摘要：
先来证明一个性质：同一个图的不同生成树的最大边权和最小边权相等 最小边权很显然相等，这个不用证 主要是最大边权 假设有两个生成树都是最小生成树，其中\(G_1\)的最大边权\(s_1\)小于\(G_2\)的最大边权\(s_2\) 在\(G_2\)中删去最大边，会形成两个连通块，假设这条最大边连接的是 阅读全文
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update 2024.5.23 如果要严格证明上述做法的正确性，可以用结构归纳法证明每条边都至少被经过两次，除了根节点的每个点都至少被经过其度数次，根节点至少被经过其度数次加一，然后显然存在一种方案是所有值同时取到最小值 阅读全文
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这道题目作为枚举子集的题目见识一下 首先对于一个连通块，如果点权之和为\(0\)，那么我们算出MST显然就是最优解 我们看一下数据范围，可能是考状态压缩 我们把状态\(i\)设出来后，可以先尝试考虑某一个点，但是你发现这样不太好考虑，而且只考虑这一个点的话，那么这个点所加入的连通块的点权之和为\(0 阅读全文
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不要一看到特殊点就想虚点，这道题目我们这么建模 假设我们的\(D\)已经定了，我们把边权小于等于\(D\)的全部加入，那么图就会形成一个若干个连通块 显然\(D\)越大连通块个数越少 这里当然启示我们用二分，然而也有更简单的方法 我们借鉴Kruscal的过程，当维护的森林刚好有\(s\)个树时直接停 阅读全文
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先来转换一下题意：首先，所有点一定与公园连通，否则的话存在一个人到不了公园；其次一条边最多被经过一次，否则的话第一次经过的车可以在起点等着，等到第二辆车到，然后两辆车合为一辆车。综上，我们选取的边至少要有\(n-1\)条边，每选取一条边就将这条边的权值计算到答案中（如果一条边被选取了却不计算答案，那 阅读全文
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来严格证明一下做法 我们利用数学归纳法证明，过程很像“推论+数归证明Kruscal” 假设我们按照书上这么添加后，执行Kruscal 当前执行到\(i\)这条边，已经选上的边都是最开始的树边，已经循环过但没选上的边都是添加的非树边 假设\(i\)是添加的边，那么\(i\)一定不会被选上，因为此时已经 阅读全文
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其实这个证明与前面那个证明很像 假设最终生成的生成树不包含这\(m-k\)条边中连接生成森林的两个不连通节点的最小的边，那么我们从这些最小的边中任选一条边加入到树中会形成一个环，而且这个环（除了加入的这条最小边）一定存在一条边不是最开始的\(k\)条边中的某一条（因为如果这个环除了加入的最小边，剩余 阅读全文
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其实这个对偶图的定义有点问题，正确的： 所以PPT画的对偶图也有点问题，还要在\(4\)号点上画一个闭环（之后的图没有做修改） 这个证明唯一想不明白的就是为啥紫色的边一定会构成一棵树，主要是无法判断是否连通 阅读全文