计算构
造能力（格洛腾迪克这方面就不如他），不太喜欢很死板的规范证明，好像对数论也不关心，且极度关心物理，其理论物理及计算物理能力之强就算很
多纯物理大师都不如他。
几何想象力和物理应用，格洛腾迪克在庞加莱面前就显得很弱了。代数几何的主心骨上同调技术还主要源于庞加莱（庞加莱同调对偶）。
格洛腾迪克的拓扑太弱了，在这点上威腾比他强很多，威腾的视野很深邃，个人认为虽然图形想象力比瑟斯顿差，但拓扑构造洞察力是目前自庞加莱后
最好的，虽然达不到庞加莱的高度。威腾的洞察力主要来自他对物理的强悍理解（目前最好的弦论家）。可惜威腾已经过了他的黄金时期，不会有太大
的东西出来了。
代数几何还不能还盖全部数学内容，其中几何拓扑部分差很远，在庞加莱眼里，homotopy是比homology更有效和更难的计算工具。现在higher-K
homotopy还是不行的，庞加莱也知道homotopy也不是拓扑终极fine工具。
格洛腾迪克的全面性和深刻性不能与庞加莱比。

一个强的研究者，应该可以从简单中看到复杂，从复杂中看到简单，从具体走向抽象，从抽象在回到具体。如果一个数学研究者没有较强的计算能力，
一般来讲，是不完美的。如果一个数学研究者只会傻算而不懂数学构造优先，那不会有大出息。如果一个构造不合理，算出来了也达不到要求。要算，
但要先搞清楚为什么要算。

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plp归来 你说的计算再高深的理论都是围绕高代和数分展开的，这两门课学好，计算就学好了，你的具体可能换成特殊好一些点

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plp归来

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55楼
发表于 2011-4-28 18:40:53 |只看该作者
我认为从思想上看，人们都一样，只是每个时代的知识所具有的思维特色不同，例如functors的同调群消失就如同求函数的零点，基变换就相当于我们
学的数的交换性，代数D模借鉴了函数求值域的思想。数学知识是多的，但思想是少的。

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数学，艺术
数学研究当然是一门艺术，艺术这个概念具有对任何事物的探究的普适性，数学也不例外。很多数学家喜欢将数学与绘画、音乐、建筑和文学放在一起
讨论。所有艺术的风格可以放在一起类比。很欣赏数学画家Maurits Cotnelis Escher。分形图形、Hopf fibration，tiling就是完美的绘画，几何就
是绘画。
下面是某些个人的类比（本人不喜好文学，文学就免了）。
Newton：da Vinci(oil painting)Beethoven(classical music)Gropius(modern architecture,现代建筑之父)
Gauss：Raphael(oil painting，architect,最喜欢的painter，最完美的写实派，最woman的艺术家)Bach(classical music,最完美的音乐)
Euler：Velasquez(oil painting)Mendelssohn(classical music)
Riemann：Rembrandt(oil painting)Chopin(classical music)Le Corbusier(modern architecture,最喜欢的建筑师，最完美的建筑：朗香教堂)
Poincare（最喜欢的数学家）：Michelangelo(oil painting,sculptor, architect，最man的艺术家)Tchaikovsky(classical music)Frank Lloyd
Wright(modern architecture，流水别墅)
Galois：van Gogh(oil painting)Debussy(classical music，格洛腾迪克motif,topi的海洋升起的感觉来自德彪西印象派音乐)
Abel：Cezanne(oil painting，格洛腾迪克的motif来自塞尚的印象派,最欣赏的印象派)Schubert(classical music)
Grothendieck：Picasso(oil painting)Stravinsky(classical music)Ludwig Mies van der Rohe(modern architecture,少就是多，用最少的表达最
多的)
Witten：Dali(oil painting，最好的超现实派，类似超弦)Shostakovich(classical music，最喜欢的古典音乐家)Rich ard Meier(modern
architecture)

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to Lavita
所有数学家都可以比较的，至少你可以把他们划分为几个不同的粗糙等级，不同等级的数学家的成就与境界是有很大差距的，比如你不能把几个华裔数
学家列入高斯、格洛腾迪克一个等级吧。至于同等级内有一定争议可以理解，等到研究程度深入和数学未来发展的不断呈现，就可能看出不同了。
庞加莱的automorphic form（ Fuchsian group ）和微分方程的研究也是不错的。

to plp归来
计算主要内容围绕高等代数与数学分析这种看法我以为是不妥的。新的计算构造及特征要由具体的数学问题在数学研究者的解题过程中经过一定寻找后
自然呈现出来，我们不能武断确定它一定要由现在的高等代数与数学分析中的计算技术构造或组合出来，你不能事先设定这个判断，因为完全可以有大
大不同于现在的计算技术出现（也许一般研究者不能脱离这个框框，但超级研究者会突破它），当然也可以是现在的计算技术小修改或附加一些小构造
。
如果这样看待计算构造，就等于在研究中捆住自己的手脚，限制自由。
新的计算构造可能来自旧计算构造的扩张或抽象扩张，更主要的需求来自几何新构造的要求。旧计算构造的扩张或抽象扩张最终也必须反映到恰当的几
何构造和变换中，否则无效。
个人认为，旧的计算构造已经不能满足拓扑学的潜在大构造的需要。
一般数学计算技术有数的基本四则运算、线性向量、笛卡尔空间，抽象数学计算技术有整体数学对象的全局基本四则运算（群、环、域）、模（module
）直和、moduli空间。这就是思想相同而思维方式不同的结果。但二者还是有明显细节不同的，整体的东西比个体难处理，要照顾的方面很多，经常要
添加一些辅助小构造才能处理。

如果一个数学研究者真真切切地意识到数学研究是一种艺术创作美（对称美、非对称美、简洁美（尽量简化复杂的东西）、普适美（让构造能对付所有
范围内的情形））而不是工程制造，那么他一定会有艺术的敏感性去意识到数学构造的可能性。每个艺术创作者有不同的风格和思想呈现相同的对象，
数学研究者也一样。一个有非常抱负的研究者最终会攻击数学中的大问题，无论是现存的或自己提出的。

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数学乱弹一。

数学是人类智力强度和难度最高的学科，你可以随便对其他学科夸夸其谈而主观地争论对错，但是没多少人可以或有资格谈论高端或高难度的数学。有
人说理论物理的智力要求可以与数学媲美，我想理论物理最难的部分就是依靠着某些高端数学，实际上理论物理不是比美高端数学，而是显耀高端数学
的强悍。
物理的idea如果脱离了数学化，就和哲学和艺术一样随便供路人蹂躏，尤其是被民科沦陷。理论物理的数学部分是唯一抵抗民科的利器。就算一个物理
idea“正确”，没有数学支持，也就是一个儿童文学。民科可以得到一个正确或合理的idea，但还是不能提供正确或合理的数学构造。就像任何人可以
赌对一个只有两个选项（即便多个选项）的数学猜想，这毫无难度，但这些人就可以比美数学家了吗？因此，正确的idea并不是物理成功的最主要部分
，数学构造才是最重要的部分。如果没有数学支持，爱因斯坦成不了名，这就是爱因斯坦感叹数学对物理的支配，而牛顿、拉格朗日、威腾等人主动或
被迫成为数学家的原因，因为数学家没有办法给他们提供更强的工具去支持物理进步，也就是说数学的进展落后于物理的要求。当今就是一个数学的进
展落后于物理的要求的时期。爱因斯坦是幸运的，有黎曼给他提供工具，量子学家是幸运的，有伽罗华和李给他们提供工具。超弦学家（或别的什么学
家if超弦失败）是不幸的，因为现在数学家天赋不够，没有庞加莱和牛顿级别的天才，不能提供厉害工具，所以威腾只好亲自上阵来给数学家示范上课
。就算威腾的超弦最终错了，但威腾还是比那些有正确物理idea的民科要有价值多了，因为民科始终不明白没有数学的正确物理idea不比垃圾好多少。
数学没了，人类只能活在原始部落中。现代科学的发展是物理在彰显数学的荣耀。数学永远是人类智力挑战的顶峰。从历史角度观之，物理和数学互相
推动，有时你先，有时我先，可以远到阿基米德的工作。

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数学乱弹二。

数学人中不少人抗拒给数学家排名，给数学分支的重要程度分类。这种思想就是和稀泥，这不是一种健康思想。当然排名不一定非得说出来，藏在心里
也行。实际上这反映个人的数学品味，深度和把握数学趋势的能力。
高斯、阿基米德和牛顿是数学史top3的看法还深深扎根广泛人群中。这些人要么非数学研究者（95%数学系的学生不在数学研究者之列），要么偏执或
偏科数学研究者。
任何数学人物的成就评价都是随数学进展而呈现动态特征。一个二十一世纪的评价怎可以还停留在20世纪甚至19世纪以前的状况呢？如果在二十世纪以
前，这个top3论还可以勉强存在，那么现在再如此，只能说明现代数学从来没有在这些人心中存在。数学的进展及未来可能进展不断地调整数学家的地
位。
拓扑学、非欧几何、复几何、抽象代数和代数几何的出现明显提高了庞加莱、黎曼和伽罗华的地位，数学上最重要的进展全都在微积分诞生以后。所以
阿基米德不再属于top3了。
牛顿参与微积分创建和经典力学的奠定抬高了地位，牛顿的物理学地位不能全算进来，毕竟物理还不完全从属于数学，况且微积分不是牛顿一个人作为
第一创作者，阿基米德、费马、莱布尼茨都参与了，并且分析学上最强的大师不是牛顿而是欧拉，欧拉才是微积分草创阶段的第一大师，草创时期比的
是谁的无穷级数功底厉害，况且欧拉其他非物理方面的数学远强于牛顿，比如拓扑学、复分析的先驱。
高斯top3地位现在还是可以保留的，但绝不是绝对第一，硬要排，也轮不到他，应该是黎曼或庞加莱。以伽罗华之才，高斯也是不能比的，高斯20岁出
了不起的数学成就，但不能与伽罗华19岁出群论比，如果伽罗华活得与高斯同样长寿，那么top3里就没有高斯什么事了。论数学洞察力天才，高斯不如
伽罗华，论数字计算天才，高斯不如印度的拉马努金，甚至欧拉。高斯靠的是全面不是深刻（与那些厉害的人相比而言）。伽罗华虽然只有一个成就，
但就是这个自己独立支撑的成就使他吃遍数学江湖鲜有敌手。有人说他是偏才，我想如果伽罗华活长一点就可以证明他是全才，因为群论可以通吃代数
，几何的。伽罗华的错，是他远远领先他的时代和高斯和他不珍惜自己的生命。伽罗华和庞加莱一样，几乎以一人之力开创一个数学最重要的一个主力
构造，高斯没有一个成就比得上。
高斯虽然参与草创了微分几何和非欧几何，但只黎曼的非欧才是真正集大成者，他几何平行公理的争论转变成数值条件，即数学的计算构造取代公理构
造。黎曼的复值单值化更是有用的计算构造技术，黎曼猜想只是黎曼在复几何上的顺手牵羊，另外他也是拓扑学的先驱。
庞加莱，数学成就就不用强调了，要强调的是他是仅物理次于牛顿的数学家，除非威腾能将超弦理论hold住（一旦超弦成了，威腾在物理上的威望将超
过爱因斯坦和牛顿，但我本人认为可能性不大，因为正确的拓扑数学工具没有出现）。不像广义相对论，狭义相对论的功劳不能全归于爱因斯坦，庞加
莱在这里仅次于爱，他的物理失败之处在于他太认同牛顿了。
很多人强调高斯、牛顿和阿基米德，实际上是强调一种思想站上风，及数学的有用性等同表面的物理应用。难道格洛腾迪克、诺特阿姨的精神没用？显
然不是，并且他们也在以某种方式推动物理，这是不在表面。抽象并不等于无用，有些抽象无用是因为时机未到。可以说格洛腾迪克、诺特阿姨的抽象
是极其有用的，而其他人的抽象是无用。这就是说抽象有用的程度与人的数学天赋挂钩。大多数人没有格老和诺阿姨的天才去驾驭抽象。

