11.9.1 算法

式$(11.78)$的直观理解：最开始的时候梯度很大，为了防止震荡，我们需要减小步长，这是分母的作用，但是梯度大就表示参数更新也应该大，所以需要增大步长，这是分子的作用；迭代一段时间之后，梯度就变小了，此时为了加速收敛，我们需要增大步长，这是分母的作用（注意这里跟$\text{AdaGrad}$不一样，这里用的是泄露平均值），但是此时参数已经接近收敛了，所以也要减少步长，这是分子的作用。DeepSeek的回答见下
Adadelta算法中调整后的梯度更新公式（式11.9.3）的直观理解可以通过以下三个关键视角展开：

---

1. 动态平衡的双历史视角

公式的核心结构：
[
g't = \underbrace{\frac{\sqrt{\Delta x{t-1}}}{\sqrt{s_t}}}_{\text{自适应杠杆}} \odot g_t
]

• 分母 ( \sqrt{s_t} )：继承自RMSProp思想，代表梯度二阶矩的历史衰减平均。
  • 作用：对当前梯度 ( g_t ) 进行归一化，抑制波动剧烈的参数更新（如梯度爆炸时，分母增大会缩小步长）。
• 分子 ( \sqrt{\Delta x_{t-1}} )：Adadelta的独特设计，代表参数更新量二阶矩的历史衰减平均。
  • 作用：将过去参数的实际更新幅度作为参考基准，动态校准当前步长（若历史更新幅度大，则适当放大当前步长）。

直观意义：
通过同时考虑梯度波动历史（分母）和参数更新历史（分子），算法自动平衡了以下矛盾：

• 梯度大时需缩小步长（防止震荡），但若参数本身需要大幅调整（Δx_{t-1}大），则允许适当放大步长；
• 梯度小时需放大步长（加速收敛），但若参数已接近稳定（Δx_{t-1}小），则抑制无效噪声。

---

2. 无学习率的自洽系统

传统优化器（如SGD）需要手动设置学习率 ( \eta )，而Adadelta通过式11.9.3-11.9.4构建了一个自洽的更新系统：

• 分子隐含学习率：式11.9.3中的 ( \sqrt{\Delta x_{t-1}} ) 实际替代了人工设定的 ( \eta )。
• 自反馈机制：当前调整后的梯度 ( g'_t ) 会通过式11.9.4更新到 ( \Delta x_t )，进而影响下一时间步的分子值，形成闭环反馈。

物理类比：
想象一个弹簧系统，弹簧的伸缩幅度（步长）不仅取决于当前外力（梯度），还受之前伸缩历史（Δx）的影响。系统通过历史记忆自动调节刚性系数，无需外部设定初始参数。

---

3. 对病态条件的鲁棒性

通过对比其他优化器分析其优势：

优化器	核心缺陷	Adadelta的改进策略
AdaGrad	学习率单调递减至零（早停问题）	使用泄露平均（ρ < 1）替代累积和，避免分母膨胀
RMSProp	依赖人工设定初始学习率η	用Δx_{t-1}动态替代η，实现无超参数自适应
Momentum	在梯度方向突变时产生振荡	通过Δx_{t-1}平滑历史更新，抑制方向抖动

实例说明：
假设某参数在训练初期需要大幅调整（Δx_{t-1}较大），但当前梯度因噪声突然增大（s_t骤升）：

• AdaGrad：分母持续累积，步长被过度压制，导致收敛停滞；
• Adadelta：分子Δx_{t-1}较大，部分抵消分母s_t的影响，保持合理步长，继续推进参数更新。

---

总结：核心直觉

Adadelta的梯度调整公式本质上构建了一个双历史驱动的自适应杠杆：

1. 分母压制梯度方向的瞬时波动（防震荡）；
2. 分子放大参数维度的长期趋势（促收敛）；
3. 二者通过比值动态平衡，使优化过程既稳定又能快速适应不同参数的尺度差异，最终实现无需手动调学习率的高效优化。