强大数定律与弱大数定律的区别

先来讲一下弱大数定律吧，这个比较好理解
弱大数定律的标准形式是这样的：

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(|{\overline{X}}_n-\mu |<ϵ)=1$$

这里注意的是我们的极限符号是包含概率的，我们按照数列极限的定义将其写开：

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\forall }\varphi >0,\mathrm{\exists }N,\mathrm{\forall }n>N,1-P(|{\overline{X}}_n-\mu |<ϵ)<\varphi$$

假设我们知道了$X$的分布，于是在确定了$n$的情况下就可以准确算出${\overline{X}}_n-\mu$的分布，也就是说其实$P(|{\overline{X}}_n-\mu |<ϵ)$是一个定了的数列（而不是随机变量）。不妨设$P(|{\overline{X}}_n-\mu |<ϵ)=1-\frac{1}{n}$，显然满足弱大数定律，但是当我们固定了一个$n$之后，做多次实验（我们称一次实验包含$n$个独立的随机变量$X$）的话，是有可能样本均值偏离$\mu$的。画出来的图像见下

那么强大数定律的数学形式是这样的：

$$P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\overline{X}}_n-\mu =0)=1$$

我们用极限的定义写开，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\overline{X}}_n-\mu =0⟺\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N,\mathrm{\forall }n>N,|{\overline{X}}_n-\mu |<ϵ$
那么注意，后者其实是一个事件，也就是我们给定了一个偏离量$ϵ$，就可以找到了$N$，使得我们做的试验次数大于$N$的话，样本均值与均值的距离不会超过偏移量。那么这个事件是有一个发生概率的，而强大数定律就告诉我们，这个事件是必然事件。所以强大数定律画出来的图见下