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数学问题。
数学问题是数学研究的核心。一个好的数学问题对研究人来说至关重要。对个人而言，好的数学问题不是重要和有名的，而是适合自己的。对数学发展
来说，好的数学问题必然是重要的数学问题，但不一定是有名的。
厉害的研究人员都追逐重要的问题。希尔伯特23问题客观上虚抬了希尔伯特的历史学术身价，因为他给很多数学研究人员一个出人头地的机会，大家都
感谢他。应该说希尔伯特问题还是不错的，但现在看来，很多问题并不都属一流问题而且有的问题的太泛泛而产生不出有实质重要的东西。并且他的东
西有明显的局限性，代数和数论因素远强过几何，这与他的风格和洞察力有关。尽管他的公理化推动了数学抽象的进阶，但他自己的公理化成果实在不
敢恭维，格洛腾迪克的抽象和几何能力强他不少。
一个数学问题的重要性有两个方面。一个是问题本身重要，比如黎曼猜想。一个是解这个问题会产生重要的通用构造，比如费马大定理。并不是难解的
问题都是一流重要的，比如哥德巴赫猜想。有人会说，不能这么评判问题，因为不知道未解问题背后到底藏着什么。显然这种思想是不对的，首先你要
肯定一些大数学家是有鉴赏力的，知道一些问题后面必然不会有大结果，而有的不能确定。有些问题确实背后藏有东西而当前数学界可能没有意识到，
就算有些问题被解掉后，数学家没看见一些重要意义的还是有的，因为当今的数学的发展还没能力把这种意义显露出来，比如球装问题，其实球装密度
只是一方面，个人认为更重要的是几何上的对称破缺，目前的数学内容和进展还没有能力把它显示出来，其实像四色问题也是如此，完全有很重要的拓
扑意义，但解题过程没有把四色问题的重要性给显示出来。庞加莱猜想的解题过程也没有将猜想本身的重要性给展示出来。因此，一个问题不能只看它
的解决与否，更重要的是看它如何被解，是否有重要通用方法产生已及这个方法对数学而言有多重要。
有的数学研究者只关注解一个题本身，而不在乎用什么方法。另一类则是关注解题会带来什么方法而不在乎解题，解题只是一个副产品。我想，后一种
研究者才是有质量的研究者。假设费马大定理用初等方法解掉，解题人能获得很高历史地位吗？肯定不能。其实像黎曼猜想那样难的问题，就算在初等
层面有素数分布pattern，这种pattern也是极端复杂的，不能被初等方法本身消化，只有更难和高端的数学技术才能提取它。就现在看来，一个意义重
大难题是不可能只花几页纸就能简单解决的。深刻的问题都要花几十上百页，甚至几篇论文去进行有效地拆解构造和分类。过去一些名题的证明后来被
简化，那是一些新的数学构造和idea被搞出来后才行。如果没有这些构造，是不能简化的。如果算上被使用的构造，证明并没有简化。
一般被提出来的都是显式问题，它们最多是一流问题，黎曼猜想、hodge猜想都是最顶级的一流问题，将来某位一流的大师应该可以解决它们。超级巨
匠问题基本为隐式，一般人都不知道如何提出，如何开始，如何进行。一般超级问题都是隐藏在一系列问题之中，并不会单独隐藏在一个孤立一流问题
里。超级问题解出来后，必然产生重大通用数学构造，比如伽罗华利用解方程来发现群结构，庞加莱利用解n体问题发现拓扑结构，这些结构即使不通
过解方程和n体问题一样可以被超级巨匠发现，只需要找到合适自己风格的问题载体。
当今还有超级问题吗？答案不言而喻，那么多一流数学家艰难前进而很多问题没法理解，甚至还发明某些技术去躲避。一流数学大师是没有能力去解决
它们的，因为他们没有正确的直觉来导引到那里，不知道合理发问。超级问题只有碰到合适它的超级数学天赋携带者才会被解决。一流大师每个世纪都
有不少，一个世纪不产出一个超级巨匠是不罕见的，上个世纪只有格洛腾迪克一个。
因此，提合理的问和发现重要构造的直觉是数学发展中不可缺少的。

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数学的偏见。
1）国人的最长久偏见是将做学问跟做人联系在一起。学问好，人品败的最杰出人物不在少数。不少学问大家，献媚权贵，私生活混乱，挤压同行，争
名夺利。
2）数学家比较刻板，不问窗外事，不浪漫。这个印象来源于数学家清心寡欲的专注工作，实际上，很多数学家是多心，花心，也在完全不相关的事上
倾注不亚于数学的心思和精力。
3）科班出身的偏见。很多有名的大师不是科班出身或科班出身后不在学术圈内。不在学术圈内的人，其成功的代价比圈内人大得多。其实科班出身与
否对大家来说不重要，重要的是，你的学习水平要达到超高的专业水平或超出绝大多数数学人。现代数学时期，格罗腾迪克，威腾就是例子，没有经历
正规数学专业教育而直接就入高水平学术讨论班或交流。
4）名师出高徒的偏见。名师的主要作用不是出高徒，而是学生通过名师获取更优势的位置。很多人认为黎曼是高斯的学生，也许名义上是，实际上他
是独立于高斯的。
5）学术水平与教学水平的正相关。绝大多数数学家是要教学的，但很多大数学家不是一个好老师，甚至口碑很差，有的数学家根本不想教学。数学成
就才是数学家的衡量标准而不是教学水平。
6）勤奋工作与数学成就挂钩。数学是一个数学家的职业和兴趣，但每个人花在数学的时间不一样。作为职业，那是被迫工作，作为兴趣，那是主动拥
抱。很多数学家有不少数学外爱好，甚至花时间要超过数学，但不妨碍出数学成就。高斯之所以勤奋，那是他半年或一年工作所得成就超过其他数学家
一辈子的成就。如果他只要一个大成就的话，他根本不需要勤奋。他勤奋是因为他要成为数学和物理的全才。庞加莱很有规律工作，数学很放松，很保
证休息时间，克莱因比他勤奋多了，基本没有休息时间。
过于勤奋容易头脑发僵，不利于思考。数学不需要太勤奋。
7）出成就和环境、工资待遇挂钩。如果一个人这样想，他基本不是出于兴趣对待数学。你出比较出色的成果后，待遇想不上都不行，而不是相反。作
为普通教师这样想，是多替自己捞好处。但想成为杰出数学家，这样就玩完。
8）国人对基础科学的偏见。不明真相的绝大多数国人把科学等同于技术，不出经济效益，军事效益，就是无用，论文不产生具体成果就会被认为浪费
资源。基础科学不是以为人类经济效益为目标的，做多经济进步是副产品。基础科学是用来探索自然的，不以功利为目的或首要目的，尤其对理论数学
家或物理学家具体个人而言。但是现在很多人，包括很多学者，鄙视（应该很多是嫉妒）发SCI论文的人。论文是表现基础科学的唯一形式，重要论文
的历史价值远大于有形物质文化遗产。可以理直气壮地说，基础科学就是要浪费资源的，一个文明的社会必须要容忍这种浪费。容忍整体浪费并不等于
容忍个人浪费，不合适从事基础研究的个人，不应该在这个位置上呆。
9）过度用他人来励志自己学习数学。这是比较坏的想法，因为你自已没有那个名人等同的条件。纯数学研究行为不应该被鼓励，只要少数精英就够了
，其他人就做一般中小学或非研究型学校教师或应用数学去做其他功利性事务就行了。

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千禧年数学难题

尽管Clay数学研究所提出七个重要数学难题，但是它们在数学中或数学家心中的分量并不相同。很明显，Riemman猜想，Poincare猜想和Hodge猜想在数
学界影响更大，其中Riemman猜想排第一，Poincare猜想次之。
就个人而言，Yang-mills最重要，Poincare猜想次之。这涉及到物理、几何、拓扑、代数和数论的关系及评价问题。
Riemman猜想的直接目标比较狭隘，仅限于数论，就算Riemman直接解决了他自己提出的猜想，这个成就的重要性还比不上他的非欧几何和复Riemman面
这两个成就。
Poincare猜想的直接目标也比较狭隘，仅限于拓扑，但拓扑的重要性要高于数论。当然不排除Riemman猜想在解题的过程中得到重要的几何或拓扑构造
。解决Poincare猜想没有带来通用拓扑构造令人遗憾，因为它比Riemman猜想更有机会。但这不妨碍比较直接目标。但这个比较会引起代数尤其数论方
面人的不满，因为谁不想被关注重视。
制造代数的目的是为几何服务，即便最简单的整数也是为离散几何服务。几何进展是创造代数的源泉，创造一个新代数结构必须为它找到几何新结构。
哈代的纯数学无用论现在已经被否定。数学尤其几何仅仅是探索自然的工具而不是现实本身吗？随着物理发展，几何逐渐成为物理底层的解释基石而不
是物理的应用，这就意味着几何本身朝着是宇宙的现实的方向发展。绝大多数或最重要的数学巨匠是数学和物理双栖，剩下的他们的成就都能找到物理
实现。如果要到达顶级数学深度，必须在几何和物理上作出贡献。
物理的未来在于几何，而最深刻的几何和拓扑正隐藏在当代物理理论的冲突中，Yang-mills正是一个最突出的物理构造，而未来几何拓扑新构造需要通
过它来透视。Poincare猜想只是这个纤维丛构造中的一个拓扑大类。现代数学首先面临新拓扑构造强力瓶颈，而它也导致一个新代数瓶颈。因此要求数
学家首先要有几何洞察力，然后是代数解析力。可以说，现有所有厉害的数学构造完全无法对付现代物理更高层次困难，顶级物理学家的几何洞察力已
经超过顶级数学家，很遗憾，尽管一些一流数学家在进入物理领域，但真的无法理解现代物理。
那些还抱着数学是形而上学的工具思想已经不适应顶级数学工具锻造的要求。没有突破性思想和构造，不可能有重大数学进展。

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本帖最后由 wcboy 于 2012-8-20 09:45 编辑

