【日记】12.17

12.17

洛谷突然黄名？

DP

1.洛谷P1020：最长不上升子序列（LNIS）和最小不上升子序列个数。

首先是LNIS：

朴素\(O(n^2)\)做法：从后往前，dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)，满足i<j&&a[i]>=a[j]。

快速\(O(n\log n)\)做法：从前往后，每次找到序列中第一个比它小的数，更新优化，具体原理可见：https://blog.csdn.net/wqtltm/article/details/81253935，看图相当不错。同样发现这些数组可以进行复用，因此只需要一个d数组即可，空间复杂度\(O(n)\)。

其次是最小划分出序列的个数。

有一个Dilworth定理，简单来讲就是，最小不上升子序列个数=最长上升子序列长度（把不去掉，把个数换成长度）。其实感性是可以理解的。

那么再跑一个LIS即可。

注意：找第一个比他小的数，可以用upper_bound(a+1,a+n+1,x,greater<int>())来做，不要用lower_bound()+1，容易出锅。小于等于同理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+20;
int cnt,a[M];
struct LNIS{
	int dp[M],n;
	void init(){n=cnt;}
	void run(){
		int ans=0;
		for(int i=n;i>=1;--i){
			dp[i]=1;
			for(int j=n;j>=i+1;--j)
				if (a[i]>=a[j])
					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			ans=max(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}L1;
struct LIS{
	int dp[M],n;
	void init(){n=cnt;}
	void run(){
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			dp[i]=1;
			for(int j=1;j<=i-1;++j)
				if (a[i]>a[j])
					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			ans=max(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}L2;
int main(){
	int c;
	while(~scanf("%d",&c))
		a[++cnt]=c;
	L1.init();
	L2.init();
	L1.run();
	L2.run();
	return 0;
}

nlogn做法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+20;
int cnt,a[M];
struct LNIS{
	int dp[M],d[M],n;
	void init(){n=cnt;}
	void run(){
		int len=1;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			int p=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i],greater<int>())-d;//找到第一个小于a[i]的下标
			dp[i]=p,d[p]=a[i];
			if (p>len)
				len=p;
		}
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			ans=max(ans,dp[i]);
		printf("%d\n",ans);
	}
}L1;
struct LIS{
	int dp[M],d[M],n;
	void init(){n=cnt;}
	void run(){
		int len=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			int p=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;//找到第一个大于等于a[i]的下标
			dp[i]=p,d[p]=a[i];
			if (p>len)
				len=p;
		}
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			ans=max(ans,dp[i]);
		printf("%d\n",ans);
	}
}L2;
int main(){
	int c;
	while(~scanf("%d",&c))
		a[++cnt]=c;
	L1.init();
	L2.init();
	L1.run();
	L2.run();
	return 0;
}