转载自知乎--极限的定义引入 ε 精确描述，意义何在？

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题主，不知道你是不是和我一样，也被那本绿油油的同济版《高等数学》搞得晕头转向，想从头开始自己研究一番，又一下子陷入了“极限”这个概念的泥潭。其实对极限的定义本身就是一件十分困难的事情，伟大如牛顿、莱布尼兹，也不得不含糊其辞，为此还遭到嘲讽（1695荷兰物理学家B.Niewentyjt《无穷小分析》，英国哲学家、牧师G.Berkeley的小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》）直到19世纪初柯西第一个把这个有点模糊的概念转换成算数语句。

我曾对这个概念思考过好久，也请教过许多人，却也不敢保证能很好的回答这个问题。为了了解精确描述的意义何在，我们先看看不同时期对于极限的定义：

• 莱布尼兹（1684）：如果任何一个连续变迁以一个极限为终结，那么就能够形成一种普遍的推理，它也能适用于最终的极限。
• 牛顿（1687）：逐渐变小的量之间的最终比值…（是）极限，即数量比值无限减小却总是收敛于它；它们比任何事先给定的差值更接近地趋向于它，但永远也不超过也不达到它，直到这些量减到无穷小。
• 麦克劳林（1742）：2x+o与a的比率当o减小时连续地减小，并当o是任意实增量时总是大于2x与a的比，而这显示了它连续趋向于2x与a的比，并以其为极限。
• 达朗贝尔（1754）：比值[a:2y+z]总是小于a:2y，但是z越小，这个比值就越大，并且由于人们可选取任意小的z，比值a:2y+z就可按我们希望的那样靠近比值a:2y，因此a:2y是比值a:2y+z的极限。
• 拉克鲁瓦（1806）：比值（μ1-μ）/h的极限…是这样一个值，当量h减小时这个比值按比例趋向于它并且可按我们作出的选择来接近于它。
• 柯西（1821）：如果赋予同一变量的连续不断的一系列数值使其无限地趋向于一个固定的值，使得最终它们与固定值的差按人们所希望的那样小，则后者称为所有其他数值的极限。

的确，自然语言有时候更为直观，“无限接近”、“要多小有多小”比起奇怪的字母和不等式更容易理解，但是数学本身的特点决定了它必须严谨，不够严密的理论带来的后果很明显，对于无限的理解产生矛盾，以“飞矢不动”等悖论为代表的第二次数学危机爆发。数学家们凭直觉想当然地做出判断
的后果才是最可怕的，基础的理论不够严谨，在此之上的发展便很容易犯错，看起来高大坚固的理论大厦实则不堪一击。17世纪和18世纪的数学家，在研究运动和变化中，把一个量x在连续流动中持续地趋向一个极限值x1的观念视作当然的事而接受下来，沿着一个离散的序列a1，a2，a3…一步步走下去是没有困难的，但是在处理数轴上整个区间上的一个连续变量x时，就不能说出x如何按照区间上所有的值的大小次序一个点一个点地“趋近”固定值x1了。因为直线上的点组成稠密集，在已经到达的已知点后没有“下一个”点。当然，在人们头脑中，连续的直观观念，在心理上是实在的，但是，数学上的不可能性并未因此而解决，因此在直观观念和数学语言之间必然存在着不一致的地方。

柯西的成就在于认识到，只要涉及数学概念，任何关于连续运动的先验的直观观念，是能够避免甚至必须避免的。如经常见到的那样，由于放弃了形而上学方向上的努力，转而只采用那些在原则上相应于“可观测到的”现象的观念，从而开辟了科学进步的途径。如果我们分析“连续趋近”这个词的真正意思，和在一个特定的情形下必须如何对它进行检验，那么就不得不接受像柯西这样的定义。这个定义是静态的，它没有预先假定运动的直观观念，相反只有这样一个静态的定义，才能对时间上的连续运动作出精确的数学分析，并且就数学科学来说，解决了季诺的悖论。

即使是在柯西一定程度上澄清了微积分基础问题的混乱之后，当时仍存在着一个普遍的错误观点即凡连续函数都是可微的。因此当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年举出一个处处连续却处处不可微的函数例子（魏尔斯特拉斯函数）时，数学界可以说是大为震惊，这个例子使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新认识考察分析基础的必要性。

这就是随后的“分析算术化”运动努力的开端。魏尔斯特拉斯批评柯西等前人“无限地接近”等说法具有明显的运动学涵义，代之以更精密的ε-δ表述，用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。他认为实数赋予我们极限与连续性等概念从而成为全部分析的本源，要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。因此，后来证明了实数系是完备系之后，长期围绕着实数概念的逻辑循环彻底消除，分析算术化运动大致宣告完成。

题主，从流数法到实数理论，几百年的时光，数不尽的纷争，无数人的尝试，足以证明这是最适合数学的方式。就像无论我们以什么比喻理解了极限，最后都会发现现在的定义最无懈可击，简洁，严密，充满美感。

不愧是上帝的语言。

参考文献
[1]R·柯朗 H·罗宾.什么是数学.左平，译.上海：复旦大学出版社，2012
[2]李文林.数学史概论.2版.北京：高等教育出版社，2002
[3]VICTOR J.KATZ.数学史通论.2版.李文林，译.北京：高等教育出版社，2004