数学家和物理

数学和物理的纠缠是人类最重要知识财富发展见证。随着时间推移，几何和物理分离认识的观点（即几何形而上物理现实论）会被证明是错误的。从阿
基米德、伽利略、牛顿引力、相对论及量子、最后到超弦，物理几何逐渐在底层合并。
在当今理论物理界，为什么Witten、Vafa、Nima和Penrose会被物理人羡慕，因为他们能同时通吃物理和数学。光熟悉数学是不够的，没有好的数学能
力或极高的数学鉴别力（比如Weinberg，Coleman，爱因斯坦），没可能作出物理理论重大突破和认识。
最顶级的数学巨匠和某些厉害的准巨匠，没有一个不会对物理作出贡献，直接贡献或他们的理论构造在物理广泛通用的。Poincare，Guass，Newton，
Euler，Cauchy，Lagrange、Laplace、Fourier直接双栖，Galois group，Hilbert space， 爱因斯坦-希尔伯特场方程、诺特的物理对称守恒双定理。
当代一些一流数学家也进入物理领域，比如Connes，Atiyah和丘成桐，他们只能说是熟悉物理，而不是较深理解。Connes用noncommutative geometry
去构筑量子引力基本被物理学家无视，就如Smolin的loop quantum gravity理论一样，Smolin对几何的理解也不到位。物理的深度和几何的深度是共鸣
的，Witten的理解目前来说是最深的。
如果Riemman能活到爱因斯坦时代，他应该比爱因斯坦先明白广义相对论，从他的论文最后文字看，他完全在内心预见了未来物理结构，只可惜没有实
验数据来验证。
顶级数学巨匠也给顶级物理巨匠带来巨大挑战和压力，比如Poincare和Hilbert分别先于爱因斯坦得到更加数学形式正确狭义相对论尺缩方程和广义相
对论场方程，尽管Hilbert物理理解不到位而Poincare只差毫厘。
到现在为止，gauge theory、量子重整化、拓扑场论的几何困难，对目前已经成名的数学家是无解的。
就个人观点，如果一个数学家试图用公理体系去构筑数学理论，则基本属于江郎才尽。最没用的数学东西就是公理，最有用的是计算构造,Riemman用一
个计算构造摧毁了几何的公理体系，但Hilbert又试图建新的，最后失败。Euclidean平行公理的接受度高是因为它符合我们对现实的感觉，但是这种感
觉被相对论摧毁。因此数学的构造仍然是讲实用，不实用就没生命力。正是实用限制我们胡乱建公理体系和胡乱抽象化。

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逻辑和哲学的缺陷

逻辑在数学中效用被一般人和大多数科学人甚至不少数学家大大地夸大了，认为凌驾于数学之上。数理逻辑被赋予超过它价值的过誉名声。
从他们的文章来看，很多数学大家也只具有自然逻辑的水准，达不到数理逻辑人那种逻辑水平，难道这些人造逻辑强悍的数理逻辑人不比数学大家更有
资格和能力获取重大数学成就吗？逻辑强并不等于数学强，相反在某种意义上，强大的习惯化的“人工逻辑”还会阻碍获取重大成就，这显示了逻辑是
有缺陷的。
纵观整个数学成就的发展史，在一个重大数学进展中，数学直觉的重要性远远大于逻辑，关键突破总是来自稍纵即逝的灵感。直觉属于异禀的天赋，不
是人人都有，而逻辑覆盖范围要广泛的多，而且僵化，天赋要求比较低很多，绝大多数人都有自然逻辑，人工逻辑非常程式化，并不难学，逻辑基本属
于后天的。
Godel的工作在本质上宣告了人工逻辑的局限性。逻辑在无穷结构上碰到了它的致命死穴。逻辑不是万能的。逻辑产生于人对实际世界分化的认识，从
本质上逻辑也产生于实用而不是高于实用。逻辑自产生起，就与哲学思考天生而自然的混在一起。哲学很大程度上是源于人自身价值观的需要，将初浅
的价值观逻辑地与对自然和自身联系在一起。由于自然科学或数学开始的时候过于初浅而原始自然，哲学和逻辑甚至宗教就很容易渗透进来指导。然而
更深入的数学进展，哲学和逻辑的割裂认识观的缺陷就被暴露出极大的隐患。如果两个非常主观的哲学人进行逻辑辩论，那么谁也不会被说服，一为逻
辑可以诡辩，二为强烈的个人主观偏执狂的排他意识。显然这与数学和物理的要求是背道而驰，哲学没有自我进化功能，如果它否定自己就等于它完蛋
。
逻辑和数学都源于实用，那么逻辑就不能凌驾于数学之上，因此数理逻辑那些形而上学的关于数学基础的内容苍白而实际作用基本为零。数学强大的实
用不会为数理逻辑的数学基础所累。
数理逻辑只能在数学基本构造被建立后才会发生作用。比如在整数构造被建立后，只有基于整数的计算才有逻辑可言，而不是整数系是逻辑构造的，它
是一下子被构造的序结构，不需要逻辑。逻辑只有在计算构造之后才起作用，而不是之前。计算构造源于对合适实用性的直觉。在数学进展中，直觉是
第一推动力，逻辑是用来擦屁股的，是用来掩盖发现直觉的，是在拆脚手架，也就是给后来人学习用的。你不了解数学家的直觉，你就不知道脚手架工
程是如何搭建的，你就不可能走进数学发现或发明的道路。
直觉就是对复杂性结构的掌控，并在万敌丛中取上将或元帅首级的快速能力，它是反逻辑的。

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天智全才
数学历史成就上比Newton强或不相上下的人不少，物理历史成就高过或接近Newton的也有三四个。但将数学与物理放在一起考虑时，几乎无人超过他，
能与他接近的恐怕只有一人。
Gauss与Riemman或许在数学上超过Newton，Gauss在电学上还有贡献，但完全在物理上难与Newton相提并论。Einstein在物理上超过Newton，Maxwell能
接近Newton，但他们的数学在Newton面前完全不值一提。
Archimedes也是一个数学物理全才，但是他的理论难度，广度和深度都与Newton有不小差距。
唯一能接近Newton的人是Poincare。Newton和Poincare是历史上唯一两位物理和数学几乎并驾齐驱的全才，Newton没有缺陷，Poincare物理相对较弱。
Poincare数学显然强过Newton，Newton物理高过Poincare。就个人而言，Einstein和Poincare共享狭义相对论。一个二十几岁Einstein和五十左右的
Poincare竞争并不是一个值得炫耀的事，况且五十八岁（1912年）就去世了，所以没机会，时间和精力去搞广义相对论。假如30岁的他活在同时代，恐
怕Einstein没机会染指两个相对论。
无论如何，Poincare在数学和物理体系上的完成度不如Newton，但是他的体系难度却高过Newton很多，包括他对N体的研究。
Einstein是物理王者，Gauss和Riemman是数学之王，Archimedes太弱，但他们都不是无以伦比的智力之神。历史上所谓的无以伦比的四个人中，只有
Newton和Poincare才配。虽然Newton是无以伦比第一人，但个人更偏爱Poincare。按当代趋势，理论物理最终会融入几何拓扑的熔炉中成为一体，也就
是，理论物理就是新几何。新几何学统一相对论与量子力学。超弦与M理论只是一个极其粗糙的过渡。尽管Witten也是Archimedes版的全才，20世纪以
来无人能与他相比，但是他的数学尤其几何构造实现能力比Poincare和Newton差很远。Witten尽管数学已经比绝大多数纯数学家都强，但最后还是要倒
在数学上。尽管Witten有目前世界最强拓扑洞察力，但这个洞察力不足以帮他解决全局拓扑问题，因为解决全局拓扑问题需要超过Poincare的洞察力和
天赋。
无论如何，正是对数学与物理的全面深度掌握，个人对Witten的喜爱远超过Grothendieck，尽管后者也极度欣赏。

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几何与几何人物
几何不如数论，代数和分析等那样细化，多样，抽象和机械化。显然历史上绝大多数数学家对数和抽象数的兴趣远大过对图形。数间关系很容易衍生推
进，绝大多数数学家的数的敏感性高于图形洞察力。数比较抽象，而图形是形象的。数学家比较崇尚抽象美。3维空间以下的几何图形所有数学家甚至
一般人可以不费力想象，但4维空间以上图形就只有真正的少数几何学家能看出图形门道。这种门道不是高维代数或分析方程或抽象群这样简单到数学
家都能知道的东西。
在几何中，代数抽象远不如几何形象重要。如果一个数学家不会在脑袋里想象一个几何图形并看清楚它，他是不可能看到重要的几何构造的。正是这个
缺陷阻碍了几何学家在高维图形上取得真正有效的 进步。几何构造比代数少多了，但远比代数构造难度大太多。一个几何重大构造需要一系列重大代
数构造来联合表示。这就是在20世纪以前绝大多数数学家只喜欢3维空间中的1维和2维图形的原因，这也是当代数学家对高维代数及微分拓扑绝望的原
因。能够看见高维几何结构并有效分析的人一定是超级数学天赋携带者。现代几何拓扑真正在等待一个不世出的巨匠给人展示如何看高维图形。

几何上的历史重大里程碑和巨匠人物。显然，坐标引入和微积分创建及微分方程并非真正地理解几何，它们只是几何的重大代数构造技术。
Euclid的几何原本只是初等几何的大杂烩和粗糙公理体系引入。欧几里得只能是一个引入者和整理者。第一个真正有意识并有效区分不同几何图形者是
Apollonius在圆锥曲面上的曲线分类，它的分量贯穿整个几何历史并延伸到现在。
下一个高峰是Gauss，Lobachevsky和Bolyai的非欧双曲几何和Gauss的微分几何创建，Gauss对通用曲率和通用测地线引入才是真正几何构造的重大进展
。三人中，只有Gauss才配称巨匠。
下一个高峰是Riemann的非欧几何和复几何。Riemann度量统一了所有经典非欧几何并最终在相对论中成为主宰。Riemann曲面使复几何多值结构在高维
实几何中实现单值化，没有Riemann曲面，量子场论没法生存。凭这两个贡献，Riemann是无可非议的几何第一人，甚至数学第一人的候选者。
下一个高峰是Poincare的拓扑学。Euler，Gauss和Riemann都可看做拓扑学的早期引子，只有在Poincare引入同调和同伦后，拓扑结构才算真正创立，
因为只有如此，才可能看到高维。但Poincare的基于同调和同伦的拓扑结构只相当于Gauss的非欧或微分几何水准，没有达到Riemann的非欧构造的深度
，也就是粗糙拓扑结构。今后拓扑主结构一定是非Poincare构造。
最后一个高峰是Élie Cartan，Levi-Civita，Ricci-Curbastro 和Christoffel的微分几何。尽管这个里程碑来得不如前面重要，但也是几何历史绝对
里程碑。这些人中只有Cartan配巨匠或准巨匠称号。联络，活动标架，微分形式，和乐绝对补充了Riemann和Gauss在考虑曲率和度量结构遗漏的重大几
何特征比如parallel transport。
Klein的Erlangen纲领是一个推动几何发展的重要步骤，但不是里程碑。实际上，两个图形的被认识在几何拓扑上是里程碑，它们就是Mobius带和Klein
瓶，由它们引发的几何构造只有在这个世纪才可能认清，不只是非定向性那么简单。

在Cartan以后，个人比较欣赏的几何拓扑贡献来自于Edward Witten，Hassler Whitney，John Milnor，Heinz Hopf，Vaughan Jones和William
Thurston。尤其Witten和Whitney。目前物理学家对高维空间的驱动需求远超数学家。数学家卡死在3维和4维流形上，以Simon Donaldson为顶。

Witten凭借其对数学和物理的通吃成为Poincare之后的唯一一个小级别的通才，他的M理论尤其体现了他的雄心，他一直想提升和超越superstring和量
子场论中微扰技术的局限，但是他提取有效构造的能力明显也受到他的数学天赋的限制，注定达不到上面那些人的级别，甚至不如Grothendick，但他
看到的东西的深度和广度要远超过Grothendick。在当今物理界数学能接近Witten只有Roger Penros。Penros对相对论理解不在Witten之下，天体物理
要在Witten之上，但对量子论和凝聚态理解比Witten差太多，对全面物理的理解明显低于Witten。Witten的数学面比Penros要广，尤其代数几何和高维
拓扑。但Penros的数学着重点不同于Witten，他研究的东西难度同样不低，也会在未来揭示不下于Witten数学的重要性，或者说他们以不同方式研究相
同的数学和物理大结构，只是当代数学家还未意识到Penros重要性。总之他们走在不同方向上，但以后会发现他们之间的联系，不仅物理上，而且数学
上。他们都在研究同样美丽的数学结构。
Whitney某些东西在以后的拓扑进展中会展示一些令人吃惊的重要性。其实他得到了某些东西，但他本人以及其他数学家还没完全理解，或者说数学界
重视程度不够。
Hopf在某种程度上走在正确的路上，但现在人不能真正有效地推进他的工作。John Milnor在某种程度上也展示了有趣的东西。

下一个数学通才会将拓扑推到Riemann的高度，难度比Riemann大很多，并且很可能要像Poincare那样懂物理，不一定达到Newton高度。Einstein是瘸子
，如果没人提供数学，他只能成民科了。
一个重大几何结构必然会覆盖广阔的数学和物理内容，只有天赋全面的超级人物才有能力做出综合判定。超级人物并非一开始就掌握所有数学物理内容
。如果如此，看大量的书和论文将极大浪费他的时间，以至于他成为不了未来巨匠。因此，巨匠学习方法是不同于常人的，是边研究边学懂。即使他以
前未接触过的内容，当他考虑到一定深度，他就自然理解了，不用看别人的书或概览别人的书（就更不用做大量无意义的浪费时间的习题，那些题根本
不如他的课题重要，他只要解课题和课题相关的练手题），靠自己的天赋，理解比别人更深。就如Grothendick那样不需要看多少别人的书，他就写书
让别人看。这就是靠天赋做研究的极端式方法，只适合于超级人物。如果你做出来的东西没有增进对已存在的主要数学物理结构理解，甚至粗暴地否定
它们，可以说这样的人肯定是民科。因为未来巨匠一定会理解过去和现在巨匠的东西，他们能够进行心灵对话。比如未来巨匠不可能不理解
Grothendick的主要构造概览和关键细节，比如Grothendick topology和motives cohomology， 当然他不需要理解所有Grothendick的细节东西，并不
是所有东西都合理和有用。
一旦未来超级拓扑结构被弄出来，其包含的内容将远超过Langlands纲领所包括的内容，无论是几何方面或代数方面。这其中蕴含的概念可能与当代有
更高层次冲突，并通过合理构造来取代当代概念，尽管从某些外形上可能“民科”（以现在观点），但实际内容大大不同，比现在有更有效更让人理解
的实用数学构造，就是更真正增进对物理的理解和用新计算技术解决具体的数学“习题”。

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物理，实验和数学

物理理论必须反应实际世界的运行。这是否是说物理模型完全由实验决定？那么历史上最成功的理论物理英雄是如何看待实验和数学在理论物理中的作
用的？
我们必须信任实验吗？第一，不少人为拼数据作假；第二，精细而复杂的物理实验完全可能出错而很难发现；第三，有些实验是不可能做的；第四，有
些实验都不知道往哪个方向入手；第五，即使实验出来了也不知道怎么处理。因此，要完全依靠物理实验来建立物理模型是不现实的，极其困难的前沿
实验不能完全被信任。最厉害的物理大师有选择地捕捉到有价值的实验。Einstein对物理实验就是有选择信任的，比如狭义相对论只选择相信光速实验
，而广义相对论基本与实验无关。Dirac的相对性量子模型则完全是数学美学的结果。很多物理学家强调数学美学在物理的极端重要性，比如Weinberg
。目前的M理论就不是由实验建立的。
尽管标准模型能解释很多东西，但是物理学家完全靠实验来建立统一广义相对论和量子力学的模型基本上是不可能的，因为实验室的高能限制是非常明
显的。实验不可能获取大爆炸的高能条件，即使满足弦论最低要求能量条件都几乎不可能。

自然界中同时存在两个正确而互相矛盾的物理模型，这不是自然界的错，而是物理学家迷失了重大拼图片。引力能否量子化，暗物质与能量能否解释，
黑洞内部能否探查和多宇宙的存在性，实验基本不能达到目标。这些丢失的拼图唯有靠数学尤其是几何才能找到。物理模型的冲突在于我们几何理论的
重大拼图的迷失，在连续的统一场中如何实现规范场的离散的几何量子化和拓扑化是关键。如果新几何不能完全弄出来，物理学家不可能从理论上解决
他们的主要问题。因此，要么数学家弄出来，要么最强的物理学家同时变成最强的数学家。没有数学创造力和领悟力的物理学家在解决最基本的物理冲
突中只能靠边站，发灌水论文。
只有整个物理模型建立在几何解释之上，理论物理才能摆脱它的唯象论成分而达到一个统一理论。也就是说，物理必须与几何统一，实验只提供具体参
数。
不是所有的实验都是有价值的，不是所有的实验的价值是可辨认的。实验不是检验现实世界的唯一途径。有些现实世界是永远不能被有限实验检验的。
在未来，所有理论物理学家都必须是数学家，而数学家不必是理论物理学家。

一个学科只有与数学结合越紧密，则越像一门科学，比如物理，计算机。像生物学那种几乎没有数学深度和门槛的学科，只是唯象论的经验，完全是一
个劳动密集型的手工作坊，所以很容易靠枚举型实验发非常多的灌水论文，甚至随便都是“创新突破”一个生物学分支。所谓的交叉科学多半都是忽悠
人的学科，它们是大工程而不是科学，数学门槛极低，当然对那些从事的人来说，他们是不会承认数学门槛低的，在他们眼里方程和分析就是高深了。

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菲尔兹与诺贝尔

菲尔兹和诺贝尔被研究人员与普通大众推向神坛，获奖人被罩上牛人与神人的光环，在基础研究中具有顶级学术地位。很多人和种族和国家有严重的菲
尔兹和诺贝尔情结，以菲尔兹和诺贝尔为基础研究的学术奋斗目标。
所有菲尔兹和诺贝尔获得者之间有不同等级，有些被它们漏掉的人比获奖人更厉害。诺贝尔奖还出现过错误，在多年后闹笑话。菲尔兹和诺贝尔靠少数
人添光，比如Einstein，Dirac，Feynman，Grothendieck；而更多的人靠菲尔兹和诺贝尔增光，这些人的等级是不一样的，因此学术人是一定要分等级
的。不分等级和谐一团来抹杀更牛人的功绩，一是人品问题（是自己种族就吹，非本族就贬），二是能力问题，三是分支偏心问题（与自己有关就吹，
无关就贬）。学术研究不可能每年或每四年就出重大突破，大部分年份是平凡年，大部分情形是将奖项硬性颁发出去。重大突破具有随机性，并且不同
人对重大突破的判定标准不同，大部分人将标准降得很低以便囊括尽可能多的人和自己中意的人和分支，或者大部分人因研究深度不够将一些人高估。
当代一流人物不等于历史一流人物，历史一流比当代一流有价值多了。绝大多数当代一流都不可能是历史一流甚至二、三流。每一次里程碑式进展让这
些当代一流中的很多的历史价值急剧下降。比如很多分支领域中人造“大问题”在当代来看非常厉害，但以更大范围和更深研究来看，只有少数人才能
看出这些人造“大问题”的狭隘。很多艰难无比的东西并不是好东西，这在数论中尤为明显。很多因为理论物理暂时用上的狭隘“重大”特殊几何和代
数结构因为物理进展而会在将来的调整中被抛弃。
你可以跟踪菲尔兹和诺贝尔获奖者的研究，但不能将他们用来评判研究厉害程度的标准。当你自己的研究深度不够，你就跟在这些当代潮流后面随大流
是有好处的。当你深度很高并以超过那些人时，菲尔兹和诺贝尔的评判标准没有任何意义。就本人而言，绝大部分菲尔兹和诺贝尔的含金量不高。一般
人很多，当代一流就是其中，历史超级人物是少数，并且是不用十个甚至五个手指可以数出。因此，做基础研究不能大事宣扬突破创新的口号，一般突
破不可能日新月异，甚至不可能十年新百年异，大部分人要安心做垃圾论文，并且要劝退有兴趣激情没能力天赋的不合适的人。
很多人看到基础研究十数年或数十年没重大进展，就下一些基础研究的到顶和超级天才不再出现的论断。历史超级天才百年才几个？甚至一个可能都没
有。你活着看不见是正常的。

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基础研究，工程科技，经济发展和研究强国

现在基础研究被泛化了，很多工程技术的东西都被冠以基础研究。基础研究主要往理论上靠，研究目标就是要去掉唯象论和经验而被数学化。同一个实
验既可以支持理论发展也可以支持工程发展，实验是中立的，因此实验本身不能算基础研究。很多应用数学工具建模的学科与数学没有紧密联系，它们
只能是工程技术。只有那些被数学化而变成不可分离的部分时，学科的基础化就越高。

基础研究就是一个学科数学化的过程，其学科本身对数学发展不可缺少。因此金融数学，生物甚至化学都不能是基础研究。只有数学和理论物理（而不
是实验物理）是真正的基础研究，想一想理论物理中实验只是其一部分作用，剩下的都是数学。说到底，只有数学才算终极基础研究，因为理论物理最
终会变成几何的一部分。
基础研究的目的是理解自然和宇宙，而不是直接去获得经济好处。进行有效基础研究的两个必要条件：对自然秘密的浓厚兴趣，自然赋予的天赋探究才
能。
现实是很多没有数学含量的东西都往基础研究上靠，想沾光基础研究以引起世人注意来为自己拉经费和赞助。事实上，数学的研究费用很少，比起其他
，可以忽略不计。

一个国家经济强大和先进，主要是它的工程科技的强大，而非基础研究的强大。一个基础研究世界第一的国家，其工程科技不一定世界第一，尽管工程
科技要靠基础研究，但它可以应用那些已经存在的基础理论。
一个国家认为经济强大了，就能达到世界领先的基础研究，那是幻想。一个其精英人物从来没有思想自由和对自然渴望探究的基因和传统的国度不可能
在基础研究中有太大的作为。即使美国，日本经济上强大，其数学研究比法国，德国，前苏联不如。
一个基础研究强国必须要有几个主要的一流强校和机构和自由思想的体制和崇尚科技的民众，比如普林斯顿高等研究院IAS，巴黎高等科学研究所IHES
，剑桥，普林斯顿等。所谓一流强校，必须拥有一流当打之年的学术大师作为招牌。所以基础研究强国主要是比人才，没有几个超级和一流大师撑场，
所谓研究强国一流强校就是空谈和笑谈而已。
美国经济这么强大，其本土也没有超级数学巨匠出现过，尽管一流人物不少。Grothendieck们只出现在法国。法国，德国，英国是历史最强的基础研究
强国是因为他们人的基因和传统。即使它们退出政经舞台，它们的基础研究仍然不是他国所比。

以前经济不发达，基础研究搞不上去有借口，现在经济进入大国行列，基础研究还是搞不上去，仍然有借口，就是不愿承认自己不行。
Abel很穷没有固定工作还要养他的弟弟妹妹，Galois身处动荡时代，Gelfand身处前苏联，为什么他们能作出成就？现在国内很多人手握有研究巨资和
一大帮助手还是无能，同时众多身处底层的研究人员还认为是自己的平穷拖累了自己的研究前途。为什么所有的人都不从自身上找问题而喜欢从外部找
替罪羊，国人基因使然。
如果你穷抱怨，那么你可以不结婚，不要小孩，不要做房奴。如果不放弃，那么说明基础研究在你那里不重要，你的兴趣并不大。
如果你手握巨资或者不发愁的工资，你还抱怨，那只能是无能。人不承认自己无能是因为想要更多特权和享受名声。 金钱至上和学而优则仕是国人基
因和传统，这样的人群无法在基础研究中有大贡献。基础研究是普世的，而不是特色的。

国内的数学家懂高深物理吗？国内的理论物理学家懂高深数学吗？国内物理人只会方程解析，国内数学人爱好数论。国内就根本没有同时对物理和数学
深度理解的基础研究人。这样的环境能出一流人物吗？超级人物就更不用幻想了。为什么国内人要强调基础研究的多人合作？因为掩盖无奈。基础研究
不是靠人海战术取胜，一个超级人才强过一大帮一流人才。独立研究是第一，合作是添加剂而已，可有可无。如果你强，合作者拖后腿，而且还有优先
权之争。独立研究大问题是基础研究的最高境界。
一个国家的基础研究很
弱而研究人员普遍眼界很低的情况下，从基础研究强国引进人才是非常明智的，这是因为不能直接拥有一流大师就退而其次拥有大师的门徒而间接获取
大师的思想和风格。问题是没有自由学术土壤和制度去清理那些特色的传统垃圾，引进也会被同化，比如学术欺诈，造假，抄袭泛滥。一个对知识产权
不尊重的国度，基础研究也是不会被国人尊重的。

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华裔(意指华人数学家和理论物理学家)

华裔数学家中比较引人注目的无非陈省身、丘成桐、周纬良，陶哲轩、华罗庚、陈锦润和新近的张益唐，物理也不少，主要是杨振宁、李政道、丁肇中
、朱棣文和崔琦等。其中比较值得称赞的是杨振宁、陈省身、周纬良和丘成桐，尤其前三位。
在数论中，两个方面比较重要，一个是素数分布pattern，一个是有理点在丢番图方程分布pattern或solution（算术几何）。素数分布最重要的是黎曼
猜想，如果有比黎曼猜想更重要的，那一定是所有素数的生成公式或通用过程。任意长的素数等差数列，孪生素数和哥德巴赫的价值就差很多。个人认
为孪生素数比哥德巴赫要好。如果获得所有维数下丢番图方程的完整的通用分类和解法，那么其重要性不比黎曼猜想差，但个人不相信存在通用解法。
一个特殊情形就差很多了。另一方面，如果解丢番图方程和黎曼猜想中得到重要通用数学结构将是了不起的，比如算术曲线计数问题和模形式方面的问
题。
尽管这些人能在数学物理上留下一些脚注，但个人认为陶哲轩、张益唐、华罗庚和陈锦润并不是多重要的数学家，尤其跟陈省身和周纬良比。

国人对华裔数学家和理论物理学家的吹捧太过，尤其对杨振宁、陈省身和丘成桐。比如杨振宁的“欧高黎嘉陈”，一方面是杨的数学能力问题，另一方
面是杨的人品问题。陈省身应该是最好的华裔数学家，个人认为他最好的东西是Chern class和Chern-Simons，高斯-博内一般公式的内蕴证明没什么了
不起，高斯-博内公式才了不起。Chern class是一个联系拓扑和复微分几何的桥梁，一个很美的通用数学结构。尽管如此，Euler示性类是更核心的东
西，陈类在几何上有很大局限性，并且作为一般拓扑不变量，在拓扑中没有很高地位，主要是两方面原因。其一，作为数系，复数比实数有更大的代数
范围，能解决实数计算的局限性，但是作为几何图形，复几何是偶数维的而实几何是任意维的，即实几何包含复几何，因此实几何更基本和更难，陈类
不能在实几何上用。其二，从几何图形的拓扑结构来说，Euler示性类也是一个粗糙的东西，陈类也是如此。在几何拓扑上，我以前提到的几何人物对
拓扑的理解都比陈省身强，还有一些没提到的，比如Kontsevich的拓扑理解能力也在他之上。
丘成桐的自我膨胀很厉害，俨然华裔数学霸主，甚至可以藐视陈省身。他的学生和追随者也不遗余力地吹抬。从学术上讲，他是目前华裔数学第一人，
历史上第二人，应该不是太大问题的（不过个人更欣赏周纬良的工作）。丘最引以为豪的是他的Calabi–Yau manifold上的工作，一个与爱因斯坦真空
引力场有关的几何物理工作。丘的重要性主要是超弦理论将他托到一个较高的位置，如果超弦成为一个真正确定的物理实现，那么丘的成就可以与陈省
身并列，个人认为不可能。为了统一相对论（引力）和量子论（标准模型），Witten等人将Calabi–Yau manifold作为唯一能找到的东西直接嵌入拟合
了事。Witten为了他的超弦和M理论，不断地在数学几何大观园里随意出入，搜寻合意猎物，从Calabi–Yau manifold，Chern-Simons，Jones
polynomial等，来处理他的拓扑共形场论，包括他自己的一些发明，都不是太满意。比如时空可以是任意维数，那么偶数维的复几何就会有问题，所以
Chern-Simons就会碰到推广障碍。尽管拟合用Calabi–Yau manifold很爽，但弊端也就出来了。尽管相对论和量子论使用了特殊形式的具体方程，但它
们通用构造是很清楚的，比如时空统一转换，质量弯曲转换和傅里叶概率构造转换。超弦用Calabi–Yau manifold这么一个特殊几何结构而失去了通用
性解释。我相信，统一物理结构必须使用通用数学构造来解释，具体模型用具体的确定的方程式。丘成桐是一个解题型数学家，全局观不如陈省身。本
人对他鼓吹的几何分析极端反感。所谓几何分析，不过是用复的、辛的微分几何的数值分析和逼近分析几何图形的几何拓扑特征，没有什么大的了不起
的东西，不须猛吹。本人很反感用微分几何技术迂回处理拓扑问题，尽管能证明一些东西，但不能看到更深内容，比如用Ricci流技术解庞加莱猜想没
有带来实质拓扑进步，就是庞加莱本猜想身不相对重要，藏在它身后的通用拓扑工具才绝对重要，因为球是最简单的拓扑封闭形，那我们用什么辨认更
复杂的形呢？从这点讲，Ricci流没有大的拓扑价值，这不是很令人失望吗？从这里可以看出，尽管丘懂不少拓扑和物理内容，但在这方面没有什么洞
察力，不如陈。
如果未来物理理论抛弃了Calabi–Yau manifold，这是不意外的，但是丘成桐的学术地位下降很多这是确定的，丘研究的东西是一些特殊而艰难的东西
，而陈的东西有更高数学收藏价值。但无论如何，通过Calabi–Yau manifold引入还是得到不少漂亮东西，比如代数几何曲线的计数问题。从这一点讲
，丘比陶哲轩、张益唐、华罗庚和陈锦润强不少。
总的来说，对华裔数学家，即便陈省身和丘成桐，他们的学术风格、成果和对数学的整体看法，个人不怎么欣赏，评价都不高。

国内物理人和大众对杨振宁的吹捧远超数学人对陈丘二人的吹捧，至少说明大部分数学人还是理智的。有人居然将杨列为历史前三，可见无耻无知。首
先要说杨的工作是非常不错的，至少杨在物理界的地位要高过陈在数学界的地位。杨最值得称道的是他和李的宇称不对称和他的Yang-mills工作，尤其
后者。正因为如此，有不少人认为他是一流数学家。可笑，难道那些一流数学家都死光了？其实这只能说杨有非常高的数学鉴赏力，马上发现他的东西
和陈省身的工作的联系，就如Einstein，Dirac，Maxwell，Feynman，Weinberg等人一样，但他不是Newton，Witten和Penros那样的人，他的“欧高黎
嘉陈”准确地反应了他的数学水平。杨和那些比他厉害的人不一样，他对Yang-mills真正的彻底认识也是事后的。尽管他的东西影响到标准模型的最终
确立，但是他本人不具有全部标准模型Credit，Einstein，Newton，Maxwell和Dirac是赢者通吃而且体系和思想完整，Feynman的方法对量子场论的计
算是非常直接的，量子论的Heisenberg和Schrödinger用公式确立了量子概率结构，这些人都比他强。而还有些量子论和标准模型建立者也不弱于他。
那些懂行的人主要推崇Yang-mills的数学统摄力，那么他的数学力如何呢？Yang-mills就是一个纤维丛构造。数学上早就有一般纤维丛理论了，很平凡
，不平凡的是纤维丛的通用表示理论，这个现在没出来，并且非常艰难的东西，一流数学家没能力解决它。这么说，Yang-mills本身的数学价值不太大
，藏在它身后的东西的数学价值大，凭杨的那点数学能力，这个东西杨想都不要想。
国内有些物理人通过鄙视Witten来抬高杨。那就是Witten的东西是玄学而不是实证物理。太多的物理人嫉妒Witten的数学能力了，无论国际或国内，所
以他们拿这个理由来贬Witten。但我要说，即使Witten的M理论被其他东西取代，Witten还是要比杨和很多人强，无论数学或物理。Witten对理论物理
的掌控二十世纪中是无人能敌的，即使那些量子论创始人，我认为他不比爱因斯坦差。最终物理地位比爱低，他主要输在数学上。没有正确的数学模型
出现供他使用，尽管他自己数学好得一塌糊涂，但还是功力不够。
无论超弦或它的终极版本M理论，个人看来，Witten最重要的东西不是Calabi–Yau manifold下的镜像对称而是他的将作用力与时空维数联系起来。在
他之前，Kaluza–Klein theory就已经存在，爱因斯坦也想过，可见他不是第一人。但是他是第一个真正认识到这种关系的人，这将在未来几何和物理
统一中充当最关键一步，怎么强调其重要性也不为过。他之前的人都不具备数学创造力而不能真正认识到这一点，他们是猜中的，所以不知道真正的数
学构造。只有知道数学结构才能算真懂，Witten就是而且唯一。Witten能想到Khovanov homology和Floer homology＆量子场论的联系就说明他真正看
到东西了。在他的M理论中，尽管满足了他的11维超引力模型，但是他不想限制p-膜的维数，即可以考虑向上任意正维数，向下至零膜甚至还有东西。
这说明他完全是开放的。Khovanov homology和Floer homology尽管是好起点，但是远远不够的。Witten受Donalson影响太多，考虑Whitney和Hopf工作
不够。而且Calabi–Yau manifold把他给限制了，其实统一工作，丘的东西不是唯一出路，当考虑任意维数时，丘的东西会出问题。要统一相对论和量
子论，目前的M理论肯定是不够的，肯定要做不小修改，但他对维数结构的看法一定会保留下来作为基本核心。总之，Witten的数学整体能力还是不如
Grothendieck。
物理未来主要构造，就是时空统一，概率和经典统一，维数统一。维数构造就是丢掉的几何拼图，但这种量子拓扑结构极端困难当代数学家无解，只有
Witten真正了解一二，多亏他的物理全面性。如果数学家不懂相对论和量子场论，那么数学家不可能解决量子几何问题，比如Connes就是在做无用功，
尽管非交换几何特征必须存在，但他的拓扑功力和物理洞察力太差。
记得繁星客栈一位叫Sage的网友将杨振宁与Hendrik Lorentz类比，非常恰当。Hendrik Lorentz第一个得到解释狭义相对论的公式，但爱因斯坦和庞加
莱才是真正理解的人。希尔伯特也得到爱因斯坦广义相对论场方程，但爱因斯坦才是真正理解的人。尽管Witten思想深刻远超他同时代物理人，也许过
低的体系完成度和一些重大缺陷会使其学术贡献打很大折扣，但Witten还是杨不能比的，相信以后历史会给Witten一个公平的评价。相比人品，杨的学
术还是不错的。

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俄罗斯理论物理学家Lev Davidovich Landau 和奥地利理论物理学家Wolfgang Ernst Pauli曾经感叹自己生不逢时，没有赶上20世纪物理的黄金时代，
而生在白银时代，否则自己可以做和爱因斯坦和玻尔一样的贡献。也许数学家有这种想法的少些。就我看来，就算把他们放在那个时代，他们也不一定
能弄出来。好像前人断了他们的机会，实际上，理论物理和数学的大机会从来没断过，只是他们看不到和想不到，在他们那时，爱因斯坦就在琢磨统一
场，尽管爱因斯坦能力不够，但那些认为自己的机会被抢的人从来就没想到过甚至嘲笑老爱落伍了，最终证明老爱没有落伍而是他们自己落伍了，老爱
之所以成为老爱，就是他能看到别人看不到，能想别人不敢想，考虑的大问题太超前了。只是他们不承认天赋和洞察力的差距而已。他们为什么不把自
己变成Witten，Klein，Kaluza和Grothendick呢？终归还是能力不够，视野不够。

数学是一门普适的通用技术，任何人都能学，关键是要进行合适定位。如果人群基数take一个金字塔，那么数学知识就take一个倒金字塔与其匹配，也
就是金字塔顶端少数人掌握最多最难的倒金字塔顶端的数学知识。不同天赋等级的人都可以对数学产生兴趣，但他的天赋决定他掌握多少数学。很多天
赋低的人认为勤能补拙，并认为天赋高的人不一定勤奋，我想这是错误的。一旦发现自己在数学的天赋，天赋高的人本身就对数学具有不可挡的兴趣，
这种兴趣引导他的勤奋，可以说绝大部分（实际应该是所有的）高天赋的都勤奋，只是程度不同。所以低天赋的人不要用勤奋来麻痹自己。低天赋的人
首先要找一个稳定的工作来养活自己，在这个基础上，你可以浪费自己的时间进行数学研究，尽管最终还是白费力气，但是很多人低天赋高兴趣的人喜
欢这样干，而且认为自己天赋不低，奉劝他们放弃是枉然的，最终他们中的一些蜕化成民科。
大部分数学系的本科或硕士研究生是不合适进行数学研究的，但这没什么，当一般学校的老师或中小学老师并不要高天赋，有位子后还可以进行白费力
气的撞大运的研究，也可以把恰当的数学运用到工程技术中去发展自己的其他能力，这都是不错的选择，业余还可以继续自己对数学的兴趣和欣赏和享
受其他数学家的成果美。数学是永远的工作，人类的数学必须靠数学教师和工程师来传承载体，但是顶级名校的研究教师职位永远是高天赋人的天下。
大多数人最多低层次地高兴趣地玩数学，如果你不懂高深数学内容，兴趣再高，那些高天赋的人是不会带你玩的，因为和你没法交流，比如众多民科一
方面攻击高天赋人，一面又要和高天赋人交流，但就是不愿或不能学会所需知识。实际上，一旦他们学会了那些，就不会变成民科了。民科就是一些低
天赋的精神病患者，幻想自己一统江湖。
任何人都可以学数学和欣赏数学，但要正确定位自己，不要无谓浪费自己的生命和家庭去做那些不可能的事，除非你有本钱支持。数学家只是一种职业
而已，没什么了不起的。但是大数学家的成就确实非凡，令人仰望叹为观止。即使做不了研究，能欣赏他人也是福分也是高水平。无论如何，多学些足
够数学是有益的，但要控制自己的时间和人生阶段。

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数学观念和计算技术

数学观念造就数学大局观和idea，计算技术制造具体的数学技巧。很多人看不起计算技巧，并且不愿意亲自动手计算一个具体的构造例子和物理计算，
认为是脏活。尤其受Grothendick高度抽象大局观的空前成功之后，轻视计算的观点变本加厉，除了物理学家，数论家和偏微分方程家他们非计算不可
，其他大部分人尽可能地避开计算。这种观念不是完全对的。很多东西只有通过具体计算以后才会真正认识，某些计算也会引导出深入的数学大局观。
当然，更主要的，没有大局观的计算没有意义，很多人的计算都是没有大局观的碰运气式的。

数学计算有两种类型，一种是试图使用和组合已有的计算技巧来解决数学问题，大多数数学研究者是这种类型。另一种是创造新的计算技术来解决问题
，只有极少数人是这种类型。大多数人喜欢使用旧计算技术，是因为天赋限制和惰性习惯，不能进行观念思考，这种情形是不可能取得深刻而重大数学
进展的。重大数学进展是需要观念先行的。同时真正深刻的数学进展是与新计算技术连在一起的。比如微积分，Galois的群的置换技术，复数计算技术
，拓扑中的同调与上同调技术，同伦技术。大观念与新计算构造是相辅相成。没有新计算技术，大观念要么是不能达成的，要么是空架子而不深刻或深
入，所以需要基于计算构造的表示论。发明新计算构造需要很高数学洞察力，一般数学研究者根本做不到。

很多重大数学问题是非要爆算不可的，即数学观念先行也不可避免爆算。本人很欣赏那些有大局观又能爆算的数学人。个人认为Grothendick的较软的
计算能力阻碍了他的很多深入机会。

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拓扑太软这个判断可以从两方面看。一个是它本身，一个柔性拓扑等价类可以对应无穷多个刚性代数簇，也就是说，一个拓扑形对应无穷多个几何形（
无论光滑与否）。另一个是它得发展阶段，从目前看，目前拓扑构造技术太粗糙和定性分析性质比例太大，显得它的刚性计算能力太低，不能像基于微
积分的微分几何和基于矩阵技术的群论普遍地处理物理问题，因此目前拓扑是软的。 正是后一个原因，我才说目前的拓扑处于不成熟阶段。这不是拓
扑本身的原因，而是到目前为止，几代数学家的技术积累受到了天赋能力的限制而不能看得更深更远。
拓扑重不重要是由数学发展呈现出来的。拓扑经历了Euler，Gauss，Rimann，Poincare到Witten这些数学物理的最顶尖人物的疏导汇聚成一股巨大的洪
流，它是整个数学全局尤其几何必须拿下的重大里程碑式桥头堡，不跨过拓扑，数学物理的大局不能突破。
你不能把拓扑作为一个独立的学科分支看待，尽管确实可以形成一个独立分支。实际上，你应该以上面那些全才式巨匠的眼光看，在他们眼里，无所谓
分支不分支，他们是跟着数学物理问题走的，研究走到这一步，必须看到这些问题并去解决，在他们眼里，拓扑就是几何的延续或更高阶段的东西，就
像数论，代数，抽象代数，代数几何这样，一步步走向更高，更深，更广阔的天地。在全才眼里，在他们研究问题时，他们不会用物理，微分几何，拓
扑，数论，代数这样的分支来看待自己的研究，这就是他们随随便便在任何领域或大多数领域或重要领域连续不断地出很厉害的成就。一般数学家或物
理学家是做不到的，所谓的很多大牛人一辈子只有一两项留名甚至脚注式留名。这完全是不同的研究境界。难道是巨匠们运气太多太好？这说明了天赋
不是和运气捆绑在一起的。
每个独立数学分支都有自己的独特内容，其他分支不能处理它，这是相当自然的。不是所有数论问题都必须靠拓扑来解决的。一门分支的很多常规问题
都可以在其内部获得处理，但那些极端重要和困难的非常规问题都不是该分支内部所能解决的，它们需要在整个数学物理范围内来靠其他现存或未来新
出现的分支来整合解决，其中新分支或构造带来新的数学物理认识，这才是数学物理发展中最有意义的东西，它们增进人类对宇宙秘密的理解。
群论是少数几个最高等级的通用计算构造，能在所有分支中广泛存在。即便如此，它也不能解决拓扑和物理的所有问题。实际上，群结构在拓扑中作为
拓扑不变量还是太粗糙了，也就是说， 拓扑结构比群结构要精细，这就是为什么几何学家要寻找其他表示构造来定义拓扑结构。但通过拓扑群可以看
到拓扑结构的很多重要方面。现代数论的很多重要方面也必须通过群结构和拓扑结构来窥视。拓扑突破不仅限于自身，而且也会为其他分支带来新认识
，尤其是对硬分析，物理和微分几何带来较大全新认识。就个人感知而言，拓扑比数论要难很多。数论的数结构和运算都是很机械的固定的东西，研究
者容易控制研究范围，拓扑就不是这样了。你首先就要找到合适拓扑结构和运算构造，然后再谈研究。如果选错了，研究就没意义了或只有局部结果。
尽管黎曼猜想很难，但拓扑中有比黎曼猜想更难的对应物，也就是拓扑素结构的定义与分布规律，它的代数结构远比素数难，看看那些极端困难而精细
的拓扑不变量几乎不能真正通过手算，即使计算机对简单情形都很难完成。

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精彩的计算

计算本身就是数学的核心灵魂，没有计算的数学走不了多远，就变成耍嘴皮的哲学和文学了。历史上有几个精彩的计算篇章，并产生了几个令人叹为观
止的计算天才。
在微积分时代，无穷级数和物理的计算竞赛导致了微积分的诞生，催生了一大批历史超级数学家和一流数学家，还有更多的二三流数学家。Euler，
Bernoulli家族，Newton， Leibniz， Lagrange，Laplace，Fourier， Eisenstein，Cauchy， Poisson，Gauss， Ramanujan，Dirichlet等等。其中
Ramanujan，Euler，Eisenstein和Gauss的计算能力尤为让人叹为观止。无穷级数的计算竞赛是历史上最惊人的计算。
下一个惊人的计算是Galois和Abel在五次方程可解性上的计算，最终导致现代群论的诞生。有限群的计算竞争达到最高潮，这绝对是人类仅次于无穷级
数计算竞赛的一次精彩计算。
Poincare在天体力学的单人独力精彩的微分方程计算最终导致了现代拓扑学的诞生。

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实际上寻找素数规律的计算也是数学史上精彩的计算。这主要指黎曼猜想的最终形成和基于素数互反律的形成。早期在这上面进行工作的人必须进行大
量的手工计算和进行数字观察实验才能提炼出规律，这在没有计算机时代是极端困难的工作。观察大量数字并找出隐藏很深的规律需要极端高的数感，
只有惊人的计算天赋才能完成。
Ramanujan和Eisenstein在级数上的工作跟modular form和有限群分类和string theory都发生了联系，主要体现为最大魔群的月光猜想（monstrous
moonshine）与超弦的时空维数的联系。这是一个非常美的和值得称赞的数学结果。
当然，本人不认同Gauss对Eisenstein的过誉评价，这可能与Gauss的数论价值取向有关。

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看大量的书不一定值得，要根据个人的情况，但是有的东西是必须看的，要看合乎自己取向的好书。下面是个人爱好，但不会适合每一个人。
1.Wikipedia数学和物理（英文版），在大部分情况下，你能找到你需要的东西，通过它和它提供的外部链接。
2.微积分和数学分析引论（Richard.Courant和Fritz.John）+常微分方程（V.I.Arnold）。
3.复分析（Lars V.Ahlors）。
4.代数（Michael Artin）。
5.代数数论讲义（Erich Hecke）。
6.域和伽罗华理论（Patrick Morandi）。
7.椭圆曲线和模形式引论（Neal Koblizt）。
8.曲线与曲面的微分几何（Manfredo. do Carmo)。
9.代数几何（Robin Hartshorne）。
10.微分拓扑（Morris W Hirsch）。
11.代数拓扑（william Fulton）.
12.扭结引论（Richard H Crowell和Ralph H Fox）
13.三维几何拓扑（William Thurston）。
14.几何和想象（John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston）。约翰康威应该是我非常欣赏的数学家，他搞的所有东西我都喜欢，
Bill Thurston就是William Thurston。
15.Witten的一些综述性文章。
这些都是个人喜好圈定的好书，这不等于说其他书不好，好书太多了，只要弄一些读就够了。

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不知道你对（狭义和广义）相对论的创立的具体历程了解多少，如果你真了解了庞加莱的论文内容和庞加莱当时的背景以及后人的争议性评价，你就不
会这么说了。在狭义相对论上，爱因斯坦并不具有全部credit。爱因斯坦能想到的所有物理思想庞加莱都想到了，并且先于爱因斯坦发表论文，仅仅只
是在同时相对性问题上犹豫了，后来反悔否定自己以前发表的论文因为选择拒绝同时相对性，至死拒绝狭义相对论，这是因为他对天体物理的痴迷而选
择牛顿时空观。是老年痴呆症让他晚年胡言乱语，从而丧失了他应该有的credit。
正因为庞加莱实际想到和爱因斯坦相同思想，以及庞加莱先于他发表正确的论文，让爱因斯坦感到优先权之争，爱因斯坦对庞加莱是有嫉妒的，在他去
世之前，他才释怀，终于承认庞加莱在狭义相对论上的贡献，也就是仅次于他的贡献。（原因可能在于，爱因斯坦有了意义更加重大广义相对论的几乎
全部credit，所以就不在意他人与他共享不那么意义重大的狭义相对论了，而且可能那时他变得宽容了和实事求是了，也相信历史或后人会认识到
Poincare的价值，何不做个顺水人情，留个美名呢。）
为什么同是爱因斯坦拒绝量子论，但被人承认他在量子力学的创始人之一的地位呢？因为很多人对庞加莱的数学身份带有色眼镜，不过历史最终还是承
认了他，尽管他拒绝了狭义相对论，首先他的论文是铁定的成就。
从狭义相对论与庞加莱的纠纷和广义相对论和希尔伯特的纠纷，可以看出爱因斯坦对优先权旁落的担心不亚于牛顿对微积分优先权的担忧，这些有书信
记录的，你可以在网上找的资料。因此，爱因斯坦和庞加莱在物理本质的洞察力上的问题不是那么简单的论断。
不懂事的公众和偏心的物理系学生对爱因斯坦是极度神化的，公众只知道爱因斯坦不知道庞加莱，这都是新闻宣传对结果。
另外，庞加莱还了解到了质量和电磁能量的等价关系，也是因为这个原因拒绝了，大概是上了五十，人变得保守，如果他是三十岁，也许是另外结果。
另外庞加莱等关于以太的看法虽然目前被主流抛弃，但是说不定以后以另一种方式回来，有少数物理学家和超弦学家承认以太，有一句超弦学家名句“
nothing is something"，我个人也倾向认为以太是必须存在的。弦景观理论是容许多宇宙存在的，这意味着基于目前特殊物理常数的物理模型，包括
爱因斯坦广义相对论，也是一种特殊物理在一个相对独立的局部宇宙中。谁敢保证多宇宙以后不会存在呢，以前不是出现过地球中心论，太阳中心论吗
？量子论与相对论的冲突迫使人们考虑更广泛的东西，甚至更激进叛逆的东西。如果人们遵循常规想法，那么相对论和量子论就不会诞生。

正是庞加莱坚持牛顿时空观来研究天体力学，阻碍了他接受狭义相对论，但却同时导致了现代拓扑的诞生又催生了基于混沌的动力学的研究，庞加莱在
天体物理上也刻下了自己的丰碑。这是不是看起来很矛盾呢，很不可思议呢？

物理与几何的统一是我个人的看法，没有知名数学家和物理学家这么认为，Witten也不例外。但是很多物理学家确实提到物理的几何化，这不仅仅是超
弦学家，杨振宁和爱因斯坦也是如此认为，请查看杨的关于爱因斯坦对二十一世纪理论物理学的影响的谈话就知道了，在此谈话中，尽管杨褒爱贬庞，
但还是事实地陈述了庞的狭义相对论的贡献。

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首先谈谈我对Poincare、Hilbert和Einstein等人的看法吧。

1.Newton和Poincare是历史上仅有的物理和数学贡献几乎并驾齐驱的全才。如果不认可，请举例说明有谁能在与他们的数学贡献相当的情形下达到他们
的物理水准?Gauss?Riemman?Euler?请举例说明有谁能在与他们的物理贡献相当的情形下达到他们的数学水准?Einstein？Maxwell？Dirac？
2.Poincare和Einstein共享狭义相对论，Einstein贡献在前，Poincare在后，相差不多，他们是狭义相对论的主要创始人，如果还有，算上Hendrik
Antoon Lorentz。狭义相对论的最主要原理是The Principle of Relativity和The Principle of Invariant Light Speed。Poincare比Einstein先获
得。Poincare拒绝狭义相对论严重降低他的credit，否则Poincare排位在Einstein之前。难道现在有人还认为Poincare不应该分享狭义相对论吗？
Einstein都承认了，你不承认？
3.广义相对论的大框架全是Einstein的credit，但广义相对论场方程不是，Hilbert应该分享credit（目前也被历史认可了，Hilbert作用量），
Hilbert数学形式更加合理，为现代所用。如果不去考虑去看英文资料，卢昌海个人网站上有很好的资料介绍。

我的发言就是这样的，不知道哪里给了Poincare过高的赞誉或贬低了Einstein的贡献。我看到的是物理人对Poincare的贬和对Einstein的神捧（应该是
基于对Poincare数学才能的嫉妒和尽可能地降低数学在物理中的影响，这和Einstein的看法正相反），更多不明事理的把该Poincare的credit都算到
Einstein头上，典型的就是认为狭义相对论原理都算在Einstein头上。现在物理和数学是分开的，作为数学人，至少应该不偏不倚地地评价Poincare，
而不是站到物理人的角度抬高Einstein。

不知道你所说的大统一终极理论是什么。超弦或M理论所追求的大统一是统一相对论和量子论，也就是引力和其他作用力。难道你认为它们不应该统一
吗？整个时空或我们的宇宙就活在一个统一场中，作为统一场，所有交互作用它们在原理上应该而且必须统一，统一不了，那是我们知识的缺陷所致。
它们统一了，并非所这个统一理论能解决一切问题。这就是物理学家所要表达的意思。个人认为，二者的统一也不能解决引力量子化问题，个人认为引
力不能完全量子化。
尽管我不完全赞同超弦理论的所有东西，但其中有很多合理的东西，这不是轻易被否定的。至于它到底有多合理，就交给未来发展来回答吧。即使一个
不完备的物理模型，也是有它的价值，这和民科的东西是不能混淆的。比如Geoffrey F. Chew在string theory之前所做的S-matrix approach也是有价
值的，这和民科有本质不同。

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数学环境

对于数学菲尔兹来说，今年不过又是一个平庸之年而已。像J.H.Conway那样的比菲尔兹差么？很多（其实是绝大多数飞奖）数学全面性，创造性数学技
术和看数学整体的方式都不如他。女性获奖不过是一个找机会给女性颁奖罢了。真正值得敬佩的女数学家只有一个，那就是Emmy Noether女神，历史上
比她强的男人没几个，那都是数学巨兽，艾米她本身也是巨兽。后来者也只有那只不知死活的代数几何巨兽能与之比。平庸的菲尔兹在他们前不算啥，
尽管如此那也不是中国数学人所能比的。

为什么中国环境就不能出菲尔兹这种级别的数学家呢，而海外华人倒也有三个，但陶哲轩跟中国文化没有任何关联。中国的历史已经证明了中国的所谓
数学奇才最多也就是普通奇才而已，这种级别的奇才需要环境培养，自我培养达不到高级别。中国人（一般是非数学研究人员）总是说中国的大学以前
的数学教育比美国和印度强（很少说法国，大概法国不起眼，否则中国非数学人会闹更大笑话，因为他们压根就认识不到世界第一数学强国），这完全
是一个不正确看法，好的教育环境是一个整体，不能分割来看，英式教育没有像中国教育那样一股脑地将你不需要的东西全倒给你，压给你那麽多作业
，而是让你自己思考，让你选择，那是什么？那是民主，自由和独立思考。看似他们的教育输在起跑线上，其实不然，他们获得了做研究的习惯和方法
，对喜欢的，
无论数学物理与否。世界需要那麽多数学家和教授干吗？但一个好的教育保证那是精英的需要。大多数人也就干干不超过算术需要的数学而已，但他们
的数学足以帮助他们的其他专长，比如他们能专注地干好专业技工，园艺工，护理，职业运动员，职业演员，作家，艺术家等。这不是很成功的教育吗
？干好一门自己喜欢的就行，不是人人都能做数学家，只有数学研究最好的能做。喜欢数学，数学竞赛和考试好，和能做数学， 他们不是一回事。很
多不能做数学的人喜欢数学，这类人是什么？反正大学前教育不过通识教育，为考某些专业，很多有能力的人为达到自己喜爱的专业（比如医学，法律
，计算机，金融，数学必须高分）他们也会用心去学（尤其很多女生），而且考试成绩不比那些日后数学人低，他们是什么人？那么，什么人会去参加
奥数竞赛，那一定是喜欢数学的人（在国外不是中国）。但是所有喜欢数学的人都会奥数？不会，有人怕高强度考试，有人认为既喜欢数学有喜欢物理
，还没决定好，那不是更大的天赋吗？但是能做数学有喜欢数学人的考试和奥数再差也是有谱的，只要他参加的话（不是有过比赛第二名嘲笑第一名的
笑话吗？历史上谁会记得第一名，但会记得我）。英式教育能一下找到所有数学天才吗？不能，但大部分。因为少部分数学天才同时也是其他天才，还
没决定好，这不有选物理，历史，工程，医学，建筑，音乐的多面天才漏网。还有更奇特的，一个数学天才还没发现自己是天才，只是认为自己数学比
一般人强而已，多年以后才认识到自己，才从新进入数学圈子。但是英式教育也为这些人留了后门，从新发现他们。中国数学教育环境是这样的吗？不
是，那数学课后培训，奥数培训是干嘛？考高分。考高分干嘛？去搞金融，计算机，生物，医生，留校，反正哪钱多安逸往那转，钱，权，美女，资源
，还有一部分呢？出国，好主意。出国的大部分干嘛？反正不搞数学。搞数学有么？有，几乎都是国内那几所出国培训名校的。那么中国出国培训名校
不是很好嘛，为什么他们要出国？出国好，出国有大师当导师，国内没大师，没办法。出国后再被邀请回来当大人才多好，钱又多，名也有，还可以。
。。，当然更重要的还可当大官（查一查就知）。当然，还有极少数寥若星辰的几个在外结果了，真心喜欢数学，不把自己年华浪费在国内。良心好的
，老了回来不坑人，不花边，不好的就不说了，都知道。

说了这么，到底就是国内数学教育环境对那些漏网数学奇才又没办法进出国培训名校的（其实进不进无所谓），最佳出路是想尽办法出国，去享受名师
或名师高徒的培训，这样才能达到高级别，一个数学奇才数学环境恶劣又没名师指点，是难幻想靠自我培训出名的，对普通数学人就更不可能了，还是
安心当数学老师为好，除非高斯、阿贝尔和代数几何巨兽，印度病人级别，中国没可能有这样的人物（有了才能说还要看在现实中存活度）。
对了，印度三哥的数感是比中国人强的，阿拉伯数字也是他们弄的。
还是布尔巴基说实话，数学是纯粹为了人类心智的荣光（说为名，钱，房，权和美女了吗？实在，纯粹，真，感动，书中没有黄金屋，书中没有颜如玉
，那些都不是数学）。所以俄罗斯可以有佩尔曼那样的纯粹人，伊朗女人也可以得奖，阿三哥更不赖。汗。

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数学研究态度

从Newton，Leibniz， Fourier等人不管严密先管出结果，到Cauchy，Weierstrass的形式符号严格化，再到Cantor，Dedekind更加严格化，微积分演变
到现在变成了（实）数学分析，增加了很多很多计算以外构造性说教性质的晦涩难懂的东西，美其名曰分析。这个东西爽不爽？不爽，逻辑悖论和ZFC
不让人爽，Godel就更不让人爽。不爽但有实用，你不能拒绝，不能。说到底，就是如何处理无穷问题，Newton他们都是大忙人，想的问题太多太重要
了，脑袋不可能再进一步细化，先用光滑潜无穷小几何形足够得到他们想要结果，就行了，那里还要那么啰嗦，不是吗？如果那时开始啰嗦，现在的物
理进步进程就会大大放缓。后来人为了保住成果，就将就搞出一个 (ε, δ)形式化来处理函数化潜无穷。仍然不理想，Cantor，Dedekind就搞出来整
数化实无穷。这是一个显著进步，被定格为实分析，最后给它配一个几何化，就是点集拓扑，最重要的就是Hausdorff space，开闭紧。在这里，你看
到什么，没有计算的构造性说理分析，实际上最管用的还是 (ε, δ)形式化，只有他管计算。Cantor的成果确实是分析学的最高成果，因为所有数学
最终要用数来支撑，我认可。但是Cantor活着时受到了Poincare和Kronecker的攻击，难道后两者疯了吗？不是，Poincare的才华足以压制历史上所有
数学家，他的攻击是对的，即使现在他在世，他还会，因为Cantor确实有不爽。所以攻击是对的，承认也是对的。尽管你的代数构造是对的，你要找到
大量有效的几何形来为你辩护，不然别人有权不承认你的，甚至将你当民科，Cantor找到一些（Cantor集），后人也帮他找到一些。Hermann Günther
Grassmann就没那么幸运了，关键就是当时没有几何物理支撑有远脱离当代数学，不被赏识是非常合理的。想想看Gauss都不敢轻易发表双曲几何，怕民
科，因为那种几何要物理测量支撑和应用，他为啥大地测量，疯了，真喜欢搞土地测量上瘾，还不是为他的微分几何和双曲几何找支撑，Gauss研究态
度真人也。没的说，再说他也不缺一两个功绩。

数论为什么会被那麽多数学人喜爱呢？主要是爽，没那多废话，不会计算，没有数感，就不要入错行。数论又不爽的吗？有，一下就看懂了，民科都敢
勇敢地挑战数学家，摘明珠，还要你承认。

处理无穷问题，我非常欣赏J.H.Conway的Surreal number和Georg Cantor的Transfinite numbers，并且认为J.H.Conway的更好，而且就是对的，但我
现在不会支持他们，因为现在没有任何几何物理来逼出他的应用，但我深信将来一定会，也就是他们的未来数学地位一定会比目前高。相比之下，
Abraham Robinson的 Non-standard analysis就是垃圾，为什么那么晦涩重复。
所以凡事涉及无穷的东西不要轻易回答，比如民科式连续统研究，去辩论1=0.9999...。但是个人绝不会去欣赏点集拓扑实分析那些东西，更会拒绝ZFC
，会接受Godel。
数学的目的就是几何形来配置数和透过形来看数，黎曼猜想不就是这样吗？简单？难？都是又都不是，其实是超级难。
所以，一个论文的被接纳与否，不都是对错问题，即便数学也会如此。高端论文也要接地气才行，不然人家也不认可你，除非你早有地位。从这点讲，
格罗滕迪克是幸运的，早早就参加了牛逼辩论班，得到一帮牛人赏识和交流理解，不然那么一大堆新词和用法和那么长的东西，谁愿看，这就是圈子重
要性。如果独斗又没名气，那么高端必须接地气，还要被欣赏。一句话，开创工作不是那么容易被接受的，伽罗华，阿贝尔不就是典型吗？很多一波三
折，可能还有埋汰的。保守型工作总是容易的和价值少的。数学研究非常不容易，要让同行理解也不是论文到就成功的事，你写上500也有创新名词构
造的名头又大又响的论文试试，看多少人看你。所以你要体谅别人的话，短点多次。

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数学前沿研究

如果一个数学人要做出数学上的成就，那么他必须进入数学前沿阵地进行有效歼灭战，解决至少一个有当代影响甚至历史影响的数学问题。数学前沿涉
及最难啃而又影响深远的著名大难题（如克雷数学机构提出的七大著名难题）或者艰难的次等的一般性浅层难题（如哥德巴赫猜想），这些都是已知的
未知。但是更重要的数学前沿是涉及未知的未知（比如拓扑学和物理领域），这需要你首先发现问题，然后再去解决。
数学前沿是有很多层次的。最低层是那些已经公开在印刷物的最新或较新的数学问题和潮流。中间层是仅仅在数学界的数学家（尤其最厉害的著名或隐
藏数学家）之间交换的零碎隐晦数学看法和技巧，他们不出现在公开刊物上。最高层是那些仅存在在最厉害数学家或隐藏数学天才的大脑中的数学问题
或模型，并且不为除自己之外的人知道，没有任何传播。
那么一个数学人或初级数学研究人如何进入数学前沿呢？最低要求，如果考自己，那么你就要收集你感兴趣的公开在印刷物去追潮流做公开问题。中级
要求，做一个数学大师的研究生，进入数学家（尤其主要数学家）的圈子，这样你就能得到那些没有公开印刷的圈子里流行的不成熟的数学前沿内容。
终极要求，如果你是一个超级数学天赋携带者，了解数学全貌，并能发现潮流与未来数学进展的偏差，你能真正知道潜在大进展不在当今潮流内或者你
能发现在潮流之外的大东西，在你没做出来前，不想与任何人交流，恭喜你，你很可能会一鸣惊人，如果你接地气的话。
在中国，因为不存在数学物理大师，中国数学人只能在最低层次的数学前沿晃荡。出国以后，你可以在中等层次的数学前沿中受数学大师的指导。因此
，这就是为什么中国数学人不能做出大一点的数学成就的主要原因，你所在的人际环境，国家（权力）体制，思想禁锢，传统文化都注定是绊脚石。这
就是科学和民主自由体制是相伴相生的原因，科学和民主都是普世的，不承认普世价值的环境不可能出大科学成就。中国数学人没有产生过数学巨匠，
所以不可能进入终极数学前沿，中国数学人只能做跟随者。
在数学前沿，你会有非常多的困惑和选择，尤其你进入中层数学前沿阵地，接触了很多外国数学大师之后，你会发现，同一个数学问题可以有不同的思
考方式，而且每个都能解决一部分问题，但是这些不同的思维方法又不是相通协调的，你也不知道那个能走通，也许一个都不行，你怎么办？你要自己
思考权衡和选择，一旦选错，你基本白费功夫，非常不划算。这时就要靠你自己的数学天赋了，没人能帮你。很多情况下，就是数学道路的选择，不能
迷信那些数学大家的方法，他们不是万能的。比如你按对称性来选取不变量，所有不对称的object被归为一平凡极端类，当然这达到了一个完整分类的
目的，但是这不能解决你的问题，实际上，那些不对称的类的object数量远比对称的多，如果按某个不对称的不变量，那么对称性的object就是平凡类
了，但是这个不对称不变量你找不出来，而且极端困难。实际上这在拓扑学中很普遍，比如亏格拓扑群之类的东西，数论中的素数分布及丢潘图通解，
微分几何中也不少，绝大多数极端重要的东西都是不规则的就算他们有某种规律也隐藏很深。
做前沿数学，一定的旧的数学基础知识（比如微积分，数论，非欧几何，代数拓扑，代数几何，群论，环理想）是需要的，但不一定全部挖掘学习，更
重要的是你的数学天赋，没有天赋不是寸步难行，而是不能前行。
普通数学家只能研究热点问题追潮流，但潮流不等于高引用，而是厉害数学家的看法。超级天赋携带者追求真正数学发展方向而不随潮流，他们才能做
出惊世之功。天赋永远是数学研究的第一要素。所以进入数学前沿，你要估计自己的天赋，否则成民科。

另外，前沿问题的解决决不能平凡化，比如Robinson的 Non-standard analysis完全就是平凡化，在普通数学分析吊上一个无穷外壳，实际没有任何有
意义的思想和构造，也不解决真正几何问题和insight，这就是民科行为发生在专业数学人上的例子，另一个例子是模糊数学。一个通用理论构造必须
要带来不平凡的东西，一个有意义的计算构造一定要解决一个具体的计算难